高等数学（上）第2章——导数与微分

https://blog.csdn.net/Vi_NSN/article/details/78117386

导数概念

导数的定义

函数在一点处的导数和导函数：
1. 设函数 $y = f (x)$

在点 $x_{0}$

导数反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，即函数的变化率问题
如果函数 $y = f (x)$

$x_{0}$

即 $f^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

$x_{0}$

是变量）
函数 $f (x)$

$x_{0}$

导函数简称导数，而 $f^{'} (x_{0})$

$x_{0}$

1. 处的值
常见导数：
1. 常数： $f (x) = C （ C 为常数）$

$x_{0}$

；
幂函数： $f (x) = x^{μ} （ μ 为常数）$

$x_{0}$

正弦函数： $f (x) = \sin x$

$x_{0}$

余弦函数： $f (x) = \cos x$

$x_{0}$

指数函数： $f (x) = a^{x}$

$x_{0}$

）
对数函数： $f (x) = \log_{a} x$

$x_{0}$

1. ）
单侧导数：
1. $f (x)$

$x_{0}$

处的左导数、右导数，左导数和右导数统称为单侧导数
函数 $f (x)$

$x_{0}$

都存在且相等
如果函数 $f (x)$

$x_{0}$

1. 上可导

导数的几何意义

函数 $y = f (x)$

$x_{0}$

是切线的倾角）
由直线的点斜式方程可知曲线 $y = f (x)$

$x_{0}$

过切点 $M (x_{0}, y_{0})$

$x_{0}$

函数可导性与连续性的关系

如果函数 $y = f (x)$

$x_{0}$

处可导，则函数在该点必连续；饭如果一个函数在某点连续却不一定在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要不充分条件

函数的求导法则

函数的和、差、积、商的求导法则

1如果函数 $u = u (x)$

$x_{0}$

(C是常数)

反函数的求导法则

如果函数 $x = f (y)$

$x_{0}$

复合函数的求导法则

如果 $u = g (x)$

$x_{0}$

基本求导法则与导数公式

常数和基本初等函数的导数公式：
1. $(C)^{'} = 0$

$x_{0}$

高阶导数

把 $y^{'} = f^{'} (x)$

$x_{0}$

（n-1）阶导数的导数叫做n阶导数，记作 $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$
函数 $y = f (x)$

$x_{0}$

阶的导数，二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
莱布尼兹公式： $(u v)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)}$

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

隐函数的导数

显函数：如 $y = \sin x$

这样，等式左边是因变量符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
隐函数：如 $x + y^{3} - 1 = 0$

$x_{0}$

有确定的值与之对应的函数称为隐函数
将隐函数转换成显函数叫做隐函数的显化。例如将 $x + y^{3} - 1 = 0$

$x_{0}$

有些情况下利用对数求导法能够简化求导。如对 $y = x^{\sin x}$

$x_{0}$

函数的微分

微分的定义

设函数 $y = f (x)$

$x_{0}$

函数 $f (x)$

$x_{0}$

设 $α 、 β$

$x_{0}$

的主部
在 $f^{'} (x_{0}) \neq 0$

$x_{0}$

函数 $y = f (x)$

$x_{0}$

通常把自变量 $x$

$x_{0}$

之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”

微分的几何意义

在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，在数学上称为非线性函数的局部线性化

基本初等函数的微分公式与微分运算法则

基本初等函数的微分公式

导数公式	微分公式
$(x^{μ})^{'} = μ x^{n - 1}$

d (x^{μ}) = μ x^{μ - 1} d x

(\sin x)^{'} = \cos x

d (\sin x) = \cos x d x

(\cos x)^{'} = - \sin x

d (\cos x) = - \sin x d x

(\tan x)^{'} = \sec^{2} x

d (\tan x) = \sec^{2} x d x

(\cot x)^{'} = - \csc^{2} x

d (\cot x) = - \csc^{2} x d x

(\sec x)^{'} = \sec x \tan x

d (\sec x) = \sec x \tan x d x

(\csc x)^{'} = - \csc x \cot x

d (\csc x) = - \csc x \cot x d x

(a^{x})^{'} = a^{x} \ln a

d (a^{x}) = a^{x} \ln a d x

(e^{x})^{'} = e^{x}

d (e^{x}) = e^{x} d x

(\log_{a}^{x})^{'} = \frac{1}{x \ln a}

d (\log_{a}^{x}) = \frac{1}{x \ln a} d x

(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}

d (\ln x) = \frac{1}{x} d x

(a c r s i n x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

d (a c r s i n x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

(a c r c o s x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

d (a c r c o s x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x

(a c r t a n x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

d (a c r t a n x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

(a c r c o t x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

d (a c r c o t x) = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

2. 函数和、差、积、商的微分法则

函数和、差、积、商的求导法则	函数和、差、积、商的微分法则
$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$

d (u \pm v) = d u \pm d v

(C u)^{'} = C u^{'}

d (C u) = C d u

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

d (u v) = v d u + u d v

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} (v \neq 0)

d (\frac{u}{v}) = \frac{v d u - u d v}{v^{2}} (v \neq 0)

3. 复合函数的微分法则
设 $y = f (u)$

$x_{0}$

保持不变，这一性质称为微分形式不变性

微分在近似计算中的应用

函数的近似计算及常见近似公式
1. $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) \approx f^{'} (x_{0}) Δ x$

$x_{0}$

$\sqrt[n]{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{n} x$
$\sin x \approx x$
(x用弧度作单位来表达)
$\tan x \approx x$
(x用弧度作单位来表达)
$e^{x} \approx 1 + x$
$\ln (1 + x) \approx x$
误差估计
1. 由于测量仪器精度问题，会导致测量数据有误差，根据有误差的数据计算得来的结果也有误差，这叫做间接测量误差
2. 如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|叫做a的绝对误差，而绝对误差与|a|的比值 $\frac{| A - a |}{| a |}$
叫做a的相对误差
如果能确定误差范围，即 $| A - a | \leq δ_{A}$

$x_{0}$

叫做测量A的相对误差限
常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差

posted @ 2018-05-25 15:08 quietwalk 阅读(1603) 评论(0) 编辑收藏举报

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函数的求导法则

函数的和、差、积、商的求导法则

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复合函数的求导法则

基本求导法则与导数公式

高阶导数

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

隐函数的导数

相关变化率

函数的微分

微分的定义

微分的几何意义

基本初等函数的微分公式与微分运算法则

微分在近似计算中的应用

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