线性基
线性基
线性基是什么？王总说：“OI 中所说的线性基，其实是位线性空间下的在线化矩阵求秩。”
enmmm.......差不多是这个样子，但是想要通过这样来理解线性基还要学好多好多前置知识，先说一下个人的理解吧。
首先，你要知道线性基在干什么：线性基在线的维护一个小集合 \(T\) ，在集合内选几个数异或起来，能够表示所有当前大集合 \(S\) 里的二进制数，想要理解的更深一点的解释可以见下面。
然后由于异或的自反性，也就是无论是加入还是删除掉 \(x\) 的贡献，我们都可以通过异或来达到，这样的话我们可以设一个数\(y=x_{a_1}\oplus x_{a_2}...\oplus x_{a_k}\)，这样我们可以在 \(S\) 中删去 \(x_{a_1}\)，加入 \(y\)，这样，如果我们想表示\(x_{a_1}\)，就可以通过\(y\oplus x_{a_2}...\oplus x_{a_k}\)来表示。
那么我们就可以重新组合这些 \(x\) ，这里给出线性基的构造方法：将当前的 \(y_i\) ，也就是通过\(x\)构造出来的数从上到下排好之后就是一个上三角，比如：
可以看到对于\(i\)行，只有\(i\sim n\)位才有值。如果我们想构造出 \(x\)(将 \(x\) 异或为 \(0\)) ，这样的话我们从高位往低位遍历，如果第 \(i\) 位为1，那么我们就将\(x\leftarrow x\oplus y_i\)，只要这个矩阵是满的，那么对于任意一个\(x\)我们都可以构造出来，而如果矩阵有一行没有值，如：
这样的矩阵，我们除了第2位和第5位无法构造，其他的几位都可以构造了，方法还是向上面提到的，如果第 \(i\) 位为1，那么我们就将\(x\leftarrow x\oplus y_i\)。
现在我们考虑维护这个矩阵，实际上我们维护的是一个数组，对于数组的每一位 \(i\) ，将 \(a_i\) 转化成二进制就是这个矩阵的一行。
我们想往集合 \(S\) 中加入 \(x\) ，前面提到过，\(y_i\)其实是由\(x\)构造出来的，既然如此我们也就尝试用\(x\)构造出\(y\)。依然是从高位往低位遍历，如果\(x\)第 \(i\) 位为 \(0\) 就跳过，否则看\(y_i\)是否为 \(0\) ，为 \(0\) 则\(y_i\leftarrow x\)，否则\(x\leftarrow x\oplus y_i\)。代码出乎意料的短：
void insert(ll x){
for(int i=m;i>=0;--i){
if(!(x>>i))continue;
if(!y[i]){
y[i]=x;break;
}
x^=y[i];
}
}
这样建好了之后，我们就可以将这\(y_i\)就当做之前的\(S\)，为什么？因为在 \(x\) 插入的过程中，\(x\)不会被插入 \(y\) 中当且仅当\(y_i\)可以构造出 \(x\) ，也就表示这个数已经可以被表示了。
之后的运用就灵活很多了，你就把这些\(y_i\)当做\(S\)就行了。
应用：
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给定 \(n\) 个整数，求在这些数中选取任意个，使得他们的异或和最大。
从高到低，贪心选择，如果当前 \(ans\) 第 \(i\) 位为\(0\)，那么就\(ans\leftarrow ans\oplus y_i\)。
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有m个集合\(S_i\)，多次操作：
- 给\(S_i\)加入一个数\(x\)。
- 设\(T=\bigcup_{i=l}^r S_i\)，并在\(T\)中选任意个数，使他们异或和最大。
同样和上面的操作一样，但是这里有区间操作，考虑线段树去维护区间内 \(S\) 交的的线性基。
但是怎么合并呢？注意到我们可以就把当前 \(y_i\) 当做 \(S\) ，那么合并的时候就暴力将右区间有效的 \(y_i\) 全部暴力插入左区间的线性基，单次合并线性基的复杂度是\(O(k^2)\)的。
上面的就是线性基的基本操作，查询、合并，之后的就是对这些操作的运用。
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一棵树有n个节点，每个节点有个数 \(a_i\) ，多次询问，每次询问给一条路径，设\(T=\bigcup _{i\in \text{path(u,v)}}\{a_i\}\)，并在\(T\)中选任意个数，使他们异或和最大。
当然可以树剖做，但是这样是\(O(q\log k\log^2 n)\)，可以考虑点分治，这样对于一次询问我们只需要合并一次线性基，这样的复杂度就是\(O(q\log n\log k)\)
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给出一个连通带权无向图,边有边权,要求支持 \(q\) 个操作:
\(1 \;x \;y \;d\) 在原图中加入一条 \(x\) 到 \(y\) 权值为\(d\) 的边。
$2 ;x ;y $ 把图中 \(x\) 到 \(y\) 的边删掉。
$3 ;x ;y $ 表示询问 \(x\) 到 \(y\) 的异或最短路。
先考虑没有修改的情况，因为异或的自反性，我只要从\(x\rightarrow y\)，之后\(y\rightarrow x\)，发现带来的贡献为 \(0\) ，所以我们可以找到一个环，然后找环上的一个点 \(y\) ，从当前的点 \(x\) 到 \(y\) ，之后再环上转一圈，记录上环的贡献，再回到 \(x\) 。
所以我们可以找到所有图里面的上的环，加入一个线性基，之后随便找一条\(x\rightarrow y\)的路径就可以了，但是环可以有很多，我们不能一个个找。
那么我们建立一棵生成树，之后对于一条非树边，就对应了一个环。而包含多条非树边的环一定会被多条这样的环给表示出来。
现在考虑带修改的情况，注意线性基加入简单但是删除困难，所以我们可以使用线段树分治，同时用带权并查集维护生成树。
关于线性基的本质分析
先给出几个概念（以向量为例）：
- 向量空间 \(S\) ：向量的集合。
- 初等变换：几个向量加权（数乘）之后加在一起得到向量。
- 线性无关：没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示。
- 基/秩：若向量集合 \(B\subseteq S\) ，并且 \(B\) 中的元素线性无关，则称 \(B\) 是一组基。
然后你要知道初等变换不影响矩阵的秩，然后就可以通过高斯消元求解。其实仔细想一想，通过其他向量构造出当前这个向量就是解一个方程组，而高斯消元表面上也就是解方程组的算法。
而二进制情况下，高斯消元的处理过程就特别简单了，通过在线的维护高斯消元的上三角，我们从上到下消元就行了。
