ARC127D

题面

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​ 给定序列\(A\)和序列\(B\)，求\(\sum_{1\le i<j\le N}\min(A_i\oplus A_j,B_i \oplus B_j)\)，\(\oplus\)为异或。

题解

​ 先考虑怎么求\(\sum_{1\le i<j\le N}A_i\oplus A_j\)

​ 拆位，然后对每一位求这一位是\(0,1\)的数有多少，对答案的贡献就是\(cnt[0]\times cnt[1]\)。

​ 加上了min之后，肯定是要去除掉min带来的影响。

​ 一个超级厉害的东西：考虑比较两个二进制数，肯定是前面几位相等，之后有一位不相等，那我们判断大小的关键就是那一位。

​ 那怎么求出这一位呢——异或！看\(A_i\oplus A_j\oplus B_i \oplus B_j\)哪一位为1，那么这一位就是判断大小的一位。

​ 然后发现这可以换一下位置：即\((A_i\oplus B_i)\oplus(A_j \oplus B_j)\)。那么就可以设\(C_i=A_i\oplus B_i\)，根据\(C_i\)在这一位的不同将序列分治，处理已经分出大小的序列，然后不断向下递归。

​ 具体来说，可以将序列按\(C_i\)排序，然后对于位数，求出该位0和1的分界\(mid\)，即\([l,mid-1]\)是0，\([mid,r]\)是1。然后对于每个i你都是知道其\(A_i\)和\(B_i\)的。那么你就可以将其分为四组，按上面的计算方法计算贡献：

• \(A_i\)这一位是\(0\)，\(B_i\)这一位是\(0\)，\(A_j\)这一位是\(0\)，\(B_j\)这一位是\(1\)，此时产生贡献的是\(A_i \oplus A_j\)，
• \(A_i\)这一位是\(0\)，\(B_i\)这一位是\(0\)，\(A_j\)这一位是\(1\)，\(B_j\)这一位是\(0\)，此时产生贡献的是\(B_i \oplus B_j\)，
• \(A_i\)这一位是\(1\)，\(B_i\)这一位是\(1\)，\(A_j\)这一位是\(1\)，\(B_j\)这一位是\(0\)，此时产生贡献的是\(A_i \oplus A_j\)，
• \(A_i\)这一位是\(1\)，\(B_i\)这一位是\(1\)，\(A_j\)这一位是\(0\)，\(B_j\)这一位是\(1\)，此时产生贡献的是\(B_i \oplus B_j\)，

启发

• 对大小关系的判断可以考虑异或！
• 可以分治计算这种需要对于每对\((i,j)\)计算其贡献的题。