树上问题总结

前言

暑假里通过托老师的分享，系统的学习了树上的一些操作，发现其中有很多有用的trick，所以总结一下。

托神无敌！

问题形式：批量处理f(dep(lca(x,y)))的问题，f(x)是一个关于x的函数
过程：先树剖，然后将x到根的路径先处理出贡献，（对于不同深度带来不同值，可以在数据结构里体现），然后在对于每一个y，统计其到根的路径上的贡献之和。
原理：x与y的lca正是x到根的路径与y到根的路径的第一个交点，其深度自然是两条路径的重合的长度。
例题：

有 $m $次询问，每次询问给出 $l\ r\ z$，求 $\sum_{i=l}^r dep[LCA(i,z)]$ 。

——[LNOI2014]LCA

问题：一个路径的权值等于路径上任意点对的权值和，求所有路径的权值和。
关键：对于每个点对计算其贡献次数。
- 若点对$(x,y)$没有祖先关系，次数为$size[x]\times size[y]$
- 若点对$(x,y)$有祖先关系，设x是y的祖先，次数为$(n-size[x]+1)\times size[y]$
原理，计算包含这两个点对的路径的条数。
例题：

树上每个节点代表了字典树上的一个节点，记为$S(x)$，一条路径$K$的权值为

\[f(K)=\sum_{x\in K,y\in K,x<y}f(LCP(S(x),S(y))) \]
求树上所有路径的权值和

——Luogu P5439永恒

过程：

所有不具有祖先关系的点对

void sous(int x,int fa){
	query();
	遍历子树;
	insert();
}

所有具有祖先关系的点对

void sous(int x,int fa){
	query();
	insert()
	遍历子树;
	delete();
}

例题

判断一颗树是否满足$\forall 1 \le i < j \le n,\gcd(a_i, a_j) = a_{\operatorname{lca}(i, j)}$

——Luogu P7854 GCD Tree

问题：每个点产生的贡献需要单独计算，多次询问求根到x的路径的贡献之和。
过程：先把问题离线到各个节点上，最后遍历一次树，进入节点加上贡献，退出时减掉。可以看成一些具有祖先关系的点对
注意：也可以将不经过根节点的链通过差分变成此类问题。由此也可以扩展成一条路径。
例题：

给一颗树，树上的边有一个字符，$q$ 次询问：每次给两点 $x,y$ 和一个字符串 $str$，询问串 $str$ 在从点 $x$ 到点 $y$ 的路径中每条边上的小写字母顺次连接形成的字符串中出现多少次。

——2021.7.20 test T2

问题：树上DP，父亲的DP值和儿子DP值相关。需要对每个节点单独钦定一次DP值，求根节点的DP值。
过程：把DP的转移看成矩阵。遍历一遍树，利用矩阵的结合律，用栈维护根到父亲的转移的矩阵积。对每个节点构建出钦定DP值后的矩阵，乘上栈顶的矩阵，这样就可以快速求出该节点DP固定，其他点不变时根节点的DP值。
例题

有一课树。要把树上的节点加入一个集合S，每个点加入集合的概率为。

\[p(u)= \begin{cases} 0&\forall v\in u.son\&u\in S\\ b[u]&other \end{cases} \]
每个加入集合的点u会产生贡献，具体为

\[\sum_{u\in S}c[v]\sum_{v\in S\&v\in subtree(u)}s[v] \]
，你要确定01序列S的值，使上面的式子的期望最大。

——2021.9.13 T3

问题：每个点有颜色，多次询问求某个点的子树内颜色数。
关键：对每种颜色考虑两个dfs序相邻的点，记为$x,y$，发现$x,y$对$x,y,lca_{x,y}$分别产生$1,1,-1$的贡献。
例题

一个每个点有颜色的树，多组询问，每次询问给出 $u, d$，求 $u$ 的子树内深度不超过 $dep_{u} + d$ 的点集中的颜色种类数，强制在线。

——BZOJ4771 七彩树

问题：对于树上的一个点 $x\in[1,n]$ ，需要对每一个点$i\in[1,n]$去考虑是否满足一个条件$p(x,i)$，且只要$p(x,i)=1$，那么对于$j\in i$的子树，都有$p(x,j)=1$。定义$val_x=\sum_{i}[ p(x,i)=1\land p(x,fa_i)=0]$，对每一个 $x$ 求$val_x$
关键：想办法去除只有父亲为 $0$ 自己为 $1$ 的贡献模式（因为这种方式只能暴力扫整树），我们考虑一颗树，有$\sum\limits_{i=1}^m d_{a_i}=2m-1$，$d_i$为$i$的度数大小，$a_i$表示这子树中的点。所以$1=\sum\limits_{i=1}^m(2-d_{a_i})$，那么我们只要给每个点的贡献设为$2(2-d_i)$，那么$val_x=\sum_{i=1}^n[p(x,i)=1]\times(2-d_i)$，这样就消去了父亲必须为 $0$ 的限制。
例题

有一棵树，树上的每个叶子都是出入口。开始时，每个出入口都可以放一个农民（也可以不放）。每个时刻，贝茜和农民都可以移动到相邻的一个结点。如果某一时刻农民与贝茜相遇了（在边上或点上均算），则贝茜将被抓住。抓捕过程中，农民们与贝茜均知道对方在哪个结点。

请问：对于结点 $i\,(1\le i\le N)$ ，如果开始时贝茜在该结点，最少有多少农民，她才会被抓住。

——P4183 [USACO18JAN]Cow at Large P

posted @ 2022-02-17 19:26 qwq_123 阅读(180) 评论(1) 编辑收藏举报

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