网络流&二分图选记

前言

这里会简单记录一下在网络流题目中碰到的有价值的点。

其实就是cmd博客的学习记录。

大概会随学习进度更新。

基本最大流

这里是指用流量去限制移动、选择之类。

也可以把流量当做状态。

• P2766 最长不下降子序列问题

用流量限制选择个数，按转移建图。

发现普通建图无法处理拿出来的子序列有 $s$ 的长度。

其实可以建立分层图，因为 LIS 具有分层图的结构，只有上一层的点才能连到下一个点，这样就可以得到长度必须是 $s$ 的限制。

• P5029 T'ill It's Over

用流量限制技能的次数，流量看做是光明程度变化的过程。

发现操作都是一个区间连向另外一个区间，所以可以线段树优化建图。

（类）二分图匹配

基本的二分图匹配其实就是把物品当做是要操作的元素（操作可以是选择、移动、确定一个方案之类）

也有通过满流判断是否有解来搭配二分的做法。

还有些二分图的变种，比如三分图之类，但是只要右边的边不会连到左边来就还可以算是"二分图"。

基本 棋盘+只能处理相邻两格 都会二分图相关。

• P2825 [HEOI2016/TJOI2016]游戏

先考虑没有硬石头的情况，就相当于不能在同一行或同一列放置两个炸弹。

而硬石头的存在可以视作把完整的行/列分成了若干互不影响的段，按段的编号建立二分图即可。

• P6517 [CEOI2010 day1] alliances

如果没有人类上下左右的限制，相当于一次可以给相邻的两格权值都减少 $1$ ，直接跑二分图多重匹配即可。

而若加上人类上下左右的限制，就意味着上下只能选一个，左右也只能选一个，同时加上限制跑二分图匹配即可。

• P2570 [ZJOI2010]贪吃的老鼠

先乘以 $10^5$ 变成整数问题。然后考虑二分答案，同时给奶酪的存在时间离散化。

这样我们就得到 $O(n)$ 个时间段，每段内奶酪的存在情况都是确定的，而每只老鼠在这段时间里吃的大小也是可以知道的，这样就是一个匹配问题了。

但是有一个问题：我们无法做到在一个时刻一只老鼠吃一个奶酪。

考虑差分，设 $d_i=s_i-s_{i-1}$，这样对于 $i$ （已经不能叫做是第 $i$ 只老鼠了）来说，在一段时间内的吃的大小就是 $d_i\cdot (n-i+1)\cdot t$ ，而它给该时段内每个奶酪连的边的容量是 $d_i$ 。这样就解决了一个时刻只有一只老鼠吃一个奶酪。

• CF212A Privatization

结论题，答案就是度数不为 $t$ 的倍数的点的个数。

主要是构造过程。先求出每个点个度数 $d_i$ （默认右边的点的标号 $+n$）。

发现对于点 $x$ ，你需要给每 $\frac{d_x}{t}$ 个边染一种颜色，多出来的边染不同的颜色。

然后对于当前 $t$ ，有如下选法：

• 若 $t| d_x$，$x$ 恰好选择 $\frac{d_x}{t}$ 条边。
• 否则 $x$ 可以选择 $\frac{d_x}{t}\sim \frac{d_x}{t}+1$ 条边。

然后给这些边染成第 $t$ 种颜色之后，就变成了 $t'=t-1$ 的问题，而且并没有影响答案。

所以可以依此构建二分图，首先是正常的二分图建图，连向源/汇点的流量是 $\frac{d_x}{t}$ 。但是发现可能会流不满，那么就占用可以流 $\frac{d_x}{t}+1$ 的点，可以设置这些点有 $1$ 的额外流量。

如果直接让额外流量连向源汇点会一个问题，就是可能额外流量的存在使当前最大流不会使本该流满的边流满，而我们的额外流量是为了帮助流满的。

所以我们考虑这样建图：（$S\rightarrow TT$ 只有在源点流出来的总流量 $su_1$ 大于右边的总流量 $su_2$ 时才会有 $su_2-su_1$ 的容量，$SS\rightarrow T$ 就是反过来。）

为什么？其实我还没有搞明白，只是觉得很高级...或许之后会补...

最小割

最小割这种东西，个人感觉会比最大流玄学一点。

一般会把割掉某条边看成是放弃某个收益，或承受某个代价。

然后你需要把目标状态对应到网络中的 $S$ 与 $T$ 不连通的状态。

有时还会加一些 $\inf$ 边去限制一些方案以满足题目要求。

• P2774 方格取数问题

网格+没有公共边 $\rightarrow$ 二分图。

然后假设我们把所有数都给选了，然后需要舍弃一些方格以保证 没有公共边 的要求。

那么我们考虑用割的形式，一个点连向 源、汇 的边的容量就是该点的权值，相邻的点连$\inf$ 防止被割。这样没有公共边的限制就和 $S$ 与 $T$ 不连通挂上了。

• P6094 [JSOI2015]圈地

和上题相同，先假设把所有房子都卖了，然后考虑舍弃一些房子或承担一些修墙费用。

这里舍弃房子和上题相同，修墙费用就是割掉一条路，那么就把这条路的容量设为修墙费用。

这题中需要满足的条件是不联通，那么路就要改成双向边。

• P3227 [HNOI2013]切糕

考虑题目中的上下截断，那么我们对于每一行一列 $(x,y)$ 来说，把 $(x,y,1)$ 连源点，把 $(x,y,R)$ 的点连汇点，中间点按权值串联，这就是一个最小割问题。

考虑相邻两竖列切点不超过 $D$ ，这其实就是让我们排除某些不合法的割的方案，那么我们给某个 $(x,y,z)$ 的位置，向着四相邻竖轴 $(x',y',z-D)$ 的位置连 ⁡$\inf$ 边。这样就保证了如果割了$(x,y,z)$ 而且割了 $(x',y',z-D-1)$ 的话，那么 $(x',y',z-D-1)$ 就白割了，因为还是会有流量流过来，这样就保证了方案满足要求。

• P5458 [BJOI2016]水晶

题目的图暗示（假装被暗示了）我们给图染三色，但是有两个条件，形如 $(a,b,c)$ 不能同时存在，如果直接在三分图上连边、跑最小割就会有一个问题，本来 $(a_1,b,c_1)$ 的限制加上 $(a_2,b_1,c_2)$ 的限制，在这个图中就变成了 $a_1,a_2$ 和 $b_1$ 和 $c_1,c_2$ 不能同时存在。所以这种三种或三种颜色以上的都不能直接上最小割。

那怎么办，考虑找这个 $(a,b,c)$ 的限制有什么特殊性。

发现对于在能量源上的水晶，周围的水晶只能保留一种颜色的的水晶，这样我们就可以对中间的点向两边连一次边，就不会出现上面说的这种多次限制导致互相影响。

同样的题还有：P3756 [CQOI2017]老C的方块

• P1361 小M的作物

这个题代表了一类最小割题目，就是选择只有两种，可以划分为 $S,T$ 两个集合来区分，然后对于 $x$ 在 $S$ 集合中有一些贡献，在 $T$ 集合中有一些贡献，而 $a_1,a_2,...,a_k$ 这些点同时在 $S$ 或 $T$ 中有一些贡献。

同样，我们先考虑所有贡献都拿到了，然后割去一些贡献以满足要求：一个点不能同时在 $S$ 中又在 $T$ 中，其实就是使 $S$ 与 $T$ 不连通。

如果没有这些额外贡献，是很好做的，有了额外贡献，就只需要考虑到如果把组合中任意一个点 $a_i$ 分到了另一个集合，那么就必须要割掉这个贡献。

所以可以这样建图：我们对每个组合建立虚点，和源、汇点相连，边权为额外权值。然后连边到对应的物品上,边权为 $\inf$ 防止被割。如果要割掉任意一个物品边，都必须要割掉所对应的所有集合边，否则白割。

最大权闭合子图

闭合子图是指，在一个有向图中的子图 $S$，并且不存在一条边 $x\rightarrow y$，使得 $x\in S$，但 $y\notin S$ 。

而最大权就是给每个点有一个权值（有正有负），需要你选取的闭合子图权值和最大。

处理这类问题，我们是把其转化为最小割问题来解决的。

假设我们把所有正权点都选了，考虑割掉一些选了的点，或承受一些负权点使得满足闭合子图的条件。

那么我们将原图中的一条边 $x\rightarrow y$ 变为网络中的 $(x,y,\inf)$ ，同时对于正权点连 $(S,x,val_x)$ ，负权点连 $(x,T,val_x)$ 。这样若网络中还有流量，那么就意味着还有正权点没有舍弃或负权点没有承受。

一般只要出现了要选 $x$ 就必须要选 $y$ 的时候就是最大权闭合子图。

• P3410 拍照

对于每个收益建虚点，注意都到要想得到这个收益，就必须要选择一些点，那么就给对应的要求连边，最后就是求该图的最大权闭合子图了。

• P3973 [TJOI2015]线性代数

$(A\times B-C)A^{T}$ ？什么玩意？

尝试化一下式子：$\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^n A_{j}\cdot B_{i,j}-C_{i}) A_{i}=\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^n A_{i}\cdot A_{j}\cdot B_{i,j}-\sum_{i=1}^n A_{i}\cdot C_{i}$

因为 $A_i$ 只能是 $0,1$ 那么这个式子的意思就是：同时选 $A_i,A_j$ 可以得到 $B_{i,j}$ 的收益，但选 $A_i$ 就会付出 $c_i$ 的代价。

直接做会有 $n^2$ 的点，有优化方法，但好像不优化也能过去。

• P3749 [六省联考2017]寿司餐厅

注意到想要得到 $d_{l,r}$ 的贡献就必须要得到 $d_{l+1,r}$ 和 $d_{l,r-1}$ 的贡献。但是还有费用的问题。

若 $m=0$ 那么就是 $d_{l,l}$ 还需要 $a_l$ 的费用，而 $m=1$ 时就意味着若选了类型 $x$ 的任意一个就需要 $x^2$ 的费用，同样也是要选 $x$ 就必须要选 $y$ 的形式。

• P4177 [CEOI2008]order

若不存在租用，完成一项工作必须购买对应的所有机器，这就是个经典的最大闭合子图问题。

考虑租用，就是可以花费一定代价删去依赖关系，那么稍微改一下建图就可以：每个工作向对应的机器连边的边权为租用费用，其余就是最大权闭合子图。

DAG(偏序集)相关

• 普通版：P2764 最小路径覆盖问题

我们采用调整的思想。首先将每个点用单独一个路径覆盖，然后考虑不断合并两条路径，最终总路径最少。

我们拆出入点变成二分图，对于图中原有的边，从出点连向入点。这样某条边 $(x,y)$ 被选中，就相当于将 $x$ 路径的末尾连上了 $y$ 路径的开始。

正好路径不能交叉、汇合，也满足二分图匹配的问题。

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回到偏序集，首先要明白什么是偏序集。

偏序集 $(S,<)$ 满足集合中值元素之间存在大小关系 $x,y\in S,x< y$，允许不可比(无定义)的情况出现。但是比较一定有传递性 $\forall\ x<y,y<z\rightarrow x<z$，且不能互相矛盾 $\nexists\ x<y ,y<z,z<x$。其实可以看成是 DAG。

对于偏序集中的一个子图，若任意两个点都可比，叫做是偏序集的链。（注意：这里与图中的路径不同，这里只要求被推导出的关系联通，而不要求在初始的关系中就联通。）

而一个子图，任意两个点都不可比叫做反链。

不同于最小路径覆盖，在求偏序集的最小链覆盖问题时，我们是需要先求出传递闭包的，这样才能满足链的定义。求出一个点所有可以到达的点之后，就是上面的做法了。

• P4589 [TJOI2018]智力竞赛

考虑二分，二分之后问题就变成了能否覆盖所有关键点（也就是 $val_x<mid$ 的点）。

如果直接上 最小路径覆盖 就会有一个问题：对于 $val_x>mid$ 的点，是不需要被覆盖的，但也不能把它给拿掉（可以作为中间点）所以这里需要求的是 偏序集的最小链覆盖 。

• P4298 [CTSC2008]祭祀

首先有 Dilworth 定理：最长反链大小=最小链覆盖数量。

考虑构造答案，又有一定理：对于求最小链覆盖的时候的二分图，求出一个最大独立集 $I$ ，对于一个点 $u$ 如果满足出入点都在 $I$ 内，则将其加入最长反链答案集合 $A$ 。

之后又有更简单的判断方式： $u$ 的入点与 $S$ 联通，且出点不与 $S$ 联通 $\Leftrightarrow$ $u$ 在最长反链中。

证明？没有。