【bzoj1925】地精部落[SDOI2010]（dp）

　　题目传送门：1925: [Sdoi2010]地精部落

　　这道题，，，首先可以一眼看出他是要我们求由1~n的排列组成，并且抖来抖去的序列的方案数。然后再看一眼数据范围，，，似乎是O(n^2)的dp？然后各种撕烤，，，然而还是不会。。。

　　对于这道题，我第一眼的想法是用f[i][j]表示长度为i，最后一个数是j的抖动序列的方案数，然而这是个1~n的排列，似乎没法解决数字重复的问题。。QAQ

　　于是看了一波题解，，，原来这个dp是这样子搞的：用f[i][j]表示i个数的排列、第一个数<=j且开头下降的抖动序列的方案数。

　　然后dp方程就变成了这样：f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j]。。。

　　当开头的数<j（也就是<=j-1）时，抖动序列的方案数显然=f[i][j-1]；

　　当开头的数=j 时，我萌尝试把开头的j删掉，然后再把剩下>j的数统统-1，于是我们就会发现，这时的方案和i-1个数的排列、第一个数<=j-1（因为原序列开头是j，并且开头下降要求原序列的第二个数比j小）且开头上升的抖动序列的方案一一对应。然而这里的开头上升怎么算呢？其实我们发现把一个长度为n、开头下降的序列a[i]的每一位转变为n-a[i]+1，它就变成了一个长度为n、开头上升的抖动序列。所以这时的方案数就=f[i-1][i-j]；

　　所以就可以愉快的dp辣！

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int f[2][4210]={0};
int n,mod;
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    f[1][1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
            f[i&1][j]=(f[i&1][j-1]+f[(i&1)^1][i-j])%mod;
    printf("%d\n",f[n&1][n]*2%mod);
}

 =========================================2017.8.29更新线=============================================

　　首先感谢楼下评论@happy_codes。

　　我看了评论，发现上面的说法确实有点问题，我自己也不知道怎么解释，网上的题解（我目前找到的）也没有说明。这个问题就是：如果(i-1)-x+1<=j-1那么应该得出x>=i-j+1，然而我并不知道为什么这样写答案是对的。。。

　　但是我还想到了一种写法，f[i][j]表示i个数的排列，第一个数=j且开头下降的方案数，并且用g数组来表示f数组的前缀和：g[i][j]=sigma(f[i-1][k]) (1<=k<=j)，然后仿照上面的方法就能列出dp方程

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int f[2][4210]={0},g[2][4210]={0};
int n,mod;
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    f[1][1]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)g[1][i]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++){
            f[i&1][j]=(g[(i&1)^1][i-1]-g[(i&1)^1][i-j]+mod)%mod;
            g[i&1][j]=(g[i&1][j-1]+f[i&1][j])%mod;
        }
    printf("%d\n",g[n&1][n]*2%mod);
}