AGC056C

题面

你需要构造一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串 \(S\)，满足给定的 \(m\) 个条件，每个条件形如：

• \(S[l,r]\) 中 \(0,1\) 的个数相等。

并且最小化 \(01\) 串的字典序。

数据范围：\(n\le 10^6,m\le 2\times 10^5,2|(r-l+1)\) 。

题解

首先，如果你把 \(0\) 看成 \(-1\) ，记 \(s_i\) 为前缀和，那么一个条件 \((l,r)\) 就可以表述为约束 \(s_{l-1}=s_r\) 。

此外，约束还有一个 \(s_i\) 本来的限制 \(s_i-s_{i-1}=\pm 1\) 。

但是这又有什么用呢？

这时候就要使用神奇的算法：差分约束！

\(s_{l-1}=s_r\) 就可以变成 \(l-1\) 往 \(r\) 连了边权为 \(0\) 的边。

但我们怎么转换 \(s_i-s_{i-1}=\pm 1\) 这个限制呢？

因为差分约束的形式是 \(a_x-a_y\le z\) ，我们考虑能不能把 \(s_i-s_{i-1}=\pm 1\) 转换成 \(|s_i-s_{i-1}|\le 1\) ，也就是 \((i,i-1,1),(i-1,i,1)\) 。

仔细想一想，发现好像是可以的！

为什么？

因为 \(2|(r-l+1)\) ，所以是不可能出现 \(s_i=s_{i-1}\) 的。

所以可以用dij得到一组解。

但是题目还要求字典序最小，怎么搞？

可以把顺着走看成是选 \(0\) ，逆着走看成是选 \(1\) ，观察最短路的过程，对于一个约束，我们一般会在前一部分顺着走，后一部分逆着走，直接最短路跑出来的解是字典序最大的解，所以我们取反就会变成字典序最小的点。

启发

• 对于 构造 \(01\) 串并且满足一些性质的题，可以往查分约束上想。