[JOISC 2018 Day 4] 野猪

题面

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​ 给定一个包含 $n \le 2000$ 个结点，$m\le 3000$ 条带权无向连通图。

​ 开始时有一个长度为 $k \le 10^5$ 的序列 $x_1, x_2 . . . x_k$，表示 JOI 君开始时在$x_1$, 它要依次访问结点 $x_2 . . . x_k$ 但是，不能沿原路返回前一个到达的结点。序列中可能有重复结点, 但保证序列中相邻两结点不同。

​ 接下来有 $t ≤ 10^5$ 次修改, 每次修改会给出两个整数 $P_k,Q_k$, 表示将 $x_{P_k}$ 修改为 $Q_k$。每次修改后，求满足要求的最短路径。

题解

​ 先考虑没有不能沿原路返回怎么做？发现只需要求出任意两点之间的最短路 $dis_{i,j}$ 就行。

​ 再考虑一下，原路返回只会在什么情况下出现？从$x_{i-1}\rightarrow x_i$，现在要到$x_{i+1}$，但过去的最短路和过来的时候冲突了。怎么办？

​ 那么我们对一条路径$x\rightarrow y$，考虑记录起点后的第一个点 $s$，终点前的第一个点 $t$，如果$t_i\neq s_{i+1}$，这两条路径就是合法的，但是总会有不合法的情况，怎么办？

​ 肯定还需要记录不同的走法，但是如果起点相同，终点也相同，那么这条路径肯定不会优于最短路。那么我们就记录起点终点不同的，设$s_i,t_i$分别表示对应路径中起点后的第一个点和终点前的第一个点，我们记录这四条路径：

• 最短路
• 所有$s_2\neq s_1,t_2\neq t_1$中的最短路
• 所有$s_3\neq s_1,t_3\neq t_2$中的最短路
• 所有$s_4\neq s_2,t_4\neq t_1$中的最短路

​ 为什么就是这 $4$ 条路径？因为这4条边包含了所有可能碰到的冲突情况，比如若最短路的 $s$ 冲突，那么有第 $2,3$ 条路径，而若 $2$ 的 $t$ 冲突则有第 $3$ 条路径，而且这些路径都是在最优不满足的情况下的次优选择。

​ 之后线段树就可以维护修改了，pushup的时候可以暴力枚举左边和右边的路径两两组合，之后依次枚举选出这四条路径。

​ 最后就只剩如何对每对点$x,y$，求出$x\rightarrow y$路径的这四条路径。发现这个时候我们用点表示最短路（即记录从 $S$ 到点 $x$ 的最短路）无法求出其他三条路径，怎么办？

​ 用点不行，那么我们就用边表示，因为边刚好包含了点的转移，我们枚举第一步走的哪一条边，就确定了起点和$s$，最后也可以知道终点和$t$。

​ 但是这样我们的最短路就要改一下，如果直接像TAX那题一样，边化点，点化边，再优化连边会很麻烦。这里我们可以简单一点。考虑直接跑dij，只是最后用边记录答案，那么有哪些边最后没有记录答案？其实就是顺着最短路路径的反向边，这也是用点表示最短路不能展现的贡献方案。

​ 那么我们可以记录到达点 $x$ 的边 $v_x$ ，那么我们再一次遍历到点 $x$ 的时候就可以顺着 $v_x$ 返回前面的点，从而更新所有的边。代码：

ll d[maxn << 1];
int v[maxn];
priority_queue<pair<ll, int>> p;
void zuidl(int S) {
    memset(v, 0, sizeof(v));
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[S] = a[S].z;
    p.push(mp(-d[S], S));
    while (p.size()) {
        int id = p.top().se;
        ll D = -p.top().fi;
        p.pop();
        int x = a[id].y;
        if (D > d[id] || v[x] < 0)continue;
        if (!v[x]) {
            v[x] = id;//记录到达x的点的编号
            for (int i = h[x]; i; i = a[i].ne) {
                if (i == (id ^ 1) )continue;//不能通过上一个边的反边
                if (d[i] > d[id] + a[i].z) {
                    d[i] = d[id] + a[i].z;
                    p.push(mp(-d[i], i));
                }
            }
        } else {
            int y = v[x] ^ 1;// 反向边
            v[x] = -1;
            if (d[y] > d[id] + a[y].z) {
                d[y] = d[id] + a[y].z;
                p.push(mp(-d[y], y));
            }
        }
    }
}

启发

• 记录路径这里背吧...可以用来处理满足$b_{i-1}\neq a_i$条件下的最值问题。
• 需要得到一条路径起点的下一个点，终点的前一个点，而且还需要多条路径，就按上面的最短路方法。