「P4996」「洛谷11月月赛」 咕咕咕（数论
题目描述
小 F 是一个能鸽善鹉的同学，他经常把事情拖到最后一天才去做，导致他的某些日子总是非常匆忙。
比如，时间回溯到了 2018 年 11 月 3 日。小 F 望着自己的任务清单：
- 看 iG 夺冠；
- 补月赛题的锅。
小 F 虽然经常咕咕咕，但他完成任务也是很厉害的，他一次性可以完成剩余任务的任一非空子集。比如，他现在可以选择以下几种中的一种：
- 看 iG 夺冠；
- 补月赛题的锅；
- 一边看 iG 夺冠的直播，一边补锅。
当然，比赛实在是太精彩了，所以小 F 就去看比赛了。
不过，当金雨从天而降、IG 举起奖杯之时，小 F 突然心生愧疚——锅还没补呢！于是，小 F 的内心产生了一点歉意。
这时小 F 注意到，自己总是在某些情况下会产生歉意。每当他要检查自己的任务表来决定下一项任务的时候，如果当前他干了某些事情，但是没干另一些事情，那么他就会产生一定量的歉意——比如，无论他今天看没看比赛，只要没有补完月赛的锅，他都会在选择任务的时候产生 11 点歉意。小 F 完成所有任务后，他这一天的歉意值等于他每次选择任务时的歉意之和。
过高的歉意值让小 F 感到不安。现在，小 F 告诉你他还有 n 项任务，并告诉你在 m 种情况中的一种的情况下，小 F 会产生ai点歉意。请你帮忙计算一下，小 F 在那一天所有可能的完成所有任务方式的歉意值之和是多少。
由于答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353998244353 取模即可。
输入输出格式
输入格式：
输入一行两个整数 n,m，表示有 n 项任务，在 m 种情况中下小 F 会产生歉意值。
输入接下来 m 行，每行有一个长度为 n 的 0-10−1 串和一个歉意值ai，i,j 为 0/1表示第 j 项任务此时没做 / 已经做了。
详情请参考样例和样例解释。
输出格式：
输出一行一个整数，表示小 F 在那一天所有可能的完成任务方式的歉意值之和对998244353 取模的结果。
输入输出样例
说明
样例 1 解释：
0-1串中第一个数字表示小 F 看没看比赛，第二个数字表示小 F 补没补锅。
我们用∅ 表示小 F 什么都没干，AA 表示小 F 看了比赛，BB 表示小 F 补了锅，那么所有会产生愧疚的方式如下：
∅:1
{A}:1
那么所有可能的选择如下：
\varnothing\rightarrow\{A\}\rightarrow\{A,B\}:2∅→{A}→{A,B}:2
\varnothing\rightarrow\{B\}\rightarrow\{A,B\}:1∅→{B}→{A,B}:1
\varnothing\rightarrow\{A,B\}:1∅→{A,B}:1
所以答案是 2 + 1 + 1 = 42+1+1=4。
数据范围
保证出现的 \mathrm{state}_istatei 互不相同。
对于所有数据，有 1 \leq n \leq 201≤n≤20, 1 \leq m \leq \min(2 ^ n, 10 ^ 5), 1 \leq a_i \leq 10 ^ 51≤m≤min(2n,105),1≤ai≤105。
题解
题意
首先给定$m$个长为$n$的串，和踩中每个需付的代价。
定义每次操作从$\underbrace{000....00}_{n}$开始，每步可以任选至少一个$0$变成$1$，当所有串变成$\underbrace{111....11}_{n}$时，操作结束。
在操作过程中，如果在某时刻序列和之前给定的序列相同，那么要付给定序列的代价。
问在这数不清的不同操作都做完之后（两次操作相同当且仅当变换过程完全相同），一共要付的代价，对$998244353$取模。
哇这个题真实的难读懂啊qwq
以下分析
先来考虑对于一个给定串$s$，有多少个操作（设为$ans$）会撞上它。
可以注意到，答案跟数字的位置无关，所以我们可以先把串抽象出来，数出有$c$个$1$，$(n-c)$个$0$。
那么这$c$个$1$，可能是由$c-1$个$1$的串转移而来，可能是$c-2,c-3......0$个$1$的串转移而来。
dp!
设$f[i]$为转移成$i$个$1$的方案数。
转移方程：$f[i]=\sum_{j=0}^{j-1}(f[j]*C_{i}^{j})$。
其中$C_i^j$是因为有$C_i^j$种方式从$j$个$1$转移成$i$个$1$。（在$i$个里面钦定$j$个为原有的$1$的方案数为$C_i^j$）
那么从$000.....0$转移到$s$的方案数就为$f[c]$。
而从$s$转移到$111.....1$的方案数可以倒着思考：从$111.....1$转移到$s$，有$(n-c)$个$1$变成了$0$对叭。
所以可以直接操起求过的$f$数组，从$s$转移到全$1$串的方案数就为$f[n-c]$。
然后用乘法原理乘起来，就得到了会经过串$s$的操作数，再乘上串$s$的单次代价就是这个串造成的总代价了。
最后把$m$个串的代价加起来就是答案。
1 /* 2 qwerta 3 P4996 咕咕咕 Accepted 4 100 5 代码 C++，0.6KB 6 比赛 【LGR-055】洛谷11月月赛 7 提交时间 2018-11-04 11:58:31//下考前几十秒发现自己忘开long long，太真实了qwq 8 耗时/内存 108ms, 804KB 9 */ 10 #include<iostream> 11 #include<cstdio> 12 using namespace std; 13 #define LL long long//一年OI一场空，不开long long见祖宗 14 const int mod=998244353; 15 LL f[23]; 16 char s[23]; 17 LL je(int x)//返回x!（因为20!没爆long long就直接乱搞了 18 { 19 LL ans=1; 20 while(x) 21 { 22 ans*=x; 23 x--; 24 } 25 return ans; 26 } 27 LL C(int q,int w)//返回C(q,w) 28 { 29 return je(q)/je(w)/je(q-w); 30 } 31 int main() 32 { 33 ios::sync_with_stdio(false); 34 int n,m; 35 cin>>n>>m; 36 f[0]=1;//初始化 37 //先把f预处理出来 38 for(int i=1;i<=n;++i) 39 { 40 for(int j=0;j<i;++j) 41 { 42 f[i]+=C(i,j)*f[j]%mod; 43 f[i]%=mod; 44 } 45 } 46 LL ans=0; 47 for(int i=1;i<=m;++i) 48 { 49 cin>>s; 50 int c=0;//c为s中1的个数 51 for(int j=0;j<n;++j) 52 c+=s[j]-'0'; 53 int v;//这个串的单次代价 54 cin>>v; 55 ans+=(LL)f[c]*f[n-c]%mod*v%mod; 56 ans%=mod; 57 } 58 cout<<ans; 59 return 0; 60 }
