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题面

给定一棵树，并且钦定树上的一些点为关键点，定义 \(h_i\) 为节点 \(i\) 距离所有关键点中距离最小的距离。

有人要在树上滑雪，设其速度为 \(v\)，设当前在节点在 \(x\) ， \(y\) 是和 \(x\) 相邻的节点。

• 若 \(h_y>h_x\) 不能通过。
• 若 \(h_y=h_x\) 可以通过，通过时 \(v\leftarrow v-1\) 。
• 若 \(h_y<h_x\) 可以通过，通过时 \(v\leftarrow v+1\) 。

对于每个点 \(i\) ，设这个人从 \(i\) 节点开始，速度 \(v=0\)，过程中要保持 \(v\ge 0\) ，最多可以经过几个节点。（可以重复经过，经过多次算多次。）

数据范围 \(n\le 2\times 10^5\) 。

题解

求每一个 \(h_i\) 很简单。

设 \(x\) 为反复点当且仅当 \(\exist\ y\) ，\(x,y\) 相邻且 \(h_y=h_x\) 。

首先最优方案肯定是从 \(i\) 到达一个 \(h_j\) 最小的反复点 \(j\) 往返直到 \(v=0\) 最后再到关键点停止。

然后可以对每个点 \(i\) 求出是否是反复点，然后反推出哪些点可以到达 \(i\) 。

这个是 \(O(n^2)\) 的，然后你可能会想着去优化反推的过程，但实际上因为有 \(v\) 的存在始终没办法。

然后就有一个很神奇的事情，不同种类的 \(h_i\) 只有 \(O(\sqrt n)\) 个，然后就可以对每一个 \(h_i\) 跑一遍。

为什么呢？因为 \(\sum_{i\in\text{反复点}} h_i=O(n)\) 。

然后就是一个分层图的最短路模型，同层 ( \(h_i\) 相等)之间 \(v\leftarrow \min(v,0)-1\) ，不同层之间 \(v\leftarrow v+1\) ，只有 \(v\ge 0\) 的点才是可以达到的点。

注意后面的模型是分层图最短路，而不是普通最短路！

启发

• 积累到了一个 \(\sqrt n\) 的模型。
• 后面最后的最短路也要注意。