Nowcoder Playing Games ( FWT 优化 DP && 博弈论 && 线性基)

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题意 : 给出 N 个数、然后问你最多取出多少石子使得在 NIM 博弈中、后手必胜

 

分析 : 

Nim 博弈模型，后手必胜当且仅当各个堆的石子的数目的异或和为 0

转化一下、变成最少取多少石子使得异或和为原来所有石子堆的异或和

和背包DP思想很类似、可以考虑 DP

 dp[i][j] = 到第 i 个石子为止、使得异或和为 j 的最少取石子方案是多少

但是如果这样子去构造 dp 转移显然是 O(n^2) 的

如果你接触过 FWT 优化 DP 的题目的话、可能会想到如下的 DP 方程

dp[i][j] = 取 i 个石子、是否能异或出 j 

dp[i][j] == 0 代表没有 j 这个值、 != 0 则反之

可能你会想为什么不直接用 bool 来作为 dp 类型

因为 bool 不能做乘法啊、为什么要做乘法啊？

因为要优化啊！可以考虑用 FWT 来优化这个 DP

dp[i][j] = ∑ dp[i-1][K] * stone[L] ( L ^ K = j )

注意这个 dp 的意义的第一维是石子个数、不是到第几个石子为止

Stone[i] == 1 表示初始石堆的状态有 i 这个值、等于 0 则反之

例如初始给出 1 2 4 这个石堆、则有

Stone[1] = Stone[2] = Stone[4] = 1、Stone[3] = 0

对于 FWT 做完后的 DP[i] == 0 代表没有 i 这个异或值、 != 0 代表有

当 DP[原始所有石堆的异或和] != 0 的时候就代表找到了、此时答案等于 ( n - 你迭代的次数 )

但是 DP 由于是做卷积、乘法相加会使得结果可能会很大造成溢出

所以每次做完 FWT 要将 DP 值和 1 取个 min

也就是用 1 来代表所有的非零状态、即存在这个数的状态

还有记得初始 DP[0] = 1

不过这个的第一维还是很大、此时你考虑二分

显然这个是满足二分性质的、如果是取最多的石子异或和为 0 则不满足二分

但是我们这里可以不考虑二分的做法

实际石子的个数并不会超过 19 个

因为 (1<<19) > 1e5(maxn)

为什么呢、因为根据线性基的理论

有 k 维度的线性基 (向量个数??) 最多只有 k 个

( 有没有大佬在评论具体解释一下为什么选不超过 19 个就行？)

( 我太弱了呀，看完线性基之后发现还是不太懂 ，只能强行解释？)

那么在此题中、找超过 19 个的话那么必定是有线性相关的组合

说实话、没以前没接触过线性基、所以对这个不是很了解

总之当结论用？？

 

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long

#define scl(i) scanf("%lld", &i)
#define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j)
#define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k)
#define scllll(i, j, k, l) scanf("%lld %lld %lld %lld", &i, &j, &k, &l)

#define scs(i) scanf("%s", i)
#define sci(i) scanf("%d", &i)
#define scd(i) scanf("%lf", &i)
#define scIl(i) scanf("%I64d", &i)
#define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j)
#define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j)
#define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j)
#define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k)
#define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k)
#define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k)
#define sciiii(i, j, k, l) scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l)
#define scdddd(i, j, k, l) scanf("%lf %lf %lf %lf", &i, &j, &k, &l)
#define scIllll(i, j, k, l) scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k, &l)

#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
#define lowbit(i) (i & (-i))
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))

#define fir first
#define sec second
#define VI vector<int>
#define ins(i) insert(i)
#define pb(i) push_back(i)
#define pii pair<int, int>
#define VL vector<long long>
#define mk(i, j) make_pair(i, j)
#define all(i) i.begin(), i.end()
#define pll pair<long long, long long>

#define _TIME 0
#define _INPUT 0
#define _OUTPUT 0
clock_t START, END;
void __stTIME();
void __enTIME();
void __IOPUT();
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;


void FWT(LL f[], int n, int op) {
    int mx = 0;
    while((1LL<<mx) < n) mx++;
    for (int i = 1; i <= mx; ++i) {
        int m = (1 << i), len = m >> 1;
        for (int r = 0; r < n; r += m) {
            int t1 = r, t2 = r + len;
            for (int j = 0; j < len; ++j, ++t1, ++t2) {
                LL x1 = f[t1], x2 = f[t2];
                if (op == 1) {   //xor
                    f[t1] = x1 + x2;
                    f[t2] = x1 - x2;
                    //if(f[t1] >= mod) f[t1] -= mod;
                    //if(f[t2] < 0) f[t2] += mod;
                }
                if (op == 2) {   //and
                    f[t1] = x1 + x2;
                    f[t2] = x2;
                    //if(f[t1] >= mod) f[t1] -= mod;
                }
                if (op == 3) {   //or
                    f[t1] = x1;
                    f[t2] = x2 + x1;
                    //if(f[t2] >= mod) f[t2] -= mod;
                }
            }
        }
    }
}

void IFWT(LL f[], int n, int op) {
    int mx = 0;
    while((1LL<<mx) < n) mx++;
    for (int i = mx; i >= 1; --i) {
        int m = (1 << i), len = m >> 1;
        for (int r = 0; r < n; r += m) {
            int t1 = r, t2 = r + len;
            for (int j = 0; j < len; ++j, ++t1, ++t2) {
                LL x1 = f[t1], x2 = f[t2];
                if (op == 1) {   //xor
                    f[t1] = (x1 + x2) / 2;
                    f[t2] = (x1 - x2) / 2;
//                    f[t1] = (x1 + x2) * inv2;
//                    f[t2] = (x1 - x2) * inv2;
//                    if(f[t1] >= mod) f[t1] %= mod;
//                    if(f[t2] >= mod) f[t2] %= mod;
//                    if(f[t2] < 0) f[t2] = f[t2] % mod + mod;
                }
                if (op == 2) {   //and
                    f[t1] = x1 - x2;
                    f[t2] = x2;
                    //if(f[t1] < 0) f[t1] += mod;
                }
                if (op == 3) {   //or
                    f[t1] = x1;
                    f[t2] = x2 - x1;
                    //if(f[t2] < 0) f[t2] += mod;
                }
            }
        }
    }
}

LL arr[maxn], dp[maxn];
int Tot_xor_Sum = 0;
int Len = 0;
int main(void){__stTIME();__IOPUT();

    int n;

    sci(n);

    for(int i=0; i<n; i++){
        int num; sci(num);
        arr[num]++;
        Len = max(Len, num);
        Tot_xor_Sum ^= num;
    }

    int Bit = 0;
    while((1<<Bit) <= Len) Bit++;

    Len = (1<<Bit);

    dp[0] = 1LL;

    FWT(arr, Len, 1);

    int ans = n;
    while(!dp[Tot_xor_Sum]){
        ans--;

        FWT(dp, Len, 1);

        for(int i=0; i<Len; i++) dp[i] = (dp[i] * arr[i]);///其实就是不断做FWT、相当于 arr 数组的 n - ans 次幂

        IFWT(dp, Len, 1);

        for(int i=0; i<Len; i++) dp[i] = min(dp[i], 1LL);///FWT后的DP值可能会溢出、所以取个min
    }

    printf("%d\n", ans);










__enTIME();return 0;}


void __stTIME()
{
    #if _TIME
        START = clock();
    #endif
}

void __enTIME()
{
    #if _TIME
        END = clock();
        cerr<<"execute time = "<<(double)(END-START)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
    #endif
}

void __IOPUT()
{
    #if _INPUT
        freopen("in.txt", "r", stdin);
    #endif
    #if _OUTPUT
        freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif
}