##nolting多体物理 第二章 多体模型系统1 晶体电子

多体物理 第二章 多体模型系统1 晶体电子

多体物理 第二章 多体模型系统1 晶体电子
2.0节 固体
1.固体
2.固体的哈密顿量：
1）电子子系统：
2）离子子系统：
3）两个子系统的相互作用：
3. 近似求解的三部曲
2.1节 晶格电子
1.无相互作用布洛赫电子
1）电子子系统的哈密顿量
2）所有电子与所有固定在平衡位置的离子之间的相互作用势能：
3）布洛赫定理
包括自旋时的布洛赫波函数（重要）：
4）布洛赫算符
a.定义：
b.用布洛赫算符表示无相互作用电子子系统哈密顿量：
c.布洛赫算符的对易关系
5）若忽略固体的晶体结构
6）坐标表象
a.场算符对易关系
b.坐标表象哈密顿量
7）万尼尔表象
a.万尼尔函数
b.万尼尔表象的哈密顿量
c.布洛赫算符和万尼尔算符的关系：
c.万尼尔算符的对易关系：
d.等式
2.凝胶模型（金老师二次量子化讲义中也有凝胶模型）
1）模型假设
2）模型哈密顿量
a)讨论$H_{+}$δ
b.讨论$H_{\mathrm{e}+}$
c.讨论$H_{\mathrm{e}}$（注意此节中得到了电子-电子库伦相互作用$H_{ee}$的表达式（2.55））
d.凝胶模型哈密顿量
e.凝胶模型哈密顿量的另一表达式：用电子密度算符表示；电子密度算符及其在布洛赫表象、万尼尔表象的二次量子化表达式、傅里叶分量
3）凝胶模型的物理性质
a.Sommerfeld模型
b. 无微扰系统的基态能量（即零温时）
c.考虑一阶微扰（即交换能）和关联能情况下，系统处于基态时，每个粒子的能量：（2.96）式
d.凝胶模型解释金属成键现象
3.Hubbard模型、紧束缚近似
1）凝胶模型的适用条件
2）紧束缚近似：注意这里的紧束缚近似根据（2.100）知，没有考虑电子-电子相互作用
3）Hubbard模型：注意这里考虑了电子-电子库伦相互作用
4）金老师讲义中的Hubbard模型：
2.1节晶体电子 习题
1.习题2.1.3 在理论固态物理中，人们经常要处理这种类型的积分：
2.习题2.1.6：电子密度算符的物理意义
3.习题2.1.7 用场算符表示电子密度算符
3.习题 2.1.8 将凝胶模型的哈密顿量转换为使用Wannier态作为单粒子基的二次量子化。特别注意这种加入完备性条件来计算二次量子化中前面矩阵元的方法！（很多题都是这样算）
4.习题2.1.9 计算电子密度关联和动力学结构因子：
5.习题2.1.11在紧束缚近似下计算体心立方和面心立方晶格结构的布洛赫能量ε(K)
2.1节 本章内容中我不会的问题：
1.
2.
3.重要：Hubbard模型从（2.114）到（2.117）这些公式我都还没有证明，没时间，下学期再说，nolting数也没有写出这些公式的推导过程。金老师讲义中有一些关于这些公式的推导，但我还是有些不懂，什么是单中心、2中心、3中心等积分？单中心积分的物理意义是什么？听课，或找其他书，比如callaway书等。不过可能以后我的方向和这个无关
4.（2.33）式后面的我自己写的一个注意，其中我有不清楚的问题

TOC

2.0节 固体

在这一章，我们将介绍一些经常处理的模型系统，后面我们将通过这些模型系统来说明和检验抽象理论的原理。我们能通过写哈密顿量来学将一次量子化转换成二次量子化。选取的例子都是从理论固体物理的领域得到的，它们作为这一章的开始。

1.固体

固体是一个多体系统，

它由彼此相互作用的原子或分子组成，每个“particle”由一个或多个带正电的原子核与一个带负电的电子云组成。核电子和价电子之间的区别在于，核电子是紧束缚的，并靠近原子核。它们通常占据封闭电子壳层，但稀土的4f电子除外，因此对固体的特性几乎没有影响。而价电子相反，它占据不封闭的壳层，并且负责成键去组成一个固体。当然，核电子和价电子的划分并不总是清晰的。它已经代表了一个近似。在这个意义上，晶格离子指的是原子核（单数，不是复数）加上核电子组成的离子实。这导致了下面的模型：固体：由晶格离子和价电子组成的相互作用粒子系统。
对应的哈密顿量：

2.固体的哈密顿量：

1）电子子系统：

:价电子数目。第一项：动能，第二项：电子的库伦相互作用能， ：电子的位矢。

2）离子子系统：

此时，不需要精确地说明离子-离子的相互作用。在每个情况它都是一个两两相互作用。它部分地解释了“离子的平衡位置定义了严格的周期性晶格”这个事实。离子在这些平衡位置附近表现出振动；而且振动能量量子化。晶格振动的能量量子称为声子。因此，把进一步分离是有利的：

决定了比如固体的结合。决定了晶格动力学。

3）两个子系统的相互作用：

这里，进一步分离是方便的：

：电子和处于平衡位置的离子之间的相互作用。
：电-声相互作用。

3. 近似求解的三部曲

对整个系统（2.1）的精确求解似乎是不可能的。通过以下三个步骤进行近似：
a.电子运动，例如在刚性离子晶格中：
（考虑电子运动就是要考虑电子子系统和两个子系统的相互作用。由于这里是电子运动，故这里不考虑离子子系统 。
先考虑电子运动，得 ；
再考虑两个子系统的相互作用，由（2.6）知，刚性晶格不考虑晶格振动，故忽略电-声相互作用，故只得到）。
b.离子运动，例如在均匀电子气 （由（2.4），这里只考虑了离子子系统中的声子，为什么？）
c.耦合，例如，的微扰论处理。

根据以上步骤，

• 2.1节中将讨论电子子系统，
• 2.2节将讨论离子子系统，
• 2.3节将讨论电-声相互作用，
• 2.4节讨论前面没有讨论过的而在固体哈密顿量中可以存在的自旋及粒子磁矩的相互作用项。

2.1节 晶格电子

1.无相互作用布洛赫电子

这里只关注电子子系统。以下写得不够好，和阎守胜书有点不同，三种近似和布洛赫定理还是阎守胜书写得最好（阎守胜书中并没有忽略电子-电子相互作用，而是将其写成平均场（我查了solid state 书，其也是这样处理，solid state也没有说单电子近似中$v_e\left({\mathit{r}}_i\right)$就是常数，只是说了周期场近似中假设$v_e\left({\mathit{r}}_i\right)$是周期的；网上也说平均场并不是说就是常数），注意平均场并不是说就是将（3.0.4）中的$v_e\left({\mathit{r}}_i\right)$看成常数，$v_e\left({\mathit{r}}_i\right)$也可以是类似晶格势一样的势。），必须复习北大书：

固体物理笔记本：

nolting书的逻辑是：

• 在2.1节的1.中先考虑无相互作用电子子系统（即不考虑电子-电子相互作用），
• 在2.1节的2.凝胶模型和3.Hubbard模型中考虑电子-电子库伦相互作用(不过紧束缚近似这节还是处理的无相互作用电子子系统）

nolting书并没有进行像北大书和solid state书一样”将电子-电子相互相互作用取为平均场“的处理。既然现在学nolting书就按照nolting书的逻辑学一下。

1）电子子系统的哈密顿量

首先考虑在刚性离子晶格中的电子，电子之间无相互作用，但电子处于晶格周期势场中，即电子子系统的哈密顿量：

(2.7)证：根据（2.1）、（2.6）得到。

2）所有电子与所有固定在平衡位置的离子之间的相互作用势能：

（2.12）证：
晶格势是由固定在平衡位置的离子定义的，它是单粒子算符。
晶格势：位于的一个电子与所有固定在平衡位置的离子之间的相互作用势能。

能写成（2.8）的原因：北大书（3.0.1）、（3.0.5）式，重要。

离子位置更精确地表达为：

其中，定义了布拉维格子：

：原胞基矢。
：基元的位置矢量。
上面提到的周期性指的是：晶格势是周期势场，周期为晶格具有的周期。

所有电子与所有固定在平衡位置的离子之间的相互作用势能：

3）布洛赫定理

由（2.7）、（2.2）、（2.12）知，对于无相互作用电子子系统的哈密顿量(2.7)，可以写成$N_e$个单电子哈密顿量之和：
（2.100）

此式可以见后面(2.100)。此式也可以根据北大书(3.0.5)知，不过注意北大书(3.0.5)中取了Z=1。

由（2.7）、（2.2）、（2.12）知，我们要解本征方程：

其中：
，其中$\hat{V}(\hat{\mathit{r}})$是晶格势，见（2.12）.
对于实际的格子，（2.13）的解是一个非平凡的问题。使用（2.12），得到布洛赫定理：

布洛赫定理的另一表达式：

振幅在正空间有周期性：

布洛赫函数形成了一组完备、正交归一基矢组：

由于本征能量是离散的、是离散的，在离散谱是归一化为1，故（2.18）右边是克罗尼克符号。
（2.19）的求和是对第一布里渊区的波矢k求和。

(2.18)：根据量子力学中的正交归一条件的形式确实是这样。
(2.19)：见量子力学笔记本“动量”一章中完备性条件，形式确实这样。
（2.18）、（2.19）的证明没时间，证略。

包括自旋时的布洛赫波函数（重要）：

由于不包括自旋部分，故真正的本征函数能分解成自旋空间和位形空间函数：

布洛赫函数还有能带指标n，但是这里我们限制到【在一个能带中的】电子。

（2.20）证明：
为什么（2.20）中电子的本征态中，自旋也是${\hat{S}}_z$的本征态？有没有可能自旋是${\hat{S}}_z$的两个本征态的叠加态（即一般态）？
答：不可能。根据为知自旋波函数、角动量理论中自旋态的旋转.md中，

cohen书：

曾书：


其中，

故，对于多体物理这里，哈密顿量不含自旋变量，则哈密顿量的本征态可以分离变量，也即本征态可以写成cohen书中（C-16）的张量积形式，旋量波函数可以表示成（C-18）的形式。根据为知自旋波函数、角动量理论中自旋态的旋转.md中cohen书66页中泡利理论的4个假定中的第二个假定：

可以知道，任何一个自旋态都可以用${\hat{S}}^2、{\hat{S}}_z$的共同本征态展开。类比：



可以知道，对这里多体物理书的情况，取$（H，S_z）$为力学量完全集，总的态空间是轨道态空间和自旋态空间的张量积，根据（C-2）知道，总的态可以用两个子态空间的基矢张量积构成：$|\psi ⟩=|{\psi }_k(\mathit{r})⟩\otimes |\epsilon ⟩$，其中$|{\psi }_k(\mathit{r})⟩$是轨道态空间的本征矢，$|\epsilon ⟩$是自旋态空间的本征矢，即$|\epsilon ⟩$是${\hat{S}}^2、{\hat{S}}_z$的共同本征矢，根据（C-17）、（C-18）知道，$|+⟩=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right);|-⟩=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)$（这样写稍微有点不严谨，还是说根据（C-18)直接得到（2.20）更严谨）且（2.20）得证。

4）布洛赫算符

a.定义：

一个布洛赫电子的产生湮灭算符。

产生湮灭算符有的原因：产生湮灭算符是产生湮灭单粒子态，由（2.20）知，确实产生湮灭算符应有自旋指标。

b.用布洛赫算符表示无相互作用电子子系统哈密顿量：

（2.22）证明：

（2.22.1）
矩阵元能直接计算：

【（2.12）划线的地方是根据（2.18）、关于自旋波函数的归一化可以直接从自旋波函数证，简单。】
故得到（2.22），得证。

c.布洛赫算符的对易关系

布洛赫算符当然满足第一章中的对易关系：

虽然多了一个自旋指标，但是应该类似第一章这些对易关系的证明能证明以上公式，证略。

5）若忽略固体的晶体结构

如果我们忽略固体的晶体结构，而把离子晶格仅仅看作是电子系统的带正电荷的背景，即晶格势不是周期的（2.11），而是常数。此时解薛定谔方程（2.13）得：（量子自由电子论笔记）
布洛赫函数变成平面波：

布洛赫能量（即（2.13）对应的本征能量）变成：

是固体体积，注意区分体积和晶格势.

6）坐标表象

我们将讨论的两个其他的表象，它们在应用上很重要，比如：
场算符：
它们和第一章的定义一致，满足（1.63）至（1.69）式，只是增加了自旋。

因为场算符也是产生湮灭算符，从前面的分析知，这里也应加自旋指标。

a.场算符对易关系

可以通过类似第一章的证明推广第一章的公式，比如

b.坐标表象哈密顿量

类似（1.51）和（1.100）得：

证明：

这个证明不严谨，有问题
问学姐多体物理看什么书比较好？

这个问题暂时就先不严谨吧，先跳过，等以后学多体物理课的时候再看negele的书的严谨的二次量子化
这本书数学不严谨，别人也是这样说。以后我一定看negle的书，不看nolting的书 或者看negle书里场算符的部分，现在没时间，暂时就这样
nolting的书有的地方推导不严谨，或者不说清楚提示内容，或者不提示怎么推导，或者写得看不懂。从此现在6.12号之后不再看nolting的书。
量子多体要学几遍，看几本书，所以nolting的书可以当参考，但也应主要看negele书

7）万尼尔表象

（万尼尔函数这里没写清楚，北大书也没写清楚，李正中的固体理论中也没完全写清楚，所以查其他书和网上固体理论课。）

a.万尼尔函数

另外，一个经常用的特殊位形表象利用了万尼尔函数：
，其中${\psi }_{k\sigma }(\mathit{r})$是布洛赫波函数.
这些函数典型的特点是它们相对强地聚集在每个格点位置附近（图2.1）。利用（2.18）和（2.30）

能容易地证明正交关系：

（2.30）怎么证明？ 见李正中书第7页，群论的方法证明。或见为知“傅里叶级数、积分”

b.万尼尔表象的哈密顿量

在二次量子化中，由（1.100）得到为：

物理意义：直接清楚地表示了具有自旋的一个电子从格点（它在此湮灭）跳跃到格点（它在此产生），因此称为“跳跃”积分。
【我自己写的注意1：根据（2.33）的推导过程知道，并没有要求$i\ne j$，故此物理意义中，$i=j$的项好像就不能说是“跳跃”？，但它也不是势能项？（注意与sunkai紧束缚讲义（5.1）区分开，原因见SSH模型、sunkai紧束缚模型、固体理论课一维链中哈密顿量的来源.md），它应该仅仅是类似后面Hubbard模型中的单中心积分，其物理意义我也不知道。
我自己写的注意2：根据SSH模型、sunkai紧束缚模型、固体理论课一维链中哈密顿量的来源、跳跃项.md中的3.知道，（2.33）和sunkai（5.1）、simons和刘海文课中的哈密顿量表达式没有关系！！！注意区分！】
其中：

注意：（2.36）中是对第一布里渊区的k求和，因为由（2.33）、（2.36）的证明过程中的（2.34）知，（2.36）中的求和号是来源于完备性条件，而根据（2.19）、（2.20）类似知，完备性条件是对第一布里渊区k求和，故（2.36）中是对第一布里渊区的k求和。
注意：根据（2.3）知，Ni是离子实的数目。
逆关系式为：

根据（2.33）的证明过程知道，$\epsilon (\mathit{k})$是布洛赫能量，它是单粒子能量。

（2.33）、（2.36）证明：

其中

得证。
（2.37）证明：（2.37）从这里的证明过程来看应该没有书中1/N这个系数。

c.布洛赫算符和万尼尔算符的关系：

湮灭算符：

产生算符：注意不能直接在（2.38）和（2.39）中加一个加号得到。因为应该根据(1.68)、（1.69）来得到产生算符的关系式，e指数上与前面湮灭算符的相比差一个负号。

nolting书说可以通过类似（1.66）至（1.69）中场算符和产生湮灭算符的证明来证明得到.
但是具体证明过程见李正中书319页（我未推导，以后一定要自己推导），李正中书说：以上

c.万尼尔算符的对易关系：

证：From the commutation relations for the Bloch operators (2.23) and (2.24), the commutation relations for the Wannier operators then follow immediately. 得证。

d.等式

$$\begin{array}{}\text{(2.391)}& \sum _i{a}_{{\mathbf{r}}_i}^{+}{b}_{{\mathbf{r}}_i+\mathbf{e}}=\sum _{\mathbf{k}}{a}_{\mathbf{k}}^{+}{b}_{\mathbf{k}}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{e}}\end{array}$$

特别地，当$\mathbf{e}=0$时，

$$\begin{array}{}\text{(2.392)}& \sum _i{a}_{{\mathbf{r}}_i}^{+}{b}_{{\mathbf{r}}_i}=\sum _{\mathbf{k}}{a}_{\mathbf{k}}^{+}{b}_{\mathbf{k}}\end{array}$$

（2.391）和（2.392）式是一个规律，以后直接用。
若b写成a时，(2.391)也是成立的。

证明：此式来自sunkai讲义拓扑绝缘体第五章（5.125）。

2.凝胶模型（金老师二次量子化讲义中也有凝胶模型）

1）模型假设

该模型足以描述简单金属，并基于以下假设：
1.在体积$V=L^3$中的个电子通过库伦相互作用彼此相互作用：

特别注意，在2.1节的1.的标题是无相互作用布洛赫电子，即前一节1.考虑的是不考虑电子-电子库伦相互作用的情况。而这里开始2.凝胶模型、3.Hubbard模型考虑了电子-电子相互作用。

此相互作用能（2.42）的原因见固体物理笔记本“离子晶体”一节。注意先i固定再对所有j求和，再对所有i求和，这样会重复计算，故(2.42)中除了一个1/2.

2.离子只带正电荷：

（2.2）已经说了$N_e$是价电子数目，故（2.43）说明假设每个离子只有一个价电子。

3.离子形成均匀分布的背景，从而保证(a)电中性，(b)恒定的晶格势（即晶格势为常数）。此时，根据（2.52），布洛赫函数变成平面波：

4.V的周期性边界条件产生离散波数k：

见量子自由电子论笔记

2）模型哈密顿量

模型的哈密顿量是如何对应于一次量子化中所表述的这些假设的？它应该包含三项：

$H_e$被解释为(2.2)中的项，是关键项。

a)讨论$H_{+}$

$H_{+}$描述均匀分布的离子电荷，其中均匀分布意味着离子密度n(r)与位置无关：

则

由于第四个假设（采用周期性边界条件，说明不考虑边界效应，边界很小），我们必须在热力学极限下讨论我们的结果，即N→∞，V→∞，N/V→常数。由于库仑力的范围很大，积分就会发散。为此，引入了收敛因子${\mathrm{e}}^{-\alpha |\mathit{r}-{\mathit{r}}^{\mathrm{\prime }}|}$，其中α>0。在计算积分后，取极限α→0。

引入此收敛因子的方法是否会有影响？不会吧，金老师二次量子化讲义中说，本来积不了，这是一个trick，其实是将相互作用看成汤川势，令$\alpha =0$回到库仑势

由于(2.47)，我们需要(2.48)中的以下积分：

则$H_{+}$：
对于α→0，$H_{+}$确实是发散的，但它被尚待讨论的其他项所补偿。

b.讨论$H_{\mathrm{e}+}$

(2.46)中的$H_{\mathrm{e}+}$描述了电子与离子均匀背景的相互作用：

积分号是与离子均匀背景有关，求和号是与电子有关。因为没有重复计数，故不用除1/2.

考虑到与$H_{+}$相同的因素，我们发现：

现在，我们用粒子数算符$\hat{N}$替换经典的粒子数N；这得到：

综上，凝胶模型的哈密顿量：

c.讨论$H_{\mathrm{e}}$（注意此节中得到了电子-电子库伦相互作用$H_{ee}$的表达式（2.55））

（2.52）对于α→0看起来仍然是发散的，但正如我们将看到的，$H_{\mathrm{e}}$包含一个完全对应的项，它与(2.52)中的第二个项相消。$H_{\mathrm{e}}$实际上是决定性的算符，根据(2.2)，它由动能$H_0$(2.7)和库仑相互作用$H_{ee}$(2.42)组成。$H_0$在上一节中已经转换为二次量子化（2.22）$H_0=\sum _{k\sigma }\epsilon (k)a_{k\sigma }^{+}{a}_{k\sigma }=\sum _{k\sigma }\epsilon (k)n_{k\sigma }$。电子-电子库伦相互作用$H_{ee}$是一个典型的两体算符，根据(1.100)，我们在布洛赫表象中发现：

根据（2.2）知道：=.
根据（1.100）

其中
故（2.53）成立。

（2.53）中：

（2.54）证明:根据金老师讲义：
和（1.100）知道：
只有在时才是非零的，原因：注意算二次量子化前面系数矩阵元的方法：加入完备性条件
（2.541）
nolting书说：利用布洛赫定理(2.15)，我们可以进一步证明：${\mathit{k}}_1+{\mathit{k}}_2={\mathit{k}}_3+{\mathit{k}}_4$必须成立。
但我觉得nolting这个结论可能有问题，因为：

故我觉得也许有问题，？以后问。我觉得还有一个问题是：但是在考虑了电子-电子库伦相互作用后，布洛赫定理就不成立了[ 因为布洛赫定理前提是无相互作用电子（见(2.14)）或用平均场表示电子-电子相互作用的情况（见北大固体物理书65页）]，但是虽然布洛赫定理不成立，但好像还是可以有布洛赫表象。也许在电子-电子相互作用较小可以看作微扰的情况，布洛赫定理近似仍成立？不知道

${\mathit{k}}_1+{\mathit{k}}_2={\mathit{k}}_3+{\mathit{k}}_4$成立时，（2.54）得证。

故电子-电子库伦相互作用$H_{ee}$的表达式(2.53)变为：

其中矩阵元见（2.54）.

（2.55）在金老师高量Hubbard模型中是从场算符来证明的，和这里方法不同。

在凝胶模型中，${\psi }_k$是平面波，因此我们可以计算得到：

（2.59）证明：
因为
故
再设，则：

利用,即得到（2.59)

故根据（2.55）和（2.59），$H_{\mathrm{e}\mathrm{e}}^{(\alpha )}$的表达式（上标$\alpha$是说明此表达式与参量$\alpha$有关）：

考虑（2.60）的q=0的项：

（注意，对费米子，即使是两个湮灭算符交换也会有一个负号）

我们可以看到，(2.62)中的第二项正好补偿了(2.52)中的第二项，即总哈密顿量（2.52）中H+和He+的贡献没了。(2.62)中的第一项导致每个粒子的能量在热力学极限中消失，

因此可以从一开始就省略掉。
综上，（2.52）凝胶模型哈密顿量$H$中只剩下（2.60）$H_{ee}$中$q\ne 0$的项和（2.22）$H_0$.

d.凝胶模型哈密顿量

因为现在(2.61)中$q\ne 0$，故若我们现在最终取极限α→0，我们发现
凝胶模型哈密顿量：

其中，从(2.26)，我们有

作为动能的矩阵元；并且

作为库仑相互作用的矩阵元。
注意，（2.63）凝胶模型哈密顿量$H$中只剩下（2.60）$H_{ee}$中$q\ne 0$的项和（2.22）$H_0$.

金老师讲义中凝胶模型哈密顿量的表达式比这里（2.63）的（2.65)中多了一个$4\pi$，不知道哪个对

e.凝胶模型哈密顿量的另一表达式：用电子密度算符表示；电子密度算符及其在布洛赫表象、万尼尔表象的二次量子化表达式、傅里叶分量

电子密度算符：

这是一个单体算符。电子的位置${\hat{\mathit{r}}}_{\mathrm{i}}$在这里是一个算符，而变量$\mathit{r}$自然不是。

为什么${\hat{\mathit{r}}}_{\mathrm{i}}$在这里是一个算符，而变量$\mathit{r}$不是？原因见习题2.1.6。

此构造的电子密度算符（2.66）的物理意义：此电子密度算符$\hat{\rho }$对全空间积分会得到粒子数算符$\hat{N}$.

证见习题2.1.6

从(1.100)中，我们发现电子密度算符$\hat{\rho }$在布洛赫表象的二次量子化表达式：

证明：
对于矩阵元，我们需要计算以下内容：

若考虑凝胶模型，布洛赫波函数是平面波，则：
,代入(2.67)即得到（2.69）

电子密度算符在万尼尔表象的二次量子化表达式见习题。
我们由（2.69）可以得出电子密度算符的傅里叶分量：

${\hat{\rho }}_{\mathit{q}}$满足：

（2.70）证明：根据求和化为积分：


可以知道，

（2.71）证明：

有了这个结果，我们就可以用密度算符来表示凝胶模型的哈密顿量：

（2.72）证明：动能不变，而：
代入（2.70）、（2.71），注意$\sum _{k\sigma }{a}_{k+q\sigma }^{+}{a}_{k\sigma }={\hat{\rho }}_{\mathbf{-}\mathit{q}}$、$\sum _{p,{\sigma }^{\mathrm{\prime }}}{a}_{p-q{\sigma }^{\mathrm{\prime }}}^{+}{a}_{p\sigma }={\hat{\rho }}_{\mathit{q}}$，
，故(2.72)得证。

3）凝胶模型的物理性质

为了对该模型的物理性质有一定的了解，我们现在研究凝胶模型的基态能量。为此，我们利用了一阶微扰理论，根据变分原理，它在任何情况下都会给出基态能量的上限。我们将电子-电子的库仑相互作用$H_{ee}$看作是一个微扰，因此未受微扰的系统由下式给出：
$\begin{array}{}\text{(2.73)}& H_0=\sum _{\mathit{k}\sigma }{\epsilon }_0(\mathit{k})a_{\mathit{k}\sigma }^{+}{a}_{\mathit{k}\sigma }\end{array}$

a.Sommerfeld模型

对未受微扰的系统（根据（2.73）知道，此时凝胶模型哈密顿量中只有电子动能），其哈密顿量（2.73）可以精确地解决。在处于“未微扰”的基态$|{\mathit{E}}_{\mathbf{0}}⟩$时（基态其实就是零温时），N个电子占据能量不大于极限能量${\epsilon }_F$的所有态（根据热统笔记本中金属自由电子气一节可以知道），该极限能量被称为费米能：

$k_F$：费米波矢，它可以容易地计算如下：由于各向同性能量色散

在半径为$k_F$的球体内，电子占据了k空间中的所有态。因为k点在k空间中是离散的，这是由于周期边界条件(参见(2.45))，每个k点对应的k空间体积：（2.76）（注意$\mathrm{\Delta }k$是体积，不是间隔），如果我们现在考虑自旋简并度，我们发现电子数N和费米波矢$k_F$之间的关系如下：

可以得到费米波矢：
（2.77）
费米能:

每个粒子的平均能量$\overline{\epsilon }$：

根据量子自由电子论笔记，这里计算的无微扰的系统其实就是量子自由电子气体（自由说明没有相互作用），而这里计算的这些物理量其实是零温的物理量，因为非零温时会有热激发等，而这里没有考虑。

b. 无微扰系统的基态能量（即零温时）

基态能量：

我们引入一些标准缩写：
$n_{\mathrm{e}}=\frac{N}{V}$：平均电子密度             （2.81）
$v_{\mathrm{e}}=\frac{1}{n_{\mathrm{e}}}$：每个电子的平均体积             （2.82）
$v_{\mathrm{e}}$可以根据（2.83）决定：

其中$r_s$为无量纲的密度参数，而玻尔半径：

玻尔半径的这个公式不是从这一节来的，而是从其他地方来的，好像量子力学氢原子这一节中有这个公式。

若我们以类似的方式引入一个能量参数，

则费米能可以写成：

（2.86）证明：

无微扰系统的基态能量（零温）：

c.考虑一阶微扰（即交换能）和关联能情况下，系统处于基态时，每个粒子的能量：（2.96）式

现在我们引入微扰$H_{\mathrm{e}\mathrm{e}}$，将能量修正计算到一阶：
（这是加入微扰后，对基态的一阶能量修正）

见量子力学笔记本非简并微扰论，这是一阶非简并微扰能量修正$H{}_{nn}^{\prime }$。系统基态$|E_0⟩$是非简并吗？是吧，每个电子都逐渐填，直到费米能级。根据量子自由电子论笔记中：
知道，在费米能级处，电子占据概率为1/2.(即费米能级里简并的各个态上有粒子的平均概率为1/2)

只有湮灭算符作用于【费米球体内的状态的那些项】才起作用，随后，产生算符填充费米球体内产生的空穴：
(1) 直接项：即湮灭算符$a_{k\sigma }$湮灭波矢为$\mathbf{k}$的一个电子，产生算符$a_{k+q}^{+}$产生波矢为$\mathbf{k}$的一个电子，这样有：

但是（2.88）中有条件，故舍去此情况。
（2）交换项：

这是一个典型的量子力学术语，在经典意义上是无法理解的。它源于N粒子态的反对称原理：

由于在无微扰的基态$|E_0⟩$中，费米球内的所有态都被占据，而费米球外的所有态都未被占据，因此它是这样的：

其中，$\theta \left ( x \right )= \left{

$$\begin{array}{cc}1& x>0\\ 0& x<0\end{array}$$

\right.$
（2.92）证明：
根据（2.91）和，得证。

在热力学极限中，我们可以用积分代替和：

在对自旋进行求和且代入（2.65）$v_0(\mathit{q})=\frac{1}{V}\frac{e^2}{{\epsilon }_0{q}^2}$之后，我们仍然需要计算：

可以先不考虑自旋，再考虑加上自旋，根据(2.91),就知道此式确实成立.

令$x=k+\frac{1}{2}q$，得：


(图2.2 在微扰理论中计算一阶凝胶模型基态能量的积分域的示意图，见(2.93)）

（2.94）这种包含$\theta$函数的积分是用数形结合的方法来计算的！图2.2的右边图中 volume of this spherical segment=（2.94）中的S

对于图2.2中绘制的球形区域，我们显然需要计算：

注意有一个前提条件：$k_F>\frac{q}{2}$，若不满足此前提条件，则图2.2中将没有公共区域，也可以根据（2.94）知道S=0.

积分可以很容易地进行：

因此，将其代入（2.93）得到，一阶修正：

这最终得到系统处于基态时，每个粒子的能量(图2.3)：


图2.3 凝胶模型中，系统基态时每个粒子的能量作为密度参数$r_s$的函数

注意$r_s$：

（2.96）中第一项是动能(2.87)，（2.96）中第二项代表所谓的交换能。后者是典型的全同粒子系统，是不可分辨原理（全同性原理）的直接结果，因此也是费米子的泡利原理（因为全同性原理可以推导出泡利不相容原理，见量子力学笔记本）的直接结果。它保证了自旋平行的电子不会靠得太近。使相同电荷的粒子保持一定距离的每一种效应都会导致它们的基态能量降低。这就是(2.96)中负号的原因。

1.在前面计算能量的一阶修正(2.88)过程中用了全同性原理，比如微扰$H_{ee}$的表达式见（2.63），这种二次量子化表达式就是用了费米子的全同性原理才得到、再比如(2.91)的第二个等号就是用了费米子产生湮灭算符的对易关系才得到的。故（2.96）中第二项确实是全同性原理（也即费米子的泡利不相容原理，因为全同性原理可以推导出泡利不相容原理，见量子力学笔记本）的结果，故也称此项为交换能（因为全同性原理是交换交换两个全同粒子不改变体系的状态）.
2."它保证了自旋平行的电子不会靠得太近。"这句话不知道为什么
3.“使相同电荷的粒子保持一定距离的每一种效应都会导致它们的基态能量降低。”，此多体物理书没有证明这个结论，所以不是很理解

（2.96）中第三项${\epsilon }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}}$称为关联能。它给出了微扰理论能量与确切结果的偏差，因此自然是未知的。多体理论的现代方法给出了关联能的以下级数表达式(见(5.177))：

d.凝胶模型解释金属成键现象

此节的简单的凝胶模型其实已经给出了有用的结果，例如$\epsilon -{\epsilon }_{\text{corr }}$在$r_0={\left(r_S\right)}_{min}=4.83$取得最小值，能量最小值为：${(\epsilon -{\epsilon }_{\text{corr }})}_{min}=-0.095[\mathrm{r}\mathrm{y}\mathrm{d}]=-1.29[\mathrm{e}\mathrm{V}]$
这表明了电子密度的最佳值，它最终对应于能量上最有利的离子间距，从而至少定性地解释了金属成键现象。

3.Hubbard模型、紧束缚近似

1）凝胶模型的适用条件

凝胶模型所实现的决定性简化包括：它仅将固体中的离子视为带正电的均匀分布的背景，即完全忽略了晶体结构。然后布洛赫函数变成平面波(2.44)，因此在这个模型的框架内，电子在整个晶体中具有恒定的占据几率（根据波函数的玻恩统计诠释）。因此，凝胶模型从一开始就局限于宽能带的电子，例如碱金属的传导电子，这些假设对于碱金属来说是有效的。

为什么凝胶模型是局限于宽能带？
我认为，在北大固体物理96页半经典模型中说了宽能带和窄能带的区别：

这里说，对于宽的能带，能量随波矢 $\mathit{k}$ 的变化较剧烈，而根据北大固体物理半经典模型中（4.1.2）电子平均速度：${\mathit{v}}_n(\mathit{k})=\frac{1}{\hslash }{\mathrm{\nabla }}_k{\epsilon }_n(\mathit{k})$知道，电子速度大，迁移率高，故说明宽能带的电子应该是能在晶体中跑得快，比如碱金属的价电子、外层电子（而不是内层电子），而凝胶模型中，电子波函数取平面波，电子可以在整个晶体中有恒定的占据概率，即可以在整个晶体跑。故知道，凝胶模型局限于宽能带的电子。

2）紧束缚近似：注意这里的紧束缚近似根据（2.100）知，没有考虑电子-电子相互作用

窄能带中的电子迁移率相对较低，在单个晶格离子位置的占据几率有明显的极大值。平面波自然不适合用来描述这种能带电子（因为平面波对应的是整个晶体中都有恒定的占据几率）。一个相当好的起点是所谓的紧束缚近似。
如果我们假设有很强的晶格势$\hat{V}(\mathit{r})$和低的能带电子迁移率，那么在晶格离子附近，原子的哈密顿量：

它是单个原子的哈密顿量之和，应该能给出一个相当合理的描述，即（2.98）应该非常类似于(2.7)中的$H_0$：

${\phi }_n$是一个原子波函数，我们可以认为它是已知的。指标n表示一组量子数。我们感兴趣的情况是，当函数${\phi }_n$集中在不同位置${\mathit{R}}_{\mathrm{i}},{\mathit{R}}_j$时，它们只有有限的重叠。这导致电子从原子到原子的低隧穿几率，因此只有固体中原子能级的微弱分裂-即一个狭窄的能带。
对于无相互作用电子子系统的哈密顿量(2.7)，可以写成$N_e$个单电子哈密顿量之和：
（2.100）
$H_0$就是忽略电子-电子相互作用(nolting书是这样说）或用平均场代替电子-电子相互作用（北大固体物理66页是这样说）时电子子系统的哈密顿量。

(2.100)成立的原因：北大书66页（3.0.5）式.
此式(2.100)也可以根据：

我们使用以下方法：

因此，修正$V_1(\mathit{r})$在晶格离子附近应该很小，但相反，在中间区域相对较大，然而${\phi }_n$已经降到几乎为零。

原因见北大书：

其中
中的实线就是这里说的$V_1$

从(2.13)知道，我们实际上必须解决以下问题：

这个特征值问题的完整解似乎非常复杂。因此，我们对布洛赫函数${\psi }_{nk}(\mathit{r})$使用以下尝试函数：

见为知傅里叶级数和积分、$\delta$函数傅里叶变换、特殊函数等在固体理论中的应用.md

这个解（2.103）符合布洛赫定理(2.15)；

并且（2.103）在离子核($V_1(\mathit{r})\approx 0$)附近几乎是精确的，而原子间区的误差不太大，因为那里的波函数重叠很小。与(2.29)比较可以知道，我们用原子波函数代替了精确的Wannier函数。使用(2.102)，我们现在近似计算布洛赫能量${\epsilon }_n(\mathit{k})$。以下表达式严格有效：

这里，我们现在应用解(2.103)。使用缩写：

我们获得：

其中我们已经假设原子波函数是归一化的。然后我们发现布洛赫能量：

The overlap integrals ${\gamma }_n^{(j)}$ and ${\alpha }_n^{(j)}$ are by assumption for ${\mathit{R}}_j\ne 0$ only very small quantities, so that we can with confidence simplify further:布洛赫能量：

$\mathrm{\Delta }$表示与坐标系原点上的原子最近的邻居。一般来说，总和可以很容易地计算出来。因此，对于简立方晶格：

a是晶格常数，$T_0^{(n)}$ and ${\gamma }_n^{(1)}$是必须通过实验测定的参数。${\gamma }_n^{(1)}$由能带的宽度W确定：

不知道为什么？有时间再查solid state书或自己可以推导出来。在#固体物理复习 以后复习固体物理就根据此笔记.md中有：

严格地说，导致(2.109)的紧束缚近似只允许用于所谓的s带。对于p-，d-，f-..这些能带，必须考虑到一定程度的简并性，但我们在这里不再进一步讨论这一点。

在#固体物理复习 以后复习固体物理就根据此笔记.md中有：

在下面，我们将我们的处理限制在s带，因此从这里起不再使用指标n。
布洛赫能(2.109)或(2.110)现在清楚地显示出晶体结构的影响。仅对于在能带底附近的非常小的$|\mathbf{k}|$值，会有抛物线型色散关系（这种抛物线型色散关系在凝胶模型中适用）近似成立，$\epsilon (\mathit{k})\Rightarrow {\epsilon }_0(\mathit{k})/{\hslash }^2{k}^2/2m$.

3）Hubbard模型：注意这里考虑了电子-电子库伦相互作用

在二次量子化中，（2.100）的$H_0$采用与(2.33)中相同的形式：

根据（2.100）知道，H0是单体算符，故根据二次量子化得到（2.112）

紧束缚近似允许通过跳跃积分且仅在最近邻晶格位置之间进行电子跃迁：

对于能带电子的库仑相互作用（电子-电子库伦相互作用），(2.55)当然仍然适用。

仍然适用的原因见（2.55）的推导过程. 但是在考虑了电子-电子库伦相互作用后，布洛赫定理就不成立了[ 因为布洛赫定理前提是无相互作用电子（见(2.14)）或用平均场表示电子-电子相互作用的情况（见北大固体物理书65页）]，但是虽然布洛赫定理不成立，但好像还是可以有布洛赫表象。也许在电子-电子相互作用较小可以看作微扰的情况，布洛赫定理近似仍成立？不知道，强关联问题更加复杂，诶

然后，向实空间进行变换，得到：

其中用原子波函数计算矩阵元：

（2.114）、（2.115）证明：怎么证？利用布洛赫表象和万尼尔表象产生湮灭算符之间的关系进行证明？没时间

由于以不同晶格位置为中心的原子波函数重叠较小，原子内部(intra-atomic)的矩阵元占主导：

为什么有原子内部的矩阵元？i、j不是格点吗？金老师高量讲义中说，这是只考虑单中心积分的贡献的近似，但什么是单中心积分？可能单中心积分指的就是（2.115）中$i=j=k=l=i$，并没有其他含义，在（2.115）式中并没有说不允许$i、j、k、l$相等（确实，从跳跃积分的公式（2.33）的证明过程知道，（2.33）并没有要求$i\ne j$）

因此，哈伯德建议将电子-电子相互作用限制在这项（2.116），故：
Hubbard模型：

(符号：$\sigma =\uparrow (\downarrow )⟺-\sigma =\downarrow (\uparrow )$)。

（2.117）证明：金老师讲义中有一部分推导，但我还是有些不懂，什么是单中心、2中心、3中心4中心积分？听课，或找其他书。

因此，Hubbard模型一定是研究动能、库仑相互作用、泡利原理和晶格结构这些东西interplay(相互作用)的最简单模型。
当然，导致(2.117)的剧烈简化也相应地限制了该模型的适用性。

• 该模型用于讨论
  1.窄能带固体(如过渡金属)的电学性质，
  2.能带磁性(Fe，Co，Ni等)，
  3.金属-绝缘体相变(“Mott相变”)，
  4.统计力学一般原理，
  5.高温超导。

尽管哈伯德模型结构简单，但到目前为止还没有得到它的精确解。人们仍然必须求助于近似解。以下各节将讨论示例。

4）金老师讲义中的Hubbard模型：

高量二次量子化中Hubbard模型1、

2.1节晶体电子 习题

1.习题2.1.3 在理论固态物理中，人们经常要处理这种类型的积分：

Sommerfeld expansion

2.习题2.1.6：电子密度算符的物理意义

1.对电子密度算符进行变换为以Wannier态为单粒子基的二次量子化：

2.利用1的结果推导出电子数与电子密度算符之间的关系。
3.在凝胶模型的特殊情况下，第1部分中的电子密度算符采用什么形式？

特别注意这种加入完备性条件来计算二次量子化中前面矩阵元的方法！（很多题都是这样算）


特别注意，这就是电子密度算符的物理意义：此电子密度算符对全空间积分会得到粒子数算符！

因为万尼尔函数的正交归一公式（2.31）可能是对全空间积分，而不是对晶体体积积分？因为（2.31）是从布洛赫波函数的正交归一公式（2.18）推导出来的，而布洛赫波函数（2.16）中，平面波是全空间都有的，而振幅在正空间有周期性，$\mathbf{k}$的取值的推导根据北大书（3.1.19）知道是用了周期性边界条件。而布洛赫波函数的推导过程（见北大书（3.1.10））中用了平移算符等，就是对晶体用了周期性边界条件，不考虑晶体边界，故我认为，从数学严谨来看，（2.31）是对全空间积分，而不是对晶体体积积分。不过不知道我这个结论是否对

3.习题2.1.7 用场算符表示电子密度算符

Exercise 2.1.7 Represent the operator for the electron density

$$\hat{\rho }=\sum _{i=1}^N\delta (\mathit{r}-{\hat{\mathit{r}}}_{\mathrm{i}})$$

in the formalism of second quantisation using field operators.

3.习题 2.1.8 将凝胶模型的哈密顿量转换为使用Wannier态作为单粒子基的二次量子化。特别注意这种加入完备性条件来计算二次量子化中前面矩阵元的方法！（很多题都是这样算）

特别注意这种加入完备性条件来计算二次量子化中前面矩阵元的方法！

哈密顿量：

凝胶模型：

4.习题2.1.9 计算电子密度关联和动力学结构因子：

5.习题2.1.11在紧束缚近似下计算体心立方和面心立方晶格结构的布洛赫能量ε(K)

2.1节 本章内容中我不会的问题：

1.

（2.54）的证明过程注释中，为什么${\mathit{k}}_1+{\mathit{k}}_2={\mathit{k}}_3+{\mathit{k}}_4$ 必须成立？也许在(2.541)中代入平面波表达式而不是用布洛赫定理，从而可以证明，但是积分很难算，我没算，没有去证明。

2.

（2.96）式后面一段话：“(2.96) 中第一项是动能(2.87),(2.96) 中第二项代 表所谓的交换能。后者是典型的全同粒子系统, 是不可分辨原理（全同性原理) 的直接结果, 因此也是费 米子的泡利原理（因为全同性原理可以推导出泡利不 相容原理, 见量子力学笔记本 ) 的直接结果。它保证 了自旋平行的电子不会靠得太近。使相同电荷的粒子保持一定距离的每一种效应都会导致它们的基态能量降低。这就是(2.96)中负号的原因。”不是很理解，见其注释

3.重要：Hubbard模型从（2.114）到（2.117）这些公式我都还没有证明，没时间，下学期再说，nolting数也没有写出这些公式的推导过程。金老师讲义中有一些关于这些公式的推导，但我还是有些不懂，什么是单中心、2中心、3中心等积分？单中心积分的物理意义是什么？听课，或找其他书，比如callaway书等。不过可能以后我的方向和这个无关

4.（2.33）式后面的我自己写的一个注意，其中我有不清楚的问题

来自为知笔记(Wiz)

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