LCA模板 ( 最近公共祖先 )
LCA 有几种经典的求取方法、这里只给出模板，至于原理我完全不懂。
1、RMQ转LCA、复杂度O(n+nlog2n+m)
大致就是 DFS求出欧拉序 => 对欧拉序做ST表 => LCA(u, v) 即为 u、v 最先出现在欧拉序中的编号之间的最小值。
因为 LCA 的子树中必定有一个节点是 u，一个是 v，而且必定在两个节点到根节点的唯一路径上。
例如有欧拉序列 1 2 1 3 4 3 1 则 LCA(2, 3) == 1 、首次出现 2 的下标是 2、首次出现 3 的下标是 4、则 LCA 就是下标 2~4 之间的最小值即 1
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e4 + 10;///顶点数 struct EDGE{ int v, nxt, w; }Edge[maxn<<1]; int Head[maxn], cnt; int n, q, s;///点数、问询数、dfs起点 int fp[maxn]; int dfsLen;///每个顶点在欧拉序中第一次出现的位置、DFS序的长度（用做时间戳） int id[maxn]; int idLen;///每个顶点在DFS序中访问次序（用于离散化）、id数组的长度 int dp[maxn<<1][21];///跑ST表的dp数组（第二维应开到 ceil(log2(maxn<<1)) ） inline void init() { memset(dp, 0, sizeof(dp)); memset(Head, -1, sizeof(Head)); cnt = 0; idLen = dfsLen = 0; } inline void AddEdge(int from, int to, int weight) { Edge[cnt].v = to; Edge[cnt].nxt = Head[from]; Head[from] = cnt++; } void dfs(int v, int Fa) { int tmp; id[tmp = ++idLen] = v; dp[fp[v] = ++dfsLen][0] = tmp; for(int i=Head[v]; i!=-1; i=Edge[i].nxt){ int Eiv = Edge[i].v; if(Eiv == Fa) continue; dfs(Eiv, v, d); dp[++dfsLen][0] = tmp; } } void GetST() { for(int j=1; (1<<j)<=dfsLen; j++){ for(int i=1; i+(1<<j)-1<=dfsLen; i++){ dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]); } } } int LCA(int u, int v) { if(fp[u] > fp[v]) swap(u, v); int L = fp[u], R = fp[v]; int k = (int)(log(R-L+1)/log(2)); return id[min(dp[L][k], dp[R-(1<<k)+1][k])]; } int main(void) { scanf("%d %d %d", &n, &s, &q); for(int i=1; i<n; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); AddEdge(u, v); AddEdge(v, u); } dfs(s, -1); GetST(); while(q--){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); printf("%d\n", LCA(u, v)); } return 0; }
2、树上倍增 、复杂度 O(n+nlog2maxDep+mlog2maxDep), maxDep在最坏情况下等于n
大致就是 DFS求出每个节点的深度、父亲节点这两个信息 => 通过倍增求出每个节点向根节点方向走 2^j 所能到达节点是什么
=> LCA(u, v) 就可以通过预先处理好的倍增数组先移动u、v使其深度一样、然后再一起 2^j 向上跳，直到跳转到 LCA
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10;///顶点的数目 struct EDGE{ int v, nxt, w; }Edge[maxn<<1]; int Head[maxn], cnt; int dep[maxn], maxDep;///每个点的深度、最深点的深度 int Fa[maxn][21];///倍增记录数组（ Fa[i][j] 从 i 号节点开始走 2^j 步能到达的点 ) int n, m, s, q;///点、边、dfs起点、问询数 inline void init() { memset(Head, -1, sizeof(Head)); memset(Fa, -1, sizeof(Fa)); cnt = 0; maxDep = 0; } inline void AddEdge(int from, int to) { Edge[cnt].v = to; Edge[cnt].nxt = Head[from]; Head[from] = cnt++; } void dfs(int v) { if(Fa[v][0] != -1) maxDep = max(maxDep, dep[v] = dep[Fa[v][0]]+1); for(int i=Head[v]; i!=-1; i=Edge[i].nxt){ int Eiv = Edge[i].v; if(Eiv == Fa[v][0]) continue; Fa[Eiv][0] = v; dfs(Eiv); } } inline void Doubling() { int UP = (int)(log(maxDep)/log(2)); for(int j=1; j<=UP; j++){ for(int i=1; i<=n; i++){ if(Fa[i][j-1] != -1) Fa[i][j] = Fa[Fa[i][j-1]][j-1]; } } } int LCA(int u, int v) { int UP = (int)(log(maxDep)/log(2)); if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v); for(int j=UP; j>=0; j--) if(Fa[u][j] != -1 && dep[Fa[u][j]] >= dep[v]) u = Fa[u][j]; if(u == v) return v; for(int j=UP; j>=0; j--){ if(Fa[u][j] != Fa[v][j]){ u = Fa[u][j]; v = Fa[v][j]; } } return Fa[u][0]; } int main(void) { scanf("%d %d %d", &n, &s, &q); for(int i=1; i<n; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); AddEdge(u, v); AddEdge(v, u); } dfs(s); Doubling(); while(q--){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); printf("%d\n", LCA(u, v)); } return 0; }
3、Tarjan算法( 离线 )、复杂度 O(n+m+nα(n))
大致就是 算了给个链接吧 Tarjan求LCA
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; struct EDGE{ int v, nxt, w; }Edge[maxn<<1]; struct Query{ int v, id; Query(){}; Query(int _v, int _id):v(_v),id(_id){}; }; vector<Query> q[maxn]; int Head[maxn], cnt; int Fa[maxn];///并查集数组 int ans[maxn];///问询数数组大小要注意一下、不一定是 maxn bool vis[maxn];///Tarjan算法中的标记数组 int n, m, s, qNum;///点、边、Tarjan递归起点、问询数 inline void init() { memset(Head, -1, sizeof(Head)); memset(vis, false, sizeof(vis)); cnt = 0; } inline void AddEdge(int from, int to) { Edge[cnt].v = to; Edge[cnt].nxt = Head[from]; Head[from] = cnt++; } int Findset(int x) { int root = x; while(Fa[root] != root) root = Fa[root]; int tmp; while(Fa[x] != root){ tmp = Fa[x]; Fa[x] = root; x = tmp; } return root; } void Tarjan(int v, int f) { Fa[v] = v; for(int i=Head[v]; i!=-1; i=Edge[i].nxt){ int Eiv = Edge[i].v; if(Eiv == f) continue; Tarjan(Eiv, v); Fa[Findset(Eiv)] = v; } vis[v] = true; for(int i=0; i<q[v].size(); i++){ if(vis[q[v][i].v]) ans[q[v][i].id] = Findset(q[v][i].v); } } int main(void) { init(); scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &s, &qNum); for(int i=1; i<=m; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); AddEdge(u, v); AddEdge(v, u); } for(int i=0; i<q; i++){ int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); q[u].push_back(Query(v, i)); q[v].push_back(Query(u, i)); } Tarjan(s, -1); for(int i=0; i<q; i++) printf("%d\n", ans[i]); return 0; }
4、树链剖分
并不会树剖，以后再补......
