ABC221H

题面

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​ 给定\(N,M(\le5\times 10^3)\)，你需要对每一个\(k=1,2,..,N\)，求出满足以下条件的可重集\(A\)的个数

• \(A\)包含\(k\)个正整数，且\(\sum_{i=1}^kA_i=n\)
• 同一元素的个数不超过\(M\)

题解

​ 想想暴力怎么写：设\(f[i][j]\)表示选了\(i\)个元素，和为\(j\)，然后\(1\sim n\)枚举加入的元素，枚举加入的个数，再枚举状态来转移，这样是\(O(n^3\ln n)\)的。

​ 关键：为了避免重复，我们是从小到大枚举的元素，也就暗含了加入元素时递增的性质，这就启发了我们给这个递增的序列做差分。\(b_i=a_i-a_{i-1}\)

​ 这样的话，\(b_i\)的贡献就是\((k-i+1)b_i\)，将序列翻转之后就是\(i\times b_i\)，这样的话发现\(b_i\)的取值均摊下来只会有\(O(\ln)\)次（因为\(i\times b_i\)如果大于\(j\)就一定不会合法，可以直接break掉）

​ 所以，优化的效果达到了。我们再看一下现在的问题：你需要构造一个序列\(b_i\)，满足没有连续\(M\)个\(0\)，并且最后一个数是正整数(即翻转前的\(b_1=a_1\))

​ 转移时我们可以枚举非\(0\)位置是谁，然后转移，具体来说

\[f[i][j]=\sum_{k=\max(1,i-m)}^{i-1}\sum_{p|i}f[k][j-p] \]

​ 然后用前缀和优化掉第一个sum。

启发

• 把递增序列转化成差分序列，然后通过差分后序列会产生贡献的状态少了达到优化的效果！
• 差分由于\(0\)的存在，经常会用到前缀和优化！