位运算--转载
本文为CSDN博主「流年15096301719」的原创文章
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学习目标
1. 理解与掌握 C++ 中的位运算。
2. 灵活应用位运算优化程序。
任何信息在计算机中都是采用二进制表示的，数据在计算机中是以补码形式存储的，位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行运算。由于位运算直接对内存数据进行操作，不需要转换成十进制，因此处理速度非常快，在信息学竞赛中往往可以优化理论时间复杂度的系数。同时，一个整数的各个二进制位互不影响，利用位运算的一些技巧可以帮助我们简化程序代码。
一、位运算符
C++ 提供了按位与（&）、按位或（| ）、按位异或（^）、取反（~）、左移（<<）、右移（>>）这 6 种位运算符。 这些运算符只能用于整型操作数，即只能用于带符号或无符号的 char、short、int 与 long 类型。
（1）按位与运算符（&）
“a&b”是指将参加运算的两个整数a和b，按二进制位进行“与”运算。
参加运算的两个数据，按二进制位进行“与”运算。
运算规则：0&0=0; 0&1=0; 1&0=0; 1&1=1;
即：两位同时为“1”，结果才为“1”，否则为0
例如：3&5 即 0000 0011& 0000 0101 = 00000001 因此，3&5的值得1。
另，负数按补码形式参加按位与运算。
按位与&比较实用的例子：
1、比如我们经常要用的是否被2整除，一般都写成 if(n % 2 ＝＝ 0) 可以换成 if((n&1) ＝＝ 0)
2、按位与运算可以取出一个数中指定位。例如：要取出整数84从左边算起的第3、4、5、7、8位，只要执行84 & 59,因为84对应的二进制为01010100，59对应的二进制为00111011，01010100 & 00111011= 00010000 可知84从左边算起的第3、4、5、7、8位分别是0、1、0、0、0。
3、清零。如果想将一个单元清零，使其全部二进制位为0，只要与一个各位都为零的数值相与，结果为零。
按位与应用举例1：
整数幂：判断一个数n ，是不是2的整数幂。比如：64＝2^6,所以输出“yes”,而65无法表示成2的整数幂的形式，所以输出“NO”。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n; cin>>n; if(n&(n-1))cout<<"NO"; else cout<<"Yes"; }
按位与应用举例2：
计算一个数的二进制中1的个数:
算法1：通过与初始值为1的标志位进行与运算，判断最低位是否为1；然后将标志位左移，判断次低位是否为1；一直这样计算，直到将每一位都判断完毕。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n = 0,num; unsigned int flag = 1; cin>>num; while(flag) { if(num & flag) n++; flag = flag << 1; } cout<<n; }
算法2：还有一种方法，一个整数减一，可以得到该整数的最右边的1变为0，这个1右边的0变为1。对这个整数和整数减一进行与运算，将该整数的最右边的1变为0，其余位保持不变。直到该整数变为0，进行的与运算的次数即为整数中1的个数。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n = 0,num; unsigned int flag = 1; cin>>num; while(num) { num = num & (num - 1); n++; } cout<<n; }
（2）按位或运算符（|）
参加运算的两个对象，按二进制位进行“或”运算。
运算规则：0|0=0； 0|1=1； 1|0=1； 1|1=1；
即 ：参加运算的两个对象只要有一个为1，其值为1。
例如:3|5 即 00000011 | 0000 0101 = 00000111 因此，3|5的值得7。
另，负数按补码形式参加按位或运算。
按位或 （|） 比较实用的例子
可以用一个unsigned int 来存储多个布尔值。比如一个文件有读权限，写权限，执行权限。看起来要记录3个布尔值。我们可以用一个unsigned int也可以完成任务。
一个数r来表示读权限，它只更改个位来记录读权限的布尔值 00000001 (表示有读权限) 00000000 (表示没有读权限)
一个数w表示写权限，它只用二进制的倒数第二位来记录布尔值 00000010 (表示有写权限) 00000000 (表示没有写权限)
一个数x表示执行权限，它只用倒数第三位来记录布尔值 00000100 (表示有执行权限) 00000000 (表示没有执行权限)
那么一个文件同时没有3种权限就是 ~r | ~ w | ~ x 即为 00000000，就是0
只有读的权限就是 r | ~w | ~x 即为 00000001，就是1
只有写的权限就是 ~r | w | ~x 即为 00000010，就是2
一个文件同时有3种权限就是 r | w | x 即为 00000111，就是7
（3）按位异或运算符（^）
参加运算的两个数据，按二进制位进行“异或”运算。
运算规则：0 ^ 0=0； 0 ^ 1=1； 1^ 0=1； 1^1=0；
即：参加运算的两个对象，如果两个相应位为“异”（值不同），则该位结果为1，否则为0。
下面重点说一下按位异或,异或 其实就是不进位加法,如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。
异或的几条性质:
1、交换律:a ^ b=b ^ a
2、结合律:(a ^ b) ^ c == a^ (b ^ c)
“异或运算”的特殊作用：
（1）使特定位翻转: 例：X=10101110，使X低4位翻转，用X ^ 0000 1111 = 1010 0001即可得到。
（2）与0相异或，保留原值 ，10101110^ 00000000 = 1010 1110。
（3）对于任何数x都有――自反性:x^ x=0，x^ 0=x 例如：A^B ^ B = A
（4）交换二个数：a =a ^ b; b = b ^ a; a = a ^ b;
按位异或应用举例1:
给出 n 个整数，n 为奇数，其中有且仅有一个数出现了奇数次，其余的数都出现了偶数次。用线性时间复杂度、常数空间复杂度找出出现了奇数次的那个数。
【输入样例】
9
3 3 7 2 4 2 5 5 4
【输出样例】
7
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int i,n,m,a; cin>>n; cin>>a; for(int i = 2; i <= n; i++) {cin>>m; a^=m; } cout<<a<<endl; }
按位异或应用举例2:
1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现
一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空
间，能否设计一个算法实现？
解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+...+1000的和。
这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。
解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。
将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int i,n,a[11]={1,2,5,3,4,5,6,7,8,9,10}; n=a[0]^a[1]; for(i=2;i<=10;i++)n=n^a[i]; for(i=1;i<=10;i++)n=n^i; cout<<n; }
按位异或应用举例3:
一系列数中,除两个数外其他数字都出现过两次,求这两个数字,并且按照从小到大的顺序输出.例如 2 2 1 1 3 4.最后输出的就是3 和4
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int a[1000]; int main() { int n; scanf("%d", &n); int x = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); x ^= a[i]; } int num1 = 0, num2 = 0; int tmp = 1; while(!(tmp & x)) tmp <<= 1; //cout<<tmp<<endl; for(int i = 1; i <= n; i++) { if(tmp & a[i]) num1 ^= a[i]; else num2 ^= a[i]; } printf("%d %d\n", min(num1, num2), max(num1, num2)); return 0; }
（4）按位取反运算符（~）
按位取反运算符（~）是指将整数的各个二进制位都取反，即1变为0，0变为1。
例如，~9＝－10，因为9（00001001）所有位取反即为（11110110），这个数最高位是1，所以是补码。补码还原成反码（反码等于补码减1）得到（11110101），再还原为原码（反码到原码最高位不变，其它各位取反）等于（10001010）， 十进制为－10。
（5）按位左移运算符（<<）
左移运算符是用来将一个数的各二进制位左移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负值），其右边空出的位用0填补，高位左移溢出则舍弃该高位。
在高位没有1的情况下，左移1位相当于该数乘以2，左移2位相当于该数乘以2*2＝4,15＜＜2=60，即乘了４。
但此结论只适用于该数左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况。
例如：143<<2 结果为60 因为143转换为进制为10001111，左移2得00111100 ，结果为60。
（6）按位右移运算符（>>）
右移运算符是用来将一个数的各二进制位右移若干位，移动的位数由右操作数指定（右操作数必须是非负值），移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0。对于有符号数，某些机器将对左边空出的部分用符号位填补（即“算术移位”），而另一些机器则对左边空出的部分用0填补（即“逻辑移位”）。
注意：对无符号数,右移时左边高位移入0；对于有符号的值,如果原来符号位为0(该数为正),则左边也是移入0。
如果符号位原来为1(即负数),则左边移入0还是1,要取决于所用的计算机系统。有的系统移入0,有的
系统移入1。移入0的称为“逻辑移位”,即简单移位；移入1的称为“算术移位”。
例： a的值是八进制数113755：
a:1001011111101101 （用二进制形式表示）
a>>1: 0100101111110110 (逻辑右移时)
a>>1: 1100101111110110 (算术右移时)
在有些系统中,a>>1得八进制数045766,而在另一些系统上可能得到的是145766。Turbo C和其他一些C编译采用的是算术右移,即对有符号数右移时,如果符号位原来为1，左面移入高位的是1。
（7）位运算优先级
总的来说比较低，逻辑运算符和数学运算符出现在同一个表达式中，那么需要用括号来表达运算次序。
（8）不同长度的数据进行位运算
如果两个不同长度的数据进行位运算时，系统会将二者按右端对齐，然后进行位运算。
以“与”运算为例说明如下：如果一个4个字节的数据与一个2个字节数据进行“与”运算，右端对齐后，左边不足的位依下面三种情况补足：
（1）如果整型数据为正数，左边补16个0。
（2）如果整型数据为负数，左边补16个1。
（3）如果整形数据为无符号数，左边也补16个0。
（9）下面列举一些常见的二进制位的变换操作
| 去掉最后一位 | 101101->10110 | x>>1 |
| 在最后加一个0 | 101101->1011010 | x<<1 |
| 在最后加一个1 | 101101->1011011 | (x<<1)+1 |
| 把最后一位变成1 | 101100->101101 | x|1 |
| 把最后一位变成0 | 101101->101100 | (x|1)-1 |
| 最后一位取反 | 101101->101100 | x^1 |
| 把右数第K位变成1 | 101001->101101,k=3 | x|(1<<(k-1)) |
| 把右数第K位变成0 | 101101->101101,k=3 | x&~(1<<(k-1)) |
| 右数第K位取反 | 101001->101101,k=3 | x^(1<<(k-1)) |
| 取末三位 | 1101101->101 | x&7 |
| 取末k位 | 1101101->1101,k=5 | x^(1<<k-1) |
| 取右数第k位 | 1101101->1,k=4 | x>>(k-1)&1 |
| 把末k位变成1 | 101001->101111,k=4 | x|(1<<k-1) |
| 末k位取反 | 101001->100110,k=4 | x^(1<<k-1) |
| 把右边连续的1变成0 | 100101111->100100000 | x&(x+1) |
| 把右起第一个0变成1 | 100101111->100111111 | x|(x+1) |
| 把右边连续的0变成1 | 11011000->11011111 | x|(x-1) |
| 取右边连续的1 | 100101111->1111 | (x^(x+1))>>1 |
| 去掉右起第一个1的左边 | 100101000->1000 | x&(x^(x-1)) |
最后一个会在树状数组中用到
