[BalticOI 2020 Day2] 病毒

题面

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​ 题面直接看吧，这里补充一点，就是只有在序列中只含\(0,1\)才会被考虑，也就是那些长度无限长的病毒根本没有意义。

题解

​ 题目问最小不能被检测的病毒长度，而可以被检测\(\rightarrow\)最小不能被检测的病毒长度为无限长。

​ 发现有多串的匹配问题（不能以\(c\)作为子串），直接考虑AC自动机表示状态，对于fail树祖先中有结束状态的节点都设为不可访问点。

​ 但是我们的一种基因可以有多种突变方式，而且字符的长度也很长，不能直接在只有\(0,1\)的最终字符串上转移。但这启发我们：任何一个基因其实完成的是AC自动机上状态的转移。

​ 比如 \(0\) ，可以让\(x\leftarrow tr[x][0]\)，而比如对于基因 \(2\) 存在一个突变表\(2\leftarrow 0\;1\;0\)，其实也就是让\(x\)通过以下变换\(x\leftarrow tr[x][0],x\leftarrow tr[x][1],x\leftarrow tr[x][0]\)。所以我们可以设 \(f_{i,s,t}\) 表示通过第 \(i\) 个基因，让AC自动机上状态从\(s\rightarrow t\)且不经过不可到达点，所需要的最短长度。

​ 考虑维护这个转移。首先，任何基因肯定是通过突变表来变换的，所以我们可以枚举突变表。考虑\(s\)是怎么变到\(t\)的？一定是先经过第一个\(b_1\)，使用\(f_{b_1,s,c_1}\)的代价到\(c_1\)，在使用\(f_{b_1,c_1,c_2}\)的代价到\(c_2\)......最后使用\(f_{b_l,c_l,t}\)的代价到\(t\)，我们需要维护这个过程的最小代价。所以我们又需要一个dp来维护这个最小值。

​ 枚举起点\(s\)设\(g_{i,j}\)表示经过\(i\)个突变后的基因，当前AC自动机上的状态为\(j\)的最小代价。那么有转移\(g_{i,j}=\min_{k}\{g_{i-1,k}+f_{b_i,k,j}\}\)，最后再去更新\(f_{a,s,t}=\min g_{l,t}\)。

​ 这样我们对与一个突变表维护一次的复杂度为\(O(n^3l)\)，\(n\) 为AC自动机的状态数。好像可以直接暴力扫 \(G\) 遍，每次再去更新一次所有突变表，复杂度为\(O(G \sum l n^3)\)，这里的 \(l\) 为原题中的 \(k\) 。

​ 但这个的正确性感觉无法保证，主要是突变表中包含本身的情况，一定会保证自己更新自己的取值不会作为其他点的最终答案吗？

​ 有个正确性可以保证的做法，但是我没有研究。。。

启发

• 这类\(a\leftarrow \{b_1,b_2...,b_l\}\)的转移都可以套用这种dp方法，即考虑一个数带来的状态的转移。
• AC自动机可以维护不能以某些串作为子串的dp状态。