##nolting多体物理 第二章 多体模型系统3 电-声相互作用

2.3节 电-声相互作用
1.电-声相互作用的哈密顿量：（2.178）（2.179）
2.有效电子-电子相互作用
1.2节 习题 都是关于库伯对、BCS理论的题
1.3节 此节问题
1.图（2.6）的（c）(d)两个基本过程好像没有在这一节中体现，怎么证明这两个过程？
2.（2.192）的注释中写了一个问题

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2.3节 电-声相互作用

在第2.1节讨论了晶体电子和在第2.2节讨论了晶格离子，基本上没有相互耦合，或者至多通过$H_{\mathrm{e}+}$(2.50)以非常简单的方式耦合，现在我们更详细地研究这两个子系统之间的相互作用。在我们的一般固态模型(2.1)中，我们现在考虑算符$H_{\mathrm{e}\mathrm{i}}$。

1.电-声相互作用的哈密顿量：（2.178）（2.179）

我们的起点是算符(2.5)：

电子与刚性离子晶格的相互作用$H_{\mathrm{e}\mathrm{i}}^{(0)}$已经包含在我们的晶体电子模型$H_0$中(见(2.7))。$H_{\mathrm{e}-\mathrm{p}}$是电子-声子相互作用本身。

根据上一节的考虑，我们知道每个晶格振动都由色散谱${\omega }_r(\mathit{q})$的波数$\mathit{q}$和分支r所定义的态来表征。因此，电子-声子相互作用意味着
(q，r)声子的吸收和发射。
可以想象的基本过程可以用简单的方式用图形表示(见图2.6)。

图2.6 电子-声子相互作用的基本过程；直线箭头代表电子，波浪箭头代表声子：(A)电子发射一个声子；(B)电子吸收一个声子；(C)电子-空穴复合从而发射声子；(D)通过声子湮灭产生电子-空穴对。

所有的相互作用都可以由这四个基本过程组成。因此，它们应该被反映在相应的模型哈密顿量中。
我们假设在这些相互作用中，离子作为刚体移动而不变形，这当然不是理所当然的。然而，离子的变形代表了更高阶的效应（核量子效应，李新征研究了这个）。在晶格振动的简谐近似框架下，我们将相互作用能$V_{\mathrm{e}\mathrm{i}}$展开到第一个非零项。在此情况中，它是线性项：

$V_{\mathrm{e}\mathrm{i}}$来自：

（2.170）证明：根据为知泰勒展开
知道：（2.170）得证。

第一项引出了$H_{\mathrm{e}\mathrm{i}}^{(0)}$（因为${\mathit{R}}_s^m$是离子平衡位置），在处理晶体电子时(见第2.1节)，例如在布洛赫能量$\epsilon (\mathit{k})$中已经考虑到了$H_{\mathrm{e}\mathrm{i}}^{(0)}$。第二项包含实际的电子-声子相互作用。我们假设离子是单电荷的，$(N_{\mathrm{e}}=N_{\mathrm{i}}=N)$，并使用位移${\mathit{u}}_s^{\mathbf{m}}$的表达式（2.142）：

将（2.142）代入（2.170）和（2.5）即得到电-声相互作用（2.171）：

其中来自于（2.5）.

$Q_r(\mathit{q})$在二次量子化时已从(2.157)熟悉。我们还得改造电子部分。在$\mathrm{\nabla }{V}_{\mathrm{e}\mathrm{i}}$中，电子变量${\mathit{r}}_j$出现。我们选择$V_{\mathrm{e}\mathrm{i}}$的傅立叶表示：

请注意，在此表示中，作为波数的$\mathbf{p}$是一个变量，而不是算符。算符属性仅适用于${\mathit{r}}_j$.

直接对r求导即得证

对于这个单电子算符的二次量子化，我们选择布洛赫表象：

我们计算矩阵元：

因为是布洛赫表象，故代入布洛赫波函数表达式

得到：

不要将反映晶格周期性的振幅函数$u_k(\mathit{r})$与位移${\mathit{u}}_s^m$混淆。将(2.175)、(2.173)代入(2.174)，我们现在得到以下中间结果：

由于(2.17)：$u_k(\mathit{r}+{\mathit{R}}^n)=u_k(\mathit{r})$，振幅函数的乘积具有晶格的周期性。因此，只有当$\mathbf{k}={\mathbf{k}}^{\mathrm{\prime }}+\mathbf{p}$时，积分才能为非零值。

在李正中书中是利用了一个近似：用平面波代替布洛赫波函数，从而证明了$\mathbf{k}={\mathbf{k}}^{\mathrm{\prime }}+\mathbf{p}$：

还是以李正中书方法为准

然后代入(2.171)得到以下结果(利用

根据为知傅里叶级数中：
知此式成立

其中$\mathbf{K}$是倒易格子中的矢量)：

此式证明：

我们现在使用简正坐标表达式(2.157)：$Q_r(\mathit{q})=\sqrt{\frac{\hslash }{2{\omega }_r(\mathit{q})}}\{b_{\mathit{q}r}+b_{-\mathit{q}r}^{+}\}$，并定义：
电-声耦合的矩阵元：

然后，电子-声子相互作用的哈密顿量由下式给出：

根据此式知道，当发射(产生)$(-\mathit{q},r)$声子或吸收(湮灭)$(\mathit{q},r)$声子时，电子的波数$\mathit{k}$变成$\mathit{k}\mathbf{+}\mathit{q}\mathbf{+}\mathit{K}$（类似图2.6的(a)、(b)). 人们因此定义：
$\hslash (\mathit{q}+\mathit{K}):$声子的准动量（晶体动量）
其中$\mathit{q}$起源于第一布里渊区（根据2.2节晶格振动确实可以知道。），而$\mathit{K}$可以是任意倒格子矢量。在(2.179)中，$\mathit{K}$由以下要求而确定
$\mathit{k}+\mathit{q}+\mathit{K}\in$第一布里渊区

因为采取简约区方案就是应限制在第一布里渊区
李正中书142页：

我们区分以下几点：
$\mathit{K}=\mathbf{0}:$ 正常过程normal processes, $$ and
$\mathit{K}\ne \mathbf{0}:$ 倒逆过程umklapp processes.

见李正中书143页等

如果可以做出以下假设，则复杂的矩阵元(2.178)可以大大简化：
1.一个简单的布拉维格子：基元中的原子数p=1（也即每个原胞只有一个原子）⇒$\sum _s$省略
2.只有正常过程：$\mathit{K}=0$⇒$\sum _{\mathit{K}}$省略
3.声子具有独特的纵向或横向极化：

在这些假设下，只有纵向声学声子会与电子相互作用。使用矩阵元

则电子-声子相互作用可以简化为：

（2.181）还省略了对支数r的求和，应该是因为根据固体物理笔记本知道，有3p支，而若简化为每个原胞只有一个原子且体系是一维，则就只有一支，在这种简化下，（2.181）才成立。

2.有效电子-电子相互作用

图2.7声子诱导有效电子-电子相互作用的基本过程

图2.6中画出的基本过程可以组合成附加的、更复杂的耦合类型。特别地，声子诱导的电子-电子相互作用可以被描述。图2.7表示$\left(\begin{array}{ll}\mathit{k},& \sigma \end{array}\right)$电子发出$\mathit{q}$声子，然后被一个$({\mathit{k}}^{\mathrm{\prime }},{\sigma }^{\mathrm{\prime }})$电子吸收的过程。当然，这个过程并不涉及电子的自旋。第一个电子在其邻近的区域使其晶格变形，即作为一个带负电荷的粒子，它使带正电的离子略微位移。“变形”抽象地说就是意味着声子总是被吸收或发射。第二个电子“看到”这种晶格变形，并对其作出反应。因此，结果是一个有效的电子-电子相互作用，这自然与通常的库仑相互作用无关，因此可以是吸引的，也可以是排斥的。在吸引相互作用的情况下，它可以导致电子对(库珀对)的形成，并伴随着基态能量的降低。这一过程构成了传统超导的基础。我们考虑了(2.181)形式的电子-声子相互作用，忽略了电子-电子相互作用和声子-声子相互作用。为了简单起见，可以利用平面波来计算矩阵元$T_{\mathbf{k}\mathbf{q}}$(2.180)，这也消除了$\mathbf{k}$依赖$(u_k(\mathbf{r})\Rightarrow 1/\sqrt{V}，这就是说明取了平面波)$：

根据（2.180）知道。

从(2.172)：$V_{\mathrm{e}\mathrm{i}}({\mathit{r}}_j-{\mathit{R}}_s^m)=\sum _p{V}_{\mathrm{e}\mathrm{i}}^{(s)}(\mathit{p}){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}p\cdot ({\mathit{r}}_j-{\mathit{R}}^m)}$，根据$V_{\mathrm{e}\mathrm{i}}({\mathit{r}}_j-{\mathit{R}}_s^m)$是实数，则取复共轭，就可以看出一定成立。
由于(2.147)，我们也可以假设

证明：
不知道怎么从（2.147）推导出此假设，李正中书好像没有此公式？所以nolting书这里没写清楚
但是此式可以从2.2节的（2.139.1）得到：
（当然，callaway书中的关于极化矢量的这个公式是取系数c=1从而得到的，可以认为是“假设”得到的）
故得证。

根据$V_{\mathrm{e}\mathrm{i}}^{\ast }(\mathit{q})=V_{\mathrm{e}\mathrm{i}}(-\mathit{q})$、和（2.182）知道：

我们现在研究下面的模型哈密顿量是否如假设的那样包含代表有效电子-电子相互作用的项：

（2.184）哈密顿量是：
1.第一项是考虑电子子系统 $H_{\mathrm{e}}$ 和两个子系统的相互作用 $H_{\mathrm{e}\mathrm{i}}$中的$H_{\mathrm{e}\mathrm{i}}^{(0)}$：


忽略电子电子相互作用$H_{\mathrm{e}\mathrm{e}}$，只考虑$H_{\mathrm{e},\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}$和$H_{\mathrm{e}\mathrm{i}}^{(0)}$，就得到了（2.184）第一项：

其中$\epsilon (\mathit{k})$是布洛赫能量。
2.第二项是考虑离子子系统：

根据2.1节整个过程知道，
根据（2.145）、（2.152）知道，考虑了$H_{\mathrm{i},\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}$. 再忽略结合能$H_{\mathrm{i}\mathrm{i}}^{(0)}$.综上，2.1节是在考虑了$H_{\mathrm{i},\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}$和$H_{\mathrm{p}}$的情况下得到了量子化哈密顿量（2.164）表达式，再忽略为常数的零点能，即得到（2.184）的第二项。
3.第三项是考虑两个子系统的相互作用 $H_{\mathrm{e}\mathrm{i}}$中的$H_{\mathrm{e}-\mathrm{p}}$从而得到的在一些假设的简化情况下的：

我们进行适当的正则变换，并试图消除$H_{\mathrm{e}-\mathrm{p}}$中的线性项。

李正中书155页有写此正则变换方法。此公式是一个量子力学公式。

我们认为$H_{\mathrm{e}-\mathrm{p}}$是一个小扰动。S应该是具有相同的数量级。因此，我们忽略了展开式(2.185)中所有高于【S或$H_{\mathrm{e}-\mathrm{p}}$中的二次项】的项（即就保留到（2.185）的前5项）。$H_0$结合了(2.184)中的前两项。
对于S，我们选择ansatz（拟设、假设解）：

并以这样的方式固定参数x和y：
成立。

这就是选择拟设的表达式来使得（2.187）成立。

如果我们能正确地这样做，那么有效算符$\tilde{H}$由下式给出：

证明：

根据（2.187）可以求出x和y的值，进而求出S的表达式，其过程：

我们首先计算对易子：
这里，

利用产生湮灭算符的对易关系可以证明。

我们反复利用了这样一个事实，即电子和声子的产生和湮灭算符当然是相互对易的。

总而言之，我们获得了：

因此，可以使用以下参数x和y来获得等式(2.187)：

最后一步，我们将这样得到的S的表达式代入到(2.188)中。基本任务是计算以下对易子：
（2.191.1）
只有最后一项才会导致有效的电子-电子相互作用。因此，我们只关注这一项：

根据（2.192）知道，（2.191.1）中最后一项是纯粹的电子-电子相互作用项，而（2.191.1）的第一项有声子产生湮灭算符，故伴随声子产生、湮灭，故（2.191.1）第一项不是纯粹的电子-电子相互作用项，但是李正中书中156页也只是说忽略这种含声子算符的项，这种项不算我们感兴趣的，涉及电子-声子相互作用。
李正中书：
（但我觉得这些含声子算符的项中也有电子电子相互作用项？不清楚，还是有些问题，以后学李正中书、callaway书）

这将产生以下对$\tilde{H}$的贡献：

在这种情况下，此式最后一项没有什么意思。然而，我们可以看到，电子-声子相互作用产生了如下形式的项：

其中利用了（2.183）：$T_q^{\ast }=T_{-q}$

这种相互作用是：

后一种效应解释了库珀对的稳定性，从而形成了我们理解超导电性的基础。

排斥和吸引的原因见李正中书157、158和固体理论课等。较复杂，省略。以后再说。

1.2节 习题 都是关于库伯对、BCS理论的题

习题2.3.7是关于此节中的正则变换
Exercise 2.3 .7 In order to derive the effective electron-electron interaction $\tilde{H}$ from the actual electron-phonon interaction $H,$ a canonical transformation (2.185)

$$\tilde{H}={\mathrm{e}}^{-S}H{\mathrm{e}}^S$$

is carried out. Why must $S^{+}=-S$ be required? Is this requirement fulfilled by the solutions $(2.186),(2.190),(2.191)?$

1.3节 此节问题

1.图（2.6）的（c）(d)两个基本过程好像没有在这一节中体现，怎么证明这两个过程？

2.（2.192）的注释中写了一个问题

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