ABC252H

题面

有 \(c\) 个集合，\(n\) 个数，每个数 \(a_i\) 属于一个集合。

现在要在每个集合中选 \(1\) 个数，定义一个选法的权值为所有选的数的异或和。

求第 \(k\) 大选法的权值。

数据范围：\(c,n\le 70,a_i\le 2^{60},k\le 10^{18}\) 。

题解

开始认为选法只会有 \(2^{\frac{n}{2}}\) ，实际上是 \(3^{\frac{n}{3}}\) ，其实你只要发现 \(2^3=8<9=3^2\) 就知道了...

然后发现现在根本想不到一个重要的技巧了： Meet-in-the-middle ！！！

有了 Meet-in-the-middle 的思路，我们大致给集合分成两边，使两边的方案数接近 \(\sqrt{3^{\frac{n}{3}}}\approx 4e5\) 。

这时候就只用建trie树，然后二分+查询就可以做到 \(O(400000\log^2 a_i)\) 。（其实就是CF241B Friends）

但是，这题题解给出了一个神奇的单 \(\log\) 做法。（也就是那个题也可以做到单 \(\log\) ！）

在逐位确定 \(mid\) 的时候，我们可以对trie 树上的节点动态维护当前处于节点的 \(\{a_i\oplus mid\}\) 和 \(\{b_i\}\) ，这样我们知道接下来考虑下一位的时候会产生贡献的 \((a_i,b_j)\) 一定会在一个节点内。

这样可以直接计算之后，我们就能确定下一位取 \(0/1\) ，然后就可以把每个节点维护的集合下传给儿子。

这样一个数只会遍历 \(\log a_i\) 个节点，复杂度也就是单 \(\log\) 的。

实现上没必要显示建树，因为我们只需要关心 \(A,B\) 集合。

启发

• Meet-in-the-middle！！！
• 处理异或第 \(k\) 大的问题可以做到单 \(\log\) 。