对陈数的理解

对陈数的理解，先读关老师博客https://www.guanjihuan.com/archives/9269 ，再仔细读这本书：Berry Phases in Electronic Structure Theory Electric Polarization, Orbital Magnetization and Topological Insulators by David Vanderbilt (z-lib.org)这本书第三章贝里相位和曲率讲得实在是太好了，醍醐灌顶，解释了我非常多的疑惑（就是关于0和2pi的等价性,陈数的起源)！强烈推荐，太清楚明白了，比a short course等书讲得更清楚明白！
需要仔细从头开始读这个第三章，至少从84页开始读，才能理解作者在3.2.2节的意思，特别重要。
1.数学中的stokes定理特别注意前提是函数在曲面S和边界L上连续！，详见关老师的博客https://www.guanjihuan.com/archives/9269中：


而在这本书P84和P91中一个自旋1/2在磁场中的哈密顿量的例子中，所取波函数为(3.24)时，此规范在南极会出现vortex奇异性（见P89、P93），此时实际上不能使用stokes定理，而应该使用一个推广的stokes定理：当态u在面S的内部有可能有类vortex的奇异性时，stokes定理(3.33)推广为(3.37):
(3.37)中的符号:=表示左边是一个确定值，而右边会modulo 2pi！！！ 这是因为S内部有vortex奇异性，所以需要用这个推广的stokes定理。
在P92页中，利用推广的stokes定理，就证明了chern定理(3.36)【见(3.38)】。

不过这本书对此推广的stokes定理没有进行证明，只是举了P89的例子来说明。不过作者提到了其他人的拓扑物理的书，用了代数拓扑来说明此定理。

2.陈数非零意味着不能在整个闭合流形的表面构造光滑连续规范，也即对stokes定理的阻碍，不能使用这个定理，而应使用推广的stokes定理。

光子晶体陈数的计算

以下论文都有必要读：
蒋建华老师这篇（重点）；Wang, H.-X., et al. (2019). "Band topology in classical waves: Wilson-loop approach to topological numbers and fragile topology." New Journal of Physics 21(9).

高等量子技术这篇：Blanco de Paz, M., et al. (2019). "Tutorial: Computing Topological Invariants in 2D Photonic Crystals." Advanced Quantum Technologies 3(2).

沙威老师：Zhao, R., et al. (2020). "First-principle calculation of Chern number in gyrotropic photonic crystals." Opt Express 28(4): 4638-4649.

vanderbilt书107页有一个wilson loop法算一维zak phase的代码例子。