CF1685C

题面

给定长度为 \(2n\) 的括号序列，你需要求出使用最少操作使括号序列变成合法的，并构造。

一次操作的定义为：

• 翻转（不是取反）这个括号序列的一个子串。

数据范围 ：\(n\le 10^5\) 。

题解

确实是没有认真想，不过感觉想了也不一定会发现。

肯定先把 ()转换为 \(1,-1\) ，记 \(s_i\) 为前缀合。

然后先考虑一次翻转 \([l,r]\) 子串会发生什么。

• \(j\in[1,l-1]\cup[r+1,2n],s_j\) 不变。
• \(j\in[l,r],s_j\leftarrow s_{l-1}+s_r-s_{l+r-j-1}\) 。

记 \(s_i\) 最大的 \(i\) 为 \(x\) 。（有相同的任取一个）

我们需要让最后 \(s_i\ge 0\) ，而注意到如果我们让 \(a_r\) 最大，\(s_{l-1}=0\) ，那么 \(s_r-s_{l+r-j-1}\ge 0\) ，这也就说明了我们可以用一次操作让 \([1,x]\) 全部满足。

既然前缀我们可以一次就处理掉，那么后缀有没有同样的性质呢？

同样，如果我们让 \(s_{l-1}\) 最大，\(s_r=0\) ，即 \(l=x,r=n\) ，也一定会有 \(s_{l+1}-s_{l+r-j-1}\ge 0\) ，所以我们可以用一次操作让 \([x+1,n]\) 全部满足。

所以答案的上界就是 \(2\) 了，所以我们就只用判断是否有 \(0/1\) 的解就可以了。

还是考虑上面列出来的翻转 \([l,r]\) 会带来的改变。

我们首先需要让 \(i\in[1,l-1]\cup[r+1,2n]\) 的 \(s_i\ge0\) ，也就是确定了 \(l,r\) 的选择范围。

然后再考虑第二个，我们肯定要让 \(s_r\) 最大，那么 \(r\) 就确定了，\(l\) 枚举一下判断是否合法就可以了。

复杂度是 \(O(n)\) 的。

ps：注意到 \(1/-1\) 是可以变成任意整数的，所以可能会有其他变体。

启发

• 对于有操作的问题，可以考虑用把操作带来的改变用公式列出来，这样比干想要好的多。