2018 南京预选赛 J Sum ( 欧拉素数筛 、Square-free Number、DP )
题意 :
定义不能被平方数整除的数为 Square-free Number
定义 F(i) = 有几对不同的 a 和 b 使得 i = a * b 且 a 、b 都是 Square-free
给出一个 N 求
分析 :
首先 Square-free 有一个性质
就是用唯一分解定理将 Square-free Number 分解后
素因数的指数都是 1
那么对于 a、b 是 Square-free Number
相乘 a * b 得出的 i 其不会有素因子的指数超过 2
然后你要熟悉欧拉筛
欧拉筛之所以是线性是因为、它保证筛出来的合数
都是用其最小质因子筛出来的、且做到不重复
定义 dp[i] = 题目所述的 F[i] 初始化 dp[1] = 1
然后在欧拉筛中进行动态规划、分几种情况
if i is prime number dp[i] = 2 ( 分别可以是 a 可以是 b )
if ( i % prime[j] != 0 ) dp[i] = dp[i] * dp[prime[j]] ( i 不是 prime[j] 的倍数、此方程显然 )
if ( i % prime[j] == 0){ (表示 i 至少包含了一个 prime[j] )
if( i % (prime[j]^2) == 0 ) dp[i*prime[j]] = 0 ( i * prime[j] 肯定有素因数指数 > 2 )
else if( i % prime[j] == 0 ) dp[i*prime[j]] = dp[i/prime[j]] ( i * prime[j] 会使得 prime[j] 这个因子指数为 2、所以就少了它的数量 )
}
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define scl(i) scanf("%lld", &i) #define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j) #define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k) #define scllll(i, j, k, l) scanf("%lld %lld %lld %lld", &i, &j, &k, &l) #define scs(i) scanf("%s", i) #define sci(i) scanf("%d", &i) #define scd(i) scanf("%lf", &i) #define scIl(i) scanf("%I64d", &i) #define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j) #define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j) #define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j) #define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k) #define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k) #define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k) #define sciiii(i, j, k, l) scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l) #define scdddd(i, j, k, l) scanf("%lf %lf %lf %lf", &i, &j, &k, &l) #define scIllll(i, j, k, l) scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k, &l) #define lson l, m, rt<<1 #define rson m+1, r, rt<<1|1 #define lowbit(i) (i & (-i)) #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define fir first #define sec second #define VI vector<int> #define ins(i) insert(i) #define pb(i) push_back(i) #define pii pair<int, int> #define VL vector<long long> #define mk(i, j) make_pair(i, j) #define all(i) i.begin(), i.end() #define pll pair<long long, long long> #define _TIME 0 #define _INPUT 0 #define _OUTPUT 0 clock_t START, END; void __stTIME(); void __enTIME(); void __IOPUT(); using namespace std; const int maxn = 2e7 + 10; bool isPrime[maxn]; LL Prime[maxn]; int tot = 0; LL dp[maxn]; LL ans[maxn]; inline void init() { dp[1] = 1; ans[1] = 1LL; mem(isPrime, true); for(int i=2; i<=(maxn-10); i++){ if(isPrime[i]){ dp[i] = 2; Prime[tot++] = i; } for(int j=0; j<tot && i*Prime[j]<=(maxn-10); j++){ isPrime[i*Prime[j]] = false; if(i % Prime[j] == 0){ if(i % (Prime[j]*Prime[j]) == 0) dp[i*Prime[j]] = 0; else dp[i*Prime[j]] = dp[i / Prime[j]]; break; }else dp[i*Prime[j]] = dp[i] * dp[Prime[j]]; } ans[i] = ans[i-1] + (LL)dp[i]; } } int main(void){__stTIME();__IOPUT(); init(); int nCase; sci(nCase); while(nCase--){ int n; sci(n); printf("%lld\n", ans[n]); } __enTIME();return 0;} void __stTIME() { #if _TIME START = clock(); #endif } void __enTIME() { #if _TIME END = clock(); cerr<<"execute time = "<<(double)(END-START)/CLOCKS_PER_SEC<<endl; #endif } void __IOPUT() { #if _INPUT freopen("in.txt", "r", stdin); #endif #if _OUTPUT freopen("out.txt", "w", stdout); #endif }
