「BZOJ2721」「LuoguP1445」 [Violet]樱花（数论

题目背景

我很愤怒

题目描述

求方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{N!}$ 的正整数解的组数，其中$N≤10^6$。

解的组数，应模$1e9+7$。

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题解

看到原题面的我也很愤怒。

显然是道数论题，所以我们要去分析它的性质。

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}$

$\frac{x+y}{x*y}=\frac{1}{n!}$

$xy-(x+y)*(n!)=0$

$(n!)^2+xy-(x+y)*n!=(n!)^2$

$(x-n!)*(y-n!)=(n!)^2$

设$t=(n!)$

$(x-t)*(y-t)=t^2$

∵$x,y$是正整数，∴$x-t>0$且$y-t>0$

（若要小于0，则$(x-t)$和$(y-t)$中至少要有一个小于$-t$，也就是$x<0$或$y<0$，与题设不符

设$A=(x-t)$，$B=(y-t)$

则有$A*B=t^2=(n!)^2$

所以$A$的方案数就是$(n!)^2$的因子数，也就是一些质因子乘起来的结果。

所以把$(n!)^2$分解质因数，设为$(n!)^2={a_1}^{p_1}*{a_2}^{p_2}...*{a_m}^{p_m}$

则答案为$(p_1+1)*(p_2+1)*...*(p_m+1)$。

 qwerta 
P1445 [Violet]樱花 Accepted 
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代码 C++，0.54KB
提交时间 2018-10-23 22:08:48
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#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
bool sf[1000003];
int p[1000003];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int tos=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    if(!sf[i])
    {
        p[++tos]=2;//因为是(n!)的平方，所以次数+=2
        for(int j=2;i*j<=n;++j)
        {
            int x=i*j;
            sf[x]=1;
            while(x%i==0)
            {
                p[tos]+=2;
                x/=i;
            }
        }
    }
    /*
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        int x=i;
        for(int j=1;j<=tos&&x>1;++j)
        {
            while(x%st[j]==0)
            {
                p[j]+=2;
                x/=st[j];
            }
        }
    }
    */注释掉的是暴力分解2~n的质因数，亲测T上天
    long long ans=1,mod=1e9+7;
    for(int i=1;i<=tos;++i)
    ans=(ans*(p[i]+1))%mod;//统计答案
    cout<<ans;
    return 0;
}