[IOI2016]railroad

题面

有 \(n\) 个二元组，第 \(i\) 个为 \(a_i,b_i\) 。

对于一个 \(1\sim n\) 的排列 \(p\)，定义其权值为：

\[\sum_{i=1}^{n-1}\max(a_{p_i}-b_{p_{i+1}},0) \]

求出最小权值排列的权值。

数据范围 ：\(n\le 2\times 10^5\) 。

题解

先加入一个 \((\inf,0)\) 的点，然后把排列改为环（也就是 \(p_1\) 和 \(p_n\) 也要计算贡献）。

然后就是一个很神奇的转换：

我们可以把权值离散化之后看成点，\(i\) 与 \(i+1\) 之间有边，正向走 \(i\rightarrow i+1\) 边权 \(0\) ，反向走 \(i+1\rightarrow i\) 边权为相邻权值的差，然后把一个二元组看做一个必须要走的边，然后在这个图上走一个最短欧拉回路就是答案。

为什么？

你可以把当前在的点看作是一个参数，选一个二元组看做把当前的 \(a_i\) 强制转换为 \(b_i\) ，然后在两个二元组之间的改变参数所需要的代价就是权值计算公式。

所以现在的问题就是解决这个最短欧拉回路问题了。

不知道这是不是一个经典问题...

因为我们有一些必走边，我们可以最开始认为走了这些边，然后用两点之间的边去把这些边连为一条路径。

既然是一个欧拉回路，那么对于一个必走边 \(a_i\rightarrow b_i\) ，一定要走一次回来的路。

那么对于一个边 \(i,i+1\) ，如果覆盖了这条边的向左的 必选边 和向右的 必选边 数量不一致，那么就一定需要向左/向右走，加上对应的代价就行。

做完这个操作之后我们会得到若干个存在欧拉回路的联通块，但是原图还没有欧拉回路。我们还需要把联通块连起来，这个操作每次要连一条先右的和一条向左的。

显然我们只会在相邻的联通块之间连边，否则一定不优，扫一遍加边，然后跑最小生成树即可。

扩展

如果贡献改为：

\[\sum_{i=1}^{n}|a_{p_i}-b_{p_{(i\ \bmod\ n)+1}}| \]

那么我们就不用加入新的二元组，把正向走 \(i\rightarrow i+1\) 边权也改为权值之差就行。

启发

• 对于一系列排列权值的问题都可以这么做，只要权值计算方式是线性的。
• 后面的欧拉回路问题也是很巧妙的题。