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题面

给你 \(n\) 个集合 \(S_i\)，每个集合有 \(m\) 个元素，集合 \(i\) 的权值为 \(w_i\) ，你需要求 \(\min\{S_i\cap S_j=\varnothing |w_i+w_j\}\) 。

数据范围：\(n\le 10^5,m\le 5\)。

题解

首先，这个交为空就很难搞，对于这种有多个元素的集合做匹配我们都只能hash来判是否相等。

但是bitset就没有这种限制，如果我们给每个元素开一个 bitset，这样就可以对每一个元素 \(O(\frac{nm}{32})\) 的求出交不为空的，然后取反就是交为空的，为了求最小值我们可以最开始按 \(w_i\) 排序，这样就可以用 _Find_first()得到最小值。

但是这样就会有 \(O(\frac{nm}{32})\) 的空间复杂度，直接GG了，当然，如果你根号分治一波貌似空间也是可以卡过去的，但是实际上能不能过呢？小编也想知道。

这里主要介绍的是另外一种做法——容斥！

怎么个容斥法呢？

对于 \(S_i\) 来说，若 \(S_j\cap S_j\neq\varnothing\) ，那么 \(\sum\limits_{T\subseteq S_j}(-1)^{|T|-1} [T\subseteq S_i\and T\neq \varnothing]=1\) 。

这个的证明应该是二项式定理，就是考虑每个元素的贡献次数，和容斥的证明基本一样。

总之有了这个式子之后，因为加法的可加性，我们可以快速求出当前有几个集合和 \(S_i\) 有交，所以按 \(w_i\) 排序之后就可以二分求了。

但是为什么我们要给每一个 \(i\) 都求出对于的最小值呢？直接双指针就可以消除掉二分的 \(\log\) 。

扩展

如果题目给的是数列（也就是元素间有序）怎么办？

感觉可以按照[JOISC 2018 Day 4] 野猪 那样，但是初步想了一下发现也要 \(2^m\) 个状态，不知道能不能继续优化。

启发

• 判断两个集合是否有交的方法。
• 只要求全局最小值的时候是可以直接双指针的。