树上问题总结

前言

​ 暑假里通过托老师的分享，系统的学习了树上的一些操作，发现其中有很多有用的trick，所以总结一下。

​ 托神无敌！

一

• 问题形式：批量处理f(dep(lca(x,y)))的问题，f(x)是一个关于x的函数

• 过程：先树剖，然后将x到根的路径先处理出贡献，（对于不同深度带来不同值，可以在数据结构里体现），然后在对于每一个y，统计其到根的路径上的贡献之和。

• 原理：x与y的lca正是x到根的路径与y到根的路径的第一个交点，其深度自然是两条路径的重合的长度。

• 例题：

  有 $m$次询问，每次询问给出 $l\ r\ z$，求 $\sum_{i=l}^r dep[LCA(i,z)]$ 。

  ​ ——[LNOI2014]LCA

二

• 问题：处理关于树上直径的问题

• 关键：

  • 任意一个点的最远距离的点一定是直径的某一端点（必须是树才可以）
  • 任何一个树的直径中心只会有一个或两个。

• 例题：

  q次询问，每次求出若干个点的最小联通块的所有可能的直径中心

  ​ ——2021.8.26 test T2

三

• 问题：一个路径的权值等于路径上任意点对的权值和，求所有路径的权值和。

• 关键：对于每个点对计算其贡献次数。

  • 若点对$(x,y)$没有祖先关系，次数为$size[x]\times size[y]$
  • 若点对$(x,y)$有祖先关系，设x是y的祖先，次数为$(n-size[x]+1)\times size[y]$

• 原理，计算包含这两个点对的路径的条数。

• 例题：

  树上每个节点代表了字典树上的一个节点，记为$S(x)$，一条路径$K$的权值为

  $$f(K)=\sum_{x\in K,y\in K,x<y}f(LCP(S(x),S(y)))$$

  求树上所有路径的权值和

  ​ ——Luogu P5439永恒

四

• 问题：处理不同位置关系的点对

• 过程：

  • 所有不具有祖先关系的点对

    void sous(int x,int fa){
    	query();
    	遍历子树;
    	insert();
    }
    

  • 所有具有祖先关系的点对

    void sous(int x,int fa){
    	query();
    	insert()
    	遍历子树;
    	delete();
    }
    

• 例题

  判断一颗树是否满足$\forall 1 \le i < j \le n,\gcd(a_i, a_j) = a_{\operatorname{lca}(i, j)}$

  ​ ——Luogu P7854 GCD Tree

五

• 问题：在不重复的情况下，计算多个点到根路径上的点权和。

• 过程：对点按dfs排序，先计算每个点其路径上的点权和，而重复的部分就是每对相邻的点的lca到根的路径上的点权和，减去即可。

• 原理：类似建虚树的时候将点按dfs排序一样，在有序的情况下，某个点到根路径与现有的路径重合的部分一定是与dfs次小于他的点的lca到根的路径。

• 例题：

  利用AC自动机求模式串包含多少模板串。（出现多次算一次）

  ​ ——[SCOI2012]喵星球上的点名

六

• 问题：每个点产生的贡献需要单独计算，多次询问求根到x的路径的贡献之和。

• 过程：先把问题离线到各个节点上，最后遍历一次树，进入节点加上贡献，退出时减掉。可以看成一些具有祖先关系的点对

• 注意：也可以将不经过根节点的链通过差分变成此类问题。由此也可以扩展成一条路径。

• 例题：

  给一颗树，树上的边有一个字符，$q$ 次询问：每次给两点 $x,y$ 和一个字符串 $str$，询问串 $str$ 在从点 $x$ 到点 $y$ 的路径中每条边上的小写字母顺次连接形成的字符串中出现多少次。

  ​ ——2021.7.20 test T2

七

• 问题：树上DP，父亲的DP值和儿子DP值相关。需要对每个节点单独钦定一次DP值，求根节点的DP值。

• 过程：把DP的转移看成矩阵。遍历一遍树，利用矩阵的结合律，用栈维护根到父亲的转移的矩阵积。对每个节点构建出钦定DP值后的矩阵，乘上栈顶的矩阵，这样就可以快速求出该节点DP固定，其他点不变时根节点的DP值。

• 例题

  有一课树。要把树上的节点加入一个集合S，每个点加入集合的概率为。

  $$p(u)= \begin{cases} 0&\forall v\in u.son\&u\in S\\ b[u]&other \end{cases}$$

  每个加入集合的点u会产生贡献，具体为

  $$\sum_{u\in S}c[v]\sum_{v\in S\&v\in subtree(u)}s[v]$$

  ，你要确定01序列S的值，使上面的式子的期望最大。

  ​ ——2021.9.13 T3

八

• 问题：在树上确定两个关键点，每个点的贡献是距离小的关键点的距离×权值

• 关键：把每个点到距离最小关键点的路径标记，可以确定有一条边一定不会被标记。因此可以对树划分为两个部分，然后对两颗子树分别考虑贡献。

• 例题：

  一颗树，在树上确定两个关键点，每个点的贡献是距离小的关键点的距离×该点权值，最小化贡献之和（$n\le 10^3$）

  ​ ——2021.9.16 T4

九

• 问题：每个点有颜色，多次询问求某个点的子树内颜色数。

• 关键：对每种颜色考虑两个dfs序相邻的点，记为$x,y$，发现$x,y$对$x,y,lca_{x,y}$分别产生$1,1,-1$的贡献。

• 例题

  一个每个点有颜色的树， 多组询问，每次询问给出 $u, d$，求 $u$ 的子树内深度不超过 $dep_{u} + d$ 的点集中的颜色种类数，强制在线。

  ​ ——BZOJ4771 七彩树

十

• 问题：对于树上的一个点 $x\in[1,n]$ ，需要对每一个点$i\in[1,n]$去考虑是否满足一个条件$p(x,i)$，且只要$p(x,i)=1$，那么对于$j\in i$的子树，都有$p(x,j)=1$。定义$val_x=\sum_{i}[ p(x,i)=1\land p(x,fa_i)=0]$，对每一个 $x$ 求$val_x$

• 关键：想办法去除只有父亲为 $0$ 自己为 $1$ 的贡献模式（因为这种方式只能暴力扫整树），我们考虑一颗树，有$\sum\limits_{i=1}^m d_{a_i}=2m-1$，$d_i$为$i$的度数大小，$a_i$表示这子树中的点。所以$1=\sum\limits_{i=1}^m(2-d_{a_i})$，那么我们只要给每个点的贡献设为$2(2-d_i)$，那么$val_x=\sum_{i=1}^n[p(x,i)=1]\times(2-d_i)$，这样就消去了父亲必须为 $0$ 的限制。

• 例题

  有一棵树，树上的每个叶子都是出入口。开始时，每个出入口都可以放一个农民（也可以不放）。每个时刻，贝茜和农民都可以移动到相邻的一个结点。如果某一时刻农民与贝茜相遇了（在边上或点上均算），则贝茜将被抓住。抓捕过程中，农民们与贝茜均知道对方在哪个结点。

  请问：对于结点 $i\,(1\le i\le N)$ ，如果开始时贝茜在该结点，最少有多少农民，她才会被抓住。

  ​ ——P4183 [USACO18JAN]Cow at Large P