CF704B

题面

有 \(n\) 个元素，第 \(i\) 个元素有五个参数 \(x_i, a_i, b_i, c_i, d_i\)。试求出一个\(1 \sim n\) 的排列 \(p\)，满足 \(p_1 = s, p_n = e\)，同时最小化这个排列的权值。

一个排列的权值为\(\sum_{i=1}^n f(p_i, p_{i+1})\)，其中 \(f(i, j)\) 的值有两种情况：

• 若 \(i > j\)，则 \(f(i, j) = x_i-x_j+c_i+b_j\) 。
• 若 \(i < j\)，则 \(f(i, j) = x_j-x_i+d_i+a_j\) 。

数据范围： \(n\le 5\times 10^3\) 。

题解

dp 的一种模型，因为 \(i\) 产生的贡献和他两边的数的大小有关，所以我们按照 \(i\) 从小到大加入，维护连续段的数量。

这里连续段是指，我们已经加入了小于 \(i\) 的数，然后钦定每一个连续段中间不能再插入数，现在考虑加入的 \(i\) ，他左边/右边都可以接/不接一个已有的连续段。

为什么这样做，因为这样我们在加入 \(i\) 的时候是知道他两边的数比他大还是小，接连续段 \(\rightarrow\) 小，不接 \(\rightarrow\) 大。

所以这样就可以转移了。

还要注意一点，就是如果确定了起点/终点了之后（这里给定了、但也可以不给定，这时候就需要设 \([0/1][0/1]\) 表示确定起点、终点），就要避免一些不合法的状态。

具体来说，就是不能有当连续段只有 \(1\) 个的时候放一个数在起点左边/终点右边。

扩展

考虑还有什么情况下" \(i\) 产生的贡献和他两边的数的大小有关"，绝对值！

如果贡献式子中带了 \(|x_i-x_j|\) 这种东西，那么就把 \(x_i\) 排序，然后按上面的办法设连续段。

启发

• 一种新的dp模型。