AC自动机

AC自动机

AC自动机适用于多个字符串的匹配，以及一系列引申出来的问题

Trie图

通过将Trie树转化为Trie图，并且使这些非树边到达的地方是“所有模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀。”

上图！（灰色的边：字典树的边，黑色的边：AC 自动机修改字典树结构连出的边。）

​ 例如，当前的状态是\(hers\)，而下一个字母是\(h\)，而在原本的Trie树上是没有边的，也就是失配了，而在Trie图上，我们转移到了\(hersh\)的在“模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀”，即\(sh\)，从而能尽可能的匹配到模式串

fail数组

和Trie的非树边类似，fail数组指向当前状态\(S\)的“所有模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀。”

同样是上面的图（黄色的边：fail 指针）

fail\([she]\)便指向\(he\)

fail的指向还会构成一颗树，满足任意一节点\(S\)的祖先节点全都是\(S\)的后缀

构建

按Trie树的深度（字符串的长度）从小到大处理（bfs）

设当前状态是\(sh\),我们从\(a\sim z\)枚举，如果有在Trie树的边（\(tr[sh][e]\)），就更新\(fail[tr[sh][e]]\)，否则则修改非树边\(tr[sh][i]\)

那用什么更新呢？;

以下用\(x\)表示当前节点，\(son\)表示下一个节点，\(son=x+s\)，即当前边表示\(s\)

想一下fail的定义，“所有模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀。”，一个一个去找肯定不可能，那能不能利用已经求来的呢？

答案是肯定的，而且就是运用\(x\)的信息，\(fail[x]\)是匹配\(x\)的最长后缀，如果\(tr[fail[x]][s]\)是原本Trie树上的边，那\(fail[son]=tr[fail[x]][s]\)

那如果不是呢，也没有关系，此时\(tr[fail[x]][s]\)就表示匹配\(fail[x]\)的最长后缀，也就是匹配\(x\)的最长后缀，也就是\(fail[son]=tr[fail[x]][s]\)

同样，更新非树边也是这个道理

代码：

void add(string a){
	m=a.size();
	int p=0;
	for(int i=0;i<m;i++){
		if(tr[p][a[i]-'a'])p=tr[p][a[i]-'a'];
		else{
			top++;
			tr[p][a[i]-'a']=top;
			p=top;
		}
	}
	en[p]++;
}
void build(){
	queue<int> q;
	for(int i=0;i<=25;i++){
		if(tr[0][i])q.push(tr[0][i]);
	}
	while(q.size()){
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<=25;i++){
			if(tr[x][i]){
				fail[tr[x][i]]=tr[fail[x]][i];
				q.push(tr[x][i]);
			}
			else tr[x][i]=tr[fail[x]][i];
		}
	}
}

运用

• 基础板子
• DP
• fail树

总结

AC自动机实际上就是对Trie树进行一些处理，使来处理的匹配串能在失配的情况下，迅速跳到最能匹配的位置，即“所有模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀。”

同时，fail数组则可以维护当前状态的最长的为Trie节点的后缀，通过fail树的操作还可以处理所有为Trie节点的后缀