最大权闭合子图 ( 最大流最小割模型 )
引入闭合子图的概念 : 通俗点说就是选出一个图的子图，使得子图中的所有点出度指向的点依旧在这个子图内，则说明此子图是闭合子图。
最大权闭合子图 : 假设每个点具有点权值，在一个图的所有闭合子图中，点权之和最大的即是最大权闭合子图。
求取最大权闭合子图的权值之和是有一个结论的
一、先抽象出一个超级源、汇点
二、将权值为正的点和超级源点连接、容量为权值
三、将权值为负的点和超级汇点连接、容量为权值的绝对值
四、然后除了源、汇之外的点原本怎么连泽怎么连、且容量为无穷大
五、最大权闭合子图权值 = 所有权值为正的权值之和 - 最大流
一些题目
分析 : 如果要选择一个带有收益的边作为收益的话，那么就要同时选择其两个端点，如果将边抽象出来化成一个点的话，那么就是要选择一些点且这些
点要构成闭合子图，所以就是求取最大权闭合子图，那么就将每条边抽象成一个点，在处理每个边的信息的时候 (u, v, w) ，连接源点和这条边的化成的
点连接容量为 w ，然后从这个边化成的点连向 u、v 容量为 INF，构成限制关系，即选择这个边化成的点就必须同时选择 u 和 v，最后将所有的点和汇
点连接，权值是点权的绝对值
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; const int INF = 0x3f3f3f3f; struct Edge { int from,to,cap,flow; Edge(){} Edge(int from,int to,int cap,int flow):from(from),to(to),cap(cap),flow(flow){} }; struct Dinic { int n,m,s,t; //结点数,边数(包括反向弧),源点与汇点编号 vector<Edge> edges; //边表 edges[e]和edges[e^1]互为反向弧 vector<int> G[maxn]; //邻接表,G[i][j]表示结点i的第j条边在e数组中的序号 bool vis[maxn]; //BFS使用,标记一个节点是否被遍历过 int d[maxn]; //d[i]表从起点s到i点的距离(层次) int cur[maxn]; //cur[i]表当前正访问i节点的第cur[i]条弧 void init(int n,int s,int t) { this->n=n,this->s=s,this->t=t; for(int i=0;i<=n;i++) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from,int to,int cap) { edges.push_back( Edge(from,to,cap,0) ); edges.push_back( Edge(to,from,0,0) ); m = edges.size(); G[from].push_back(m-2); G[to].push_back(m-1); } bool BFS() { memset(vis,0,sizeof(vis)); queue<int> Q;//用来保存节点编号的 Q.push(s); d[s]=0; vis[s]=true; while(!Q.empty()) { int x=Q.front(); Q.pop(); for(int i=0; i<G[x].size(); i++) { Edge& e=edges[G[x][i]]; if(!vis[e.to] && e.cap>e.flow) { vis[e.to]=true; d[e.to] = d[x]+1; Q.push(e.to); } } } return vis[t]; } //a表示从s到x目前为止所有弧的最小残量 //flow表示从x到t的最小残量 int DFS(int x,int a) { if(x==t || a==0)return a; int flow=0,f;//flow用来记录从x到t的最小残量 for(int& i=cur[x]; i<G[x].size(); i++) { Edge& e=edges[G[x][i]]; if(d[x]+1==d[e.to] && (f=DFS( e.to,min(a,e.cap-e.flow) ) )>0 ) { e.flow +=f; edges[G[x][i]^1].flow -=f; flow += f; a -= f; if(a==0) break; } } if(!flow) d[x] = -1;///炸点优化 return flow; } int Maxflow() { int flow=0; while(BFS()) { memset(cur,0,sizeof(cur)); flow += DFS(s,INF); } return flow; } }DC; int main(void) { int N, M; scanf("%d %d", &N, &M); int S = 0; int T = N+M+1; DC.init(N+M+2, S, T); for(int i=1; i<=N; i++){ int Cost; scanf("%d", &Cost); DC.AddEdge(i, T, Cost); } int tot = 0; for(int i=1; i<=M; i++){ int u, v, w; scanf("%d %d %d", &u, &v, &w); DC.AddEdge(S, N+i, w); DC.AddEdge(N+i, u, INF); DC.AddEdge(N+i, v, INF); tot += w; } printf("%d\n", tot - DC.Maxflow()); return 0; }
分析 : 裸题、用来验模板吧
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e3 + 10; const int INF = 0x3f3f3f3f; struct Edge { int from,to,cap,flow; Edge(){} Edge(int from,int to,int cap,int flow):from(from),to(to),cap(cap),flow(flow){} }; struct Dinic { int n,m,s,t; //结点数,边数(包括反向弧),源点与汇点编号 vector<Edge> edges; //边表 edges[e]和edges[e^1]互为反向弧 vector<int> G[maxn]; //邻接表,G[i][j]表示结点i的第j条边在e数组中的序号 bool vis[maxn]; //BFS使用,标记一个节点是否被遍历过 int d[maxn]; //d[i]表从起点s到i点的距离(层次) int cur[maxn]; //cur[i]表当前正访问i节点的第cur[i]条弧 void init(int n,int s,int t) { this->n=n,this->s=s,this->t=t; for(int i=0;i<=n;i++) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from,int to,int cap) { edges.push_back( Edge(from,to,cap,0) ); edges.push_back( Edge(to,from,0,0) ); m = edges.size(); G[from].push_back(m-2); G[to].push_back(m-1); } bool BFS() { memset(vis,0,sizeof(vis)); queue<int> Q;//用来保存节点编号的 Q.push(s); d[s]=0; vis[s]=true; while(!Q.empty()) { int x=Q.front(); Q.pop(); for(int i=0; i<G[x].size(); i++) { Edge& e=edges[G[x][i]]; if(!vis[e.to] && e.cap>e.flow) { vis[e.to]=true; d[e.to] = d[x]+1; Q.push(e.to); } } } return vis[t]; } //a表示从s到x目前为止所有弧的最小残量 //flow表示从x到t的最小残量 int DFS(int x,int a) { if(x==t || a==0)return a; int flow=0,f;//flow用来记录从x到t的最小残量 for(int& i=cur[x]; i<G[x].size(); i++) { Edge& e=edges[G[x][i]]; if(d[x]+1==d[e.to] && (f=DFS( e.to,min(a,e.cap-e.flow) ) )>0 ) { e.flow +=f; edges[G[x][i]^1].flow -=f; flow += f; a -= f; if(a==0) break; } } if(!flow) d[x] = -1;///炸点优化 return flow; } int Maxflow() { int flow=0; while(BFS()) { memset(cur,0,sizeof(cur)); flow += DFS(s,INF); } return flow; } }DC; int arr[maxn]; int main(void) { int N; scanf("%d", &N); int S = 0, T = N + 1; DC.init(N+2, S, T); int tot = 0; for(int i=1; i<=N; i++){ int A, B; scanf("%d %d", &A, &B); arr[i] = A - B; if(arr[i] >= 0) DC.AddEdge(S, i, arr[i]), tot += arr[i]; else DC.AddEdge(i, T, -arr[i]); } int u, v, num = 0; while(~scanf("%d %d", &u, &v)) DC.AddEdge(v, u, INF); printf("%d\n", tot - DC.Maxflow()); return 0; }
分析 : 也差不多是裸题了，利用结论就行了，注意需要用 long long
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; const int maxn = 1e6 + 10; const int INF = 0x3f3f3f3f; struct Edge { int from,to,cap; LL flow; Edge(){} Edge(int from,int to,int cap,LL flow):from(from),to(to),cap(cap),flow(flow){} }; struct Dinic { int n,m,s,t; //结点数,边数(包括反向弧),源点与汇点编号 vector<Edge> edges; //边表 edges[e]和edges[e^1]互为反向弧 vector<int> G[maxn]; //邻接表,G[i][j]表示结点i的第j条边在e数组中的序号 bool vis[maxn]; //BFS使用,标记一个节点是否被遍历过 int d[maxn]; //d[i]表从起点s到i点的距离(层次) int cur[maxn]; //cur[i]表当前正访问i节点的第cur[i]条弧 void init(int n,int s,int t) { this->n=n,this->s=s,this->t=t; for(int i=0;i<=n;i++) G[i].clear(); edges.clear(); } void AddEdge(int from,int to,int cap) { edges.push_back( Edge(from,to,cap,0) ); edges.push_back( Edge(to,from,0,0) ); m = edges.size(); G[from].push_back(m-2); G[to].push_back(m-1); } bool BFS() { memset(vis,0,sizeof(vis)); queue<int> Q;//用来保存节点编号的 Q.push(s); d[s]=0; vis[s]=true; while(!Q.empty()) { int x=Q.front(); Q.pop(); for(int i=0; i<G[x].size(); i++) { Edge& e=edges[G[x][i]]; if(!vis[e.to] && e.cap>e.flow) { vis[e.to]=true; d[e.to] = d[x]+1; Q.push(e.to); } } } return vis[t]; } //a表示从s到x目前为止所有弧的最小残量 //flow表示从x到t的最小残量 LL DFS(int x,LL a) { if(x==t || a==0)return a; LL flow=0,f;//flow用来记录从x到t的最小残量 for(int& i=cur[x]; i<G[x].size(); i++) { Edge& e=edges[G[x][i]]; if(d[x]+1==d[e.to] && (f=DFS( e.to,min(a,e.cap-e.flow) ) )>0 ) { e.flow +=f; edges[G[x][i]^1].flow -=f; flow += f; a -= f; if(a==0) break; } } if(!flow) d[x] = -1;///炸点优化 return flow; } LL Maxflow() { LL flow=0; while(BFS()) { memset(cur,0,sizeof(cur)); flow += DFS(s,INF); } return flow; } }DC; int main(void) { int nCase; scanf("%d", &nCase); while(nCase--){ int n, m; scanf("%d %d", &n, &m); DC.init(n+m+2, 0, n+m+1); LL tot = 0; for(int i=1; i<=n; i++){ int val; scanf("%d", &val); DC.AddEdge(0, i, (LL)val); tot += (LL)val; } for(int i=1; i<=m; i++){ int cost; scanf("%d", &cost); DC.AddEdge(n+i, n+m+1, (LL)cost); } for(int i=1; i<=n; i++){ int n1, n2; scanf("%d %d", &n1, &n2); for(int j=1; j<=n1; j++){ int tmp; scanf("%d", &tmp); DC.AddEdge(i, n+tmp, INF); } for(int j=1; j<=n2; j++){ int tmp; scanf("%d", &tmp); DC.AddEdge(i, tmp, INF); } } printf("%lld\n", tot - DC.Maxflow()); } return 0; } //0 //1 ~ n //n+1 ~ n+m //n+m+1
