对陈数的理解
对陈数的理解,先读关老师博客https://www.guanjihuan.com/archives/9269 ,再仔细读这本书:Berry Phases in Electronic Structure Theory Electric Polarization, Orbital Magnetization and Topological Insulators by David Vanderbilt (z-lib.org)这本书第三章贝里相位和曲率讲得实在是太好了,醍醐灌顶,解释了我非常多的疑惑(就是关于0和2pi的等价性,陈数的起源)!强烈推荐,太清楚明白了,比a short course等书讲得更清楚明白!
需要仔细从头开始读这个第三章,至少从84页开始读,才能理解作者在3.2.2节的意思,特别重要。
1.数学中的stokes定理特别注意前提是函数在曲面S和边界L上连续!,详见关老师的博客https://www.guanjihuan.com/archives/9269中:
而在这本书P84和P91中一个自旋1/2在磁场中的哈密顿量的例子中,所取波函数为(3.24)时,此规范在南极会出现vortex奇异性(见P89、P93),此时实际上不能使用stokes定理,而应该使用一个推广的stokes定理:当态u在面S的内部有可能有类vortex的奇异性时,stokes定理(3.33)推广为(3.37):
(3.37)中的符号:=表示左边是一个确定值,而右边会modulo 2pi!!! 这是因为S内部有vortex奇异性,所以需要用这个推广的stokes定理。
在P92页中,利用推广的stokes定理,就证明了chern定理(3.36)【见(3.38)】。
不过这本书对此推广的stokes定理没有进行证明,只是举了P89的例子来说明。不过作者提到了其他人的拓扑物理的书,用了代数拓扑来说明此定理。
2.陈数非零意味着不能在整个闭合流形的表面构造光滑连续规范,也即对stokes定理的阻碍,不能使用这个定理,而应使用推广的stokes定理。
光子晶体陈数的计算
以下论文都有必要读:
蒋建华老师这篇(重点);Wang, H.-X., et al. (2019). "Band topology in classical waves: Wilson-loop approach to topological numbers and fragile topology." New Journal of Physics 21(9).
高等量子技术这篇:Blanco de Paz, M., et al. (2019). "Tutorial: Computing Topological Invariants in 2D Photonic Crystals." Advanced Quantum Technologies 3(2).
沙威老师:Zhao, R., et al. (2020). "First-principle calculation of Chern number in gyrotropic photonic crystals." Opt Express 28(4): 4638-4649.
vanderbilt书107页有一个wilson loop法算一维zak phase的代码例子。