P5279 [ZJOI2019]麻将

题面

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今天，可怜想要打麻将，但是她的朋友们都去下自走棋了，因此可怜只能自己一个人打。可怜找了一套特殊的麻将，它有 $n(n\ge 5)$ 种不同的牌，大小分别为 $1$ 到 $n$，每种牌都有 $4$ 张。

定义面子为三张大小相同或者大小相邻的麻将牌，即大小形如 $i,i,i(1 \le i \le n)$ 或者$i,i+1,i+2(1\le i\le n-2)$。定义对子为两张大小相同的麻将牌，即大小形如 $i,i(1 \le i \le n)$。

定义一个麻将牌集合 $S$ 是胡的当且仅当它的大小为 $14$ 且满足下面两个条件中的至少一个：

• $S$ 可以被划分成五个集合 $S_1$ 至 $S_5$ 。其中 $S_1$ 为对子，$S_2$ 至 $S_5$ 为面子。
• $S$ 可以被划分成七个集合 $S_1$ 至 $S_7$ ，它们都是对子，且对应的大小两两不同。

可怜先摸出了 $13$ 张牌，并把剩下的 $4n-13$ 张牌随机打乱。打乱是等概率随机的，即所有$(4n-13)!$种排列都等概率出现。

对于一个排列 $P$，可怜定义 $S_i$ 为可怜事先摸出的 $13$ 张牌加上 $P$ 中的前 $i$ 张牌构成的集合，定义 $P$ 的权值为最小的 $i$ 满足 $S_i$ 存在一个子集是胡的。

现在可怜想要训练自己的牌效，因此她希望你能先计算出 $P$ 的权值的期望是多少。

数据范围：$n\le 100$ 。

题解

感觉算是DP套DP中很高级的了（虽然总共也只见过两题...）

主要是理解DP套的那一个DP是在干什么。

其实 AC自动机结合DP 就是一个DP套DP。（如果知道这个东西那么你完全按理解它的方式理解是完全可以的）

因为内层的DP实际上就是一个自动机的形式。

比如这题中我们需要的就是判断给定一些牌，判断是否是胡牌（AC自动机内是需要判断当前字符串是否包含了给定的一些字符串）。

以下是怎么判断一副牌是胡的。

如果只要判断是否胡牌，那么有用的信息只有每个牌有几张。

所以相当于我们现在只需要输入一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，其中 $a_i$ 表示大小为 $i$ 的有 $a_i$ 张。

现在考虑我们需要维护什么。

• 第一种胡法，我们可以设 $f_{i,j,k,0/1}$ 表示处理完了第 $i$ 种编号的牌，我们预留了 $j$ 对形如$i−1,i$ 的牌，和 $k$个编号为 $i$ 的牌， $0/1$ 表示之前的决策过程当中有没有预留过对子，dp当中存储的值是这种情况下的最大面子数。

  并且三个相同的顺子可以被算成三个连续的刻子，所以 $j$ 和 $k$ 这两维都不会超过 $2$ 。

  转移是比较简单的。

• 第二种胡法，我们只需要额外记录一个变量 $cnt$ 表示出现的对子的数量就行。

但是到现在为止我们也只是知道了怎么判断和牌，和题目要求的东西还相差甚远。

别急，还记得 AC自动机+DP 如何处理的吗，我们是判断 $tr[j][k]$ 是否合法（不包含给定字符串），其中 $j$ 为当前状态， $k$ 为枚举的下一位是什么字符。

所以，这题我们也可以把所有可能的 胡牌状态 记录下来，构造 $tr[j][k]$ ，然后转移。

具体来说，就是上面提到的 $f,cnt$ ，我们把它记成一个结构体，用map去重、标号。

下面代码省去了重载和初始化。

struct qqq{
	int f[3][3];
	int* operator [] (const int &x){
		return f[x];
	}
	void change(qqq &x,const int &y){//下一个大小的牌有 y 张。
		for(int i=0;i<3;++i)
			for(int j=0;j<3;++j)
				if(f[i][j]!=-1)
					for(int k=0,la=y-i-j;la>=0&&k<=2;--la,++k)
						x[j][k]=max(x[j][k],min(i+f[i][j]+la/3,4));
	}
	bool pd(){
		for(int i=0;i<3;++i)
			for(int j=0;j<3;++j)
				if(f[i][j]>=4)return 1;
		return 0;
	}
};
struct qq{
	qqq f,g;//f:没有预留对子，g:有预留对子
	int cnt;//对子的数目
	bool pd(){//判断是否胡牌
		if(cnt>=7)return 1;
		return g.pd();
	}
}a[maxn];
qq ne2(qq x,const int &y){//下一个大小的牌有 y 张。
	qq ans;ans.cl();
	ans.cnt=x.cnt+(y>=2);
	if(y>=2)x.f.change(ans.g,y-2);//可以预留对子
	x.f.change(ans.f,y),x.g.change(ans.g,y);
	return ans;
}
map<qq,int> id;
int ne[maxn][5];
queue<int> p;
void sous(){
	a[0].cl(),id[a[0]]=0;
	p.push(0);
	while(p.size()){
		int x=p.front();p.pop();
		for(int i=0;i<=4;++i){
			qq y=ne2(a[x],i);
			if(!id.count(y)){
				if(y.pd())ne[x][i]=id[y]=-1;
				else{
					ne[x][i]=id[y]=++top,a[top]=y;
					p.push(top);
				}
			}
			else ne[x][i]=id[y];
		}
	}
}

现在我们就可以仿照 AC自动机+DP 去设状态了，

一个很套路的转化： 答案 $=1+\sum\limits_x \dfrac{f(x)}{\binom{4n-13}{x}}$ ，其中 $f(x)$ 表示摸了的牌数（不包括本来就有的 $13$ 张）大于等于 $x$ 的方案数。

所以就可以设 $f_{i,j,k}$ 表示当前考虑到了大小为 $i$ 的牌，摸了 $j$ 张，当前胡牌状态是 $k$ ，转移是简单的。

启发

• DP套DP的一个记录？