2-sat

2-sat

2-sat是用来解决如下问题形式的算法：

有 \(n\)个布尔变量 \(x_1\sim x_n\)，另有 \(m\)个需要满足的条件，每个条件的形式都是" \(x_i\) 为 true / false 或 \(x_j\)为 true / false"。

算法的原理是将\(x_i\)为真和\(x_i\)为假拆成两个状态（点），通过建立"若 \(x\) 真/假则 \(y\) 必真/假"的关系(边)，将约束条件转化为了一个有向图。

• 具体连边方式举例：

  \(a\lor b:\) \(\neg a\rightarrow b\;,\;\neg b\rightarrow a\) 理解为：若\(a\)假则\(b\)必真，若 \(b\) 假则 \(a\)必真

在这个有向图中，只要确定了某一个点，那么他连向的所有点都确定了。在这里，确定的含义是依据该点状态（是真是假）确定了该点的编号是真还是假。

所以我们可以先缩点，缩点之后的DAG中，当”x为真“所在的强连通分量的拓扑序在”x为假“所在的强连通分量的拓扑序之后取 x 为真。（体现在强连通分量的编号上是编号小的在编号大的下面）

原因：如果是拓扑序小的状态确定了，那么就有可能会导致拓扑序大的状态同时确定，就矛盾了。反之，如果确定拓扑序大的点，那么小的点一定不会被确定，也就不会产生矛盾。

一个奇怪的性质：连边的时候\(x\)和\(\neg x\)所连的边具有对称性(相反性)，即\(x\rightarrow y\)，那么\(\neg y\rightarrow \neg x\)，而且如果\(x\)最后强连通分量内的点有\(y\)，那么\(\neg x\)所在的强连通分量一定会有\(\neg y\)，而且边的方向相反。