处理多维关系汇总

什么是多维关系

多维关系基本上指偏序关系，即一个元素包含多个属性\((a,b,..)\)，每次需要快速查找满足某一关系的所有元素，再进行整体处理（权值和，第\(k\)大...），如最基本的逆序对，每一个元素包含了位置和权值\((pos,val)\)，对于每一个\(i\)，需要查询的是满足\(pos_j<pos_i\land a_j>a_i\)的\(j\)的个数。

在处理这类问题的时候，首先需要将题目包含的关系找到，再运用各种方法，不断消除偏序关系，最终使满足条件的元素在一个可以整体处理的数据结构中，就可以很好的解决了。

下面就将介绍一些消除偏序关系的方法。

排序

没错，最简单的方法就是排序。

设偏序关系是\(a_i<a_j\)(下同)，那我们就按\(a_i\)降序排序，这样当处理\(i\)的时候，所有\(a_j>a_i\)的\(j\)就已经被处理好了，这时候我们就消去了\(a\)这一偏序关系。

当然，如果偏序关系是\(a_{j,1}<a_{i,2}<a_{j,3}\)（保证\(a_{i,1}\le a_{i,2}\le a_{i,3}\)）的时候，我们按\(a_{i,2}\)排序后，可以满足\(a_{j,1}<a_{i,2}\)，但\(a_{i,2}<a_{j,3}\)的怎么满足呢？其实只要在删除\(a_{j,3}<a_{i,2}\)的\(j\)就可以了。或许你已经听过这个思想，它还有另外一个名字——扫描线。

排序可以消除一维关系，剩下一维整体处理，但往往题目中的偏序关系不止两维，这时候就需要更高级的方法了。

KDT

KDT是用来处理在\(k\)维空间上，维护单点的二叉树/线段树结构。核心是将点进行不断划分，使整颗树的深度为\(O(\log n)\)级别，对一个矩形查询/修改一次的复杂度为\(O(n^{1-\frac{1}{k}})\)。

建树：选择方差最大的一个维度(注意方差计算时开double)，然后以该维度上的中位数划分当前区间，即将小于（等于）的放在左边，大于（等于）的放右边。然后递归处理。pushup的时候维护包含所有点的最小矩形的边界。

查询/修改：正常修改，即当前矩形范围被询问矩形包含即操作，返回，完全不包含的情况就返回。然后由于某种奇妙的性质，整个过程的复杂度为\(O(n^{1-\frac{1}{k}})\)

两种不同的结构

• 线段树式：只有叶子节点才表示一个节点，空间4倍。

  ​ 优点：处理方便，pushup时不需要考虑边界，pushdown也少一些细节。

• 二叉树式：每一个节点就是一个节点，空间1倍。

  ​ 优点：可以方便的支持动态加点（需要判断若某一个儿子的节点大小大于整颗子树大小的\(0.6\)倍时重构）。

特点：

• 空间\(O(n)\)，但时间\(O(n\sqrt n)\)，如果查询的点动态插入的话需要\(O(n\sqrt {n\log n})\)（插入\(\sqrt n\)的点重构整颗树），或\(O(n^{0.57})\)的子树重构。但是建好了的点的属性是不能改变的！

  所以一般在已知要查询的点时可以使用KDT，需要修改点的属性的时候不能使用KDT。

• 由于其和线段树一模一样的结构，可以完全支持线段树的所有处理办法，如吉老师线段树。

  所以一般在整体处理复杂但有结合律（这是所有可以拿标记维护的基础）的时候可以使用KDT。

• 复杂度和值域无关！

树套树

树套树，即在树型数据结构的每一个节点上再开一个树型数据结构。在第一个数据结构的处理中删掉第一个偏序关系，而第二个数据结构进行整体处理。

先说明一下内层与外层的最主要的区别：我们需要在多个独立的内层数据结构中得到结果并合并起来，所以不能处理第\(k\)大之类的问题。所以一定要选择好先消除哪个偏序关系，留下哪个做处理。

• 树状数组

  • 内层

    树状数组放入内层的时候无法动态开点，用unordered_map常数巨大，所以无法做内层。

  • 外层

    可以单点加、区间查，或区间加单点查，无法处理区间加，区间查。

    只能求前缀min/max，不能求区间min/max

    常数很小。

    • 线段树（值域线段树）

  • 内层

    可以处理所有单点，区间问题，在处理区间问题时注意标记永久化，可以极大减小常数。

    在有重点的情况下，处理比较困难。

    有值域限制，而且空间为\(O(n\log^2 n)\)。

  • 外层

    和内层基本一致，处理此处标记无法下传，所以必须标记永久化。

• 平衡树

  • 内层

    处理无值域限制，空间为\(O(n\log n)\)

    常数大

  • 外层

    好像要替罪羊树，没写过，唯一能多干的事就是支持动态插入。

树套树与KDT的比较

• 常数方面：最经典的动态二维数点，随机加入和查询\(10^5\)次，运行结果如下：

  	值域\(10^5\)内	值域\(10^9\)内
  子树重构kdt	\(1.45s\)	\(1.45s\)
  根号整树重构kdt	\(1.65s\)	\(1.65s\)
  树状数组套线段树	\(0.75s\)	受值域限制
  树状数组套平衡树	\(1.89s\)	\(2.5s\)

• 处理问题方面：

  • kdt处理两维限制是一起消除的，所以无法处理某些只关系一维的问题，如第\(k\)大。
  • 而树套树内层的每个点实际上有多种地方出现（即在外层的多个节点出现），那些需要前后关联的操作就无法实现，如区间赋值。

• 实际问题

  • CF44G Shooting Gallery

    二维平面，给定一些点，点带点权，每次操作查询矩形内最小权值的点，并删除。

    首先查询是最小值，外层不能用树状数组，内层线段树处理困难，平衡树常数巨大，所以推荐使用kdt。

  • P1975 [国家集训队]排队

    每次交换数列中两个数，查询整体逆序对数。

    分析一下得：求数列在\((x,y)\)而且值在\((l,r)\)的数的个数，然后单点修改值

    虽然是明显的二维数点，但涉及第二维值的修改，即需要维护删点和加点，难搞。不如直接树状数组套线段树。

  • P6349 [PA2011]Kangaroos

    给定每个元素是一个区间的序列，多次询问，给出 A,B，求出 a 中最长的区间（即这个序列中的一段），使得这个区间内每个区间都与$ [A,B]$有交集。

    分析一下得：二维平面，有一些点，每次给一个矩形，使包含在矩形内的点权值+1，其余清零，求每个点的历史最值。

    又是二维点的处理，但这里是要加、赋值、历史最值，赋值就根本无法处理，历史最值更没得搞。只能用kdt。

cdq分治

cdq分治是将动态（在线）的问题转化为静态（离线）的问题。

怎么理解这句话？

就好比这样一个问题：

有一个数组，数轴上有一些点，多次询问，每次询问给定一个区间，求区间所包含的点数。

如果提前告诉你所有的点，然后再去询问。这时候你知道，所有的点都可能会在区间中，就可以将点按坐标排序，在区间左端点后、右端点前的就在区间内。

但如果在询问之后又加了一些点，并且后面还有询问...这时候上面的办法就没用了，因为在询问后加入的点不可能前面的询问矩形内。这时候你按坐标排序，在区间左端点后、右端点前的点不一定在区间内。

上面这两种情况就分别对应了静态和动态（你也可以理解为动态情况多了时间轴的偏序关系，即只有时间前的才能贡献时间后的，这也是为什么我将cdq放在了这个专题里）

• 算法流程：

  套用上面的问题，有一个时间先后的操作序列，\(\text{C}\)为加点，\(\text{Q}\)为查询。如\(\{C\;\;C\;\;Q\;\;C\;\;Q\;\;C\;\;Q\;\;C\}\)。

  考虑从正中间划分\(\{C\;\;C\;\;Q\;\;C\;|\;Q\;\;C\;\;Q\;\;C\}\)

  这时候你发现，在分割线左边的加点操作一定先与右边的查询操作\(\{C\;\;C\;\;.\;\;C\;|\;Q\;\;.\;\;Q\;\;.\}\)。

  那么这就转化为了静态的问题，在给左边的\(\text{C}\)和右边的\(\text{Q}\)打上标记之后，就可以按照上面引入部分的方法解决了（处理的时候我们只处理带标记的加点和查询）。

  处理完之后再去递归处理分割线左边的\(\{C\;\;C\;\;Q\;\;C\}\)和右边的\(\{Q\;\;C\;\;Q\;\;C\}\)。

  当然，你可能会说排序之后分割线左右的已经不是原来那样了，没有关系，我们先递归再处理也是可以的。

• 不一样的cdq

  上面所介绍的是最基本的cdq处理问题方法，其实还有很多情况是cdq可以处理的，下面是一些cdq的技巧（或许是）

  • 偏序降维\(\rightarrow\)时间轴 （P3810【模板】三维偏序）

    我们可以将一个静态的问题，将某一偏序关系排序之后，就变成了"只有前面才会贡献后面"的动态问题。

  • 查询与修改的相互转化（P3810【模板】三维偏序）

    这题中，我们没有修改，而查询满足条件的点对数。看似与上面我们介绍的修改和查询分开不同，但实际我们在处理的时候，就可以把分割线左边的点当做修改，右边的点当做查询。这样在查询到的点全是左边的点，满足题面的要求。

  • 优化带依赖关系的转移 （P3769 [CH弱省胡策R2]TATT）

    有这样的一个DP：\(dp_{i}=\max\{a_i\ge a_j\land b_i\ge b_j\land c_i\ge c_j\land d_i\ge d_j|\;dp_{j}\}+1\)。

    同样，先排序消除一维偏序关系，转化为动态问题cdq分治后，发现这个dp转移好像又有所不同，其实我们可以将左边点当做修改（加入一个值为\(dp_i\)的点），右边的查询满足条件的最大值。

    注意：由于一个点在转移时必须先知道其dp值，所以遍历分治树时必须按中序遍历，并且为了避免破坏原来的顺序，需要额外开一个数组去处理。

  • cdq嵌套（P3769 [CH弱省胡策R2]TATT）

    在消除第一维偏序之后，其实还可以继续cdq消除第二维偏序，此时与三维偏序不同的是这里我们已经明确了修改和查询。

  • 容斥计算答案（CF1045G AI robots）

    当询问的偏序关系是\(a_i-k\le b_j\le a_i+k\)的时候，而我们内层为了让常数小而使用树状数组的时候，我们可以考虑将询问拆成两个，即加上\(\le a_i+k\)的答案，减去\(\le a_i-k-1\)的答案。

• 其他：

  • 关于cdq与树套树和kdt的比较

    cdq常数吊打另外两个！

    cdq的处理方法类似树套树，在消除偏序关系的时候分割了修改，所以无法处理如区间赋值，区间加的操作。

    cdq必须离线。

  • 复杂度：

    分治层数为\(O(\log n)\)层，看处理一层的复杂度是多少。一般是\(O(n\log^2n)\)

    优化：如果处理一层只需要\(O(len)\)，而需要排序，并且处理的问题非依赖转移类，可以使用归并排序优化到\(O(n\log n)\)

常见的偏序关系

排除最明显的\(a_i<a_j\)。

• 区间关系（P5445 [APIO2019]路灯）

  \(\text{区间[l_1,r_1]包含区间[l_2,r_2]}\rightarrow l_1\le l_2\land r_2\le r_2\)。

  \(\text{区间[l_1,r_1]与[l_2,r_2]相交}\rightarrow l_1\le r_2\lor l_2\le r_2\)。

• 树上路径关系（P3242 [HNOI2015] 接水果）

  路径A包含路径B\(\rightarrow\)dfs序的关系（分\(lca_{x,y}=x\)和不等两种关系）

• 绝对值（P4169 [Violet]天使玩偶/SJY摆棋子）

  若\(a_i\)和\(a_j\)的大小确定了，那么\(|a_i-a_j|\)的正负也确定了。

  所以我们可以先处理有\(a_i\le a_j\)关系的，再处理有\(a_i> a_j\)关系的。

• 最小值最大值（CF1045G AI robots）

  如\((x_i-x_j)\leq\min(r_i,r_j)\)，我们可以以\(i\)去考虑所有\(r_i<r_j\)的\(j\)，这样就可以将min去掉。

若遇到更多的应该会添加。

总结

​ 做这类题的大概步骤就是：找到题目里的偏序关系\(\rightarrow\)选用合适的算法\(\rightarrow\)一定要对拍！