再说快速排序

快速排序作为排序算法中的战斗机，一直是排序算法里面用的最多也是考的最多的一个算法

已经证明，对n个元素进行排序，最优的算法也是需要NLogN的时间复杂度，而快速排序的时间复杂度就是NlogN，

所以快速排序是排序算法中最优算法中的一个，下面我们继续来探索一下神奇的快速排序算法吧

快速排序的核心思想：每次排序把每一个元素k移动到正确的位置，并且把小于k的元素都移动到k的左边，大于k的元素都移动到k的右边

待排序的数列x[]，长度为n

算法一：初始化k=x[m](m为待排序的第一个元素)，对于每一个元素x[i](i>m)，如果x[i]>=k，i++;如果x[i]<k,swap(x[i],x[++m])

代码如下：

 

void qsort1(int l,int h)
{
    if(l>=h) return; 
    int m=l;
    for(int i=l;i<=h;i++)
    {
        if(x[i]<x[l])
        {
            int temp=x[i];x[i]=x[++m];x[m]=x[i];
        }
    }
    int temp=x[l];x[l]=x[m];x[m]=x[l];
    qsort1(l,m-1);
    qsort1(m+1,h);
}

 

 算法一对随机整数组很有效，但是对于n个相同元素的时候，其性能会急剧下降，因为每次都要花O(n)的时间来去掉一个元素，总共需要接近O(n2)的时间复杂度

于是诞生了双向靠拢的算法二，

void qsort2(int l,int h)
{
    if(l>=h) return; 
    int t=x[l],i=l,j=h;
    while(i<j)
    {
        while(i<j&&x[j]>t) j--;
        x[i]=x[j];
        while(i<j&&x[i]<t) i++;
        x[j]=x[i];
    }
    x[i]=t;
    qsort2(l,i-1);
    qsort2(i+1,h);
}

 

算法二比算法一优化的地方是对于相同的元素，每次都可以把当前元素的位置定位在接近中间的位置，这使得总时间接近于O(NlogN)的时间复杂度

改进后的算法二虽然提高了对相等数列的效率，但对于已经排序好的升序来说，还是接近O(N2)的时间复杂度，原因是我们每次都是以第一个元素为划分    

改进的算法三想法如下：swap(l,randint(l,h))    ,randint(l,h)保证产生一个[l,h]范围的整数即可

int randint(int l,int h)
{
  srand(unsigned(time(NULL)));
  int temp=rand()%(u+1);
  return temp>l?temp:h-temp;
}

 

这样之后，快速排序还有哪里可以改进呢？

我们可以发现快速排序话费大量的时间来排序很小的子数组，如果用插入排序之类的简单算法来排序这些很小的子数据，程序的子速度会更快                                                                                          

if(h-l<cutoff)
    return

 

如何确定cutoff的值是一个难点，这个可以通过实验来得出，比如把n固定为100000，然后对cutoff在[1,100]内的每个可能取值都运行一遍，比较运行时间            

最后的算法四代码如下：

int randint(int l, int h)
{
  srand(unsigned(time(NULL)));
  int t = rand()%(h-l+1);
  return l+t;
}
void qsort4(int l,int h,int cutoff)
{
    if(l-h<cutoff) return;
    int r=randint(l,h);
    int t=x[r];x[r]=x[l];x[l]=t;
    t=x[l];
    int i=l,j=h;
    while(i<j)
    {
        while(i<j&&x[j]>t) j--;
        x[i]=x[j];
        while(i<j&&x[i]<t) i++;
        x[j]=x[i];
    }
    x[i]=t;
    qsort4(l,i-1);
    qsort4(i+1,h);
}
void isort(int h)
{  
  for (int i = 0; i < h; ++i)
  {
    int temp=x[i];int j;
    for(j=i;j>0&&x[j-1]>temp;j--)
    {
      x[j]=x[j-1];count++;
    }
    x[j]=temp;
  }
}
qsort4(l,h,cutoff);
isort(h);

最后再来看一个利用快速排序思想的问题：

如何在O(n)的时间里找到第k小的元素？

 代码如下

  

#include "stdlib.h"
#include "time.h"
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int x[100]={0};
int randint(int l, int h)
{
    srand(unsigned(time(NULL)));
    int t = rand()%(h-l+1);
    return l+t;
}
void search_kth(int l,int h,int k)
{
    if(l>=h) return;
    int r = randint(l,h);
    int t = x[r];x[r]=x[l];x[l]=t;t=x[l];
    int i=l,j=h;
    while(i<j)
    {
        while(i<j&&x[j]>=t) j--;
        x[i]=x[j];
        while(i<j&&x[i]<=t) i++;
        x[j]=x[i];
    }
    x[i]=t;
    if(i<k) search_kth(i+1,h,k);
    else if(i>k) search_kth(l,i-1,k);
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    srand(unsigned(time(NULL)));
    for (int i = 0; i < 100; ++i)
    {
        x[i]=rand()%100;
        cout<<setw(2)<<x[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    search_kth(0,99,50);
    cout<<endl;
    for (int i = 0; i < 100; ++i)
    {
        cout<<setw(2)<<x[i]<<" ";
    }
    return 0;
}