EM算法

《统计学习方法》第9章 EM算法及其推广

EM算法是一种迭代算法，用于含有隐含变量（hidden variable）的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计。

EM算法的每次迭代由两步组成：

• E步，求期望（expectation）；
• M步，求极大（maximization）。

所以这一算法成为期望极大算法（expectation maximization algorithm），简称EM算法。

1. EM算法的引入

概率模型有时既含有观测变量（observable variable），又含有隐变量或潜在变量（latent variable）。如果概率模型的变量都是观测变量，那么给定数据，可以直接用极大似然估计法，或贝叶斯估计发估计模型参数。但是，当模型含有隐变量时，就不能简单地使用这些估计方法。EM算法就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法，或极大后验概率估计法。我们在这里只讨论极大似然估计，极大后验概率估计与其类似。

1.1 EM算法

首先介绍一个使用EM算法的例子。

三硬币模型 假设有3枚硬币，分别记作A，B，C。这些硬币正面出现的概率分别是$ \pi $、$ p $、$ q $。进行如下抛硬币试验：先掷硬币A，根据其结果选出硬币B或硬币C，正面选硬币B，反面选硬币C；然后掷选出的硬币，掷硬币的结果，出现正面记作1，出现反面记作0；独立地重复n次试验（这里，n=10），观测结果如下：

1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1

假设只能观测到掷硬币的结果，不能观测掷硬币的过程。问如何估计三硬币正面出现的概率，即三硬币模型的参数。

解 三硬币模型可以写作

$ P(y|\theta)=\sum_{z}{P(y,z|\theta)}=\sum_{z}{P(z|\theta)P(y|z,\theta)}=\pi p^y(1-p)^{1-y}+(1-\pi)q^y(1-q)^{1-y} $

这里，随机变量y是观测变量，表示一次试验观测的结果是1或0；随机变量z是隐变量，表示未观测到的掷硬币A的结果；$ \theta=(\pi,p,q) $是模型参数。这一模型是以上数据的生成模型。

将观测数据表示为$ Y=(Y_1,Y_2,…,Y_n)^T $，未观测数据表示为$ Z=(Z_1,Z_2,…,Z_n)^T $，则观测数据的似然函数为：

$ P(Y|\theta)=\sum_{Z}{P(Z|\theta)P(Y|Z,\theta)} $

即

$ P(Y|\theta)=\prod_{j=1}^{n}{[\pi p^{y_j}(1-p)^{1-y_j}+(1-\pi)q^{y_j}(1-q)^{1-y_j}]} $

考虑求模型参数$ \theta=(\pi,p,q) $的极大似然估计，即

$ \hat{\theta}=\arg\max_{\theta}{\log P(Y|\theta)} $

这个问题只能通过迭代的方法求解。

EM算法首先选取参数的初值，记作$ \theta^{(0)}=(\pi^{(0)},p^{(0)},q^{(0)}) $，然后通过下面的步骤迭代计算参数的估计值，直至收敛为止。

第i次迭代参数的估计值为$ \theta^{(i)}=(\pi^{(i)},p^{(0)},q^{(i)}) $，EM算法的第i+1次迭代如下：

 

E步：计算在模型参数$ \pi^{(i)} $，$ p^{(i)} $，$ q^{(i)} $下观测数据$ y_j $来自掷硬币B的概率

$ \mu^{(i+1)}= \frac{\pi^{i}(p^{(i)})^{y_j}(1-p^{(i)})^{1-y_j}}{\pi^{i}(p^{(i)})^{y_j}(1-p^{(i)})^{1-y_j}+(1-\pi^{i})(q^{(i)})^{y_j}(1-q^{(i)})^{1-y_j}} $

M步：计算模型参数的新估计值

$ \pi^{(i+1)}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}{\mu_j^{(i+1)}} $

$ p^{(i+1)}=\frac{\sum_{j=1}^{n}{\mu_j^{(i+1)}y_j}}{\sum_{j=1}^{n}{\mu_j^{(i+1)}}} $

$ q^{(i+1)}=\frac{\sum_{j=1}^{n}{(1-\mu_j^{(i+1)})y_j}}{\sum_{j=1}^{n}{(1-\mu_j^{(i+1)})}} $

 

假设模型参数的初值取为

$ \pi^{(0)}=0.5 $, $ p^{(0)}=0.5 $, $ q^{(0)}=0.5 $

利用迭代公式，得到模型参数$\theta$的极大似然估计：

$ \hat{\pi}=0.5 $ , $ \hat{p}=0.6 $, $ \hat{q}=0.6 $

 

一般地，用Y表示观测随机变量的数据，Z表示隐随机变量的数据。Y和Z连在一起称为完全数据（complete-data），观测数据Y又称为不完全数据（incomplete-data）。假设给定观测数据Y，其概率分布是$ P(Y|\theta) $，其中$ \theta $是需要估计的模型参数，那么不完全数据Y的似然函数是$ P(Y|\theta) $，对数似然函数$ L(\theta)=\log P(Y|\theta) $；假设Y和Z的联合概率分布是$ P(Y,Z|\theta) $，那么完全数据的对数似然函数是$ \log P(Y,Z|\theta) $。

EM算法通过迭代求$ L(\theta)=\log P(Y|\theta) $的极大似然估计。每次迭代包括两步：E步，求期望；M步，求极大化。下面来介绍EM算法。