Mattuck 多体物理笔记 第0章
2.无相互作用虚构物体的简单例子
3.准粒子和准马
1）经典液体中的准离子
2）量子系统：电子气中的准电子
3）金属中的单个电子
4）准核子
5）Bogoliubov准粒子(‘bogolons’)
3.集体激发
1）等离子体振子
2）声子
3）磁子
4）核量子
1.多体问题是什么
自从古代哲学家思索一根大头针上能有多少天使跳舞的问题以来，多体问题就引起了人们的注意。在天使问题中，就像在所有多体问题中一样，有两个基本要素。首先，必须有许多物体存在：许多天使、许多电子、许多原子、许多分子、许多人等等。其次，要想出现问题，这些物体必须相互作用。要了解为什么会这样，假设两个物体没有相互作用。然后，每个物体将独立于所有其他物体行动，这样我们就可以简单地分别调查每个物体的行为。换句话说，如果没有相互作用，我们就会有许多单体问题，而不是一个多体问题。因此，相互作用是必不可少的，事实上，多体问题可以被定义为研究物体之间的相互作用对多体系统行为的影响。
为了那些对精确解感兴趣的人的利益，这里可以注意到，多体问题还有另一种表述，即，我们需要多少个物体才会有问题呢？布朗指出，这可以通过回顾历史来回答。在18世纪的牛顿力学中，三体问题是不可解的。随着1910年左右广义相对论和1930年量子电动力学的诞生，二体和一体问题变得无法解决。在现代量子场论中，零体(真空)问题是无法解决的。所以，如果我们在寻找精确解，没有物体已经太多了！
多体问题的重要性源于这样一个事实，即人们能想到的几乎任何真实的物理系统都是由一组相互作用的粒子组成的。例如，原子核中的核子通过核力相互作用，原子或金属中的电子通过库仑力相互作用，等等。图0.1示意性地显示了一些例子。此外，事实证明，在计算这类系统的物理性质时--例如原子的能级或金属的磁化率--相互作用起了重要作用。
从图0.1所示的各种系统可以清楚地看出这一点。多体问题不是固态、核物理或原子物理学等的一个分支，而是涉及适用于所有多体系统的一般方法。
多体问题是一个非常困难的问题，因为在一个相互作用的系统中，粒子的运动极其复杂。在图0.2中，我们对比了非相互作用粒子的简单行为和相互作用粒子的复杂行为。由于多体问题的复杂性，长期以来一直没有取得太大的进展。事实上，解决问题的首选方法之一就是简单地忽略它，假装没有相互作用存在。(令人惊讶的是，在某些情况下，这方法无论如何都产生了很好的结果，其中一个最大的谜团是这是如何可能的！)
另一种早期的解决问题的方法是附录A中描述的正则变换技术，这一方法至今仍在广泛使用。这涉及到将多体系统的基本方程变换到一组新的坐标中，其中相互作用项变得很小。虽然这种技术已经取得了相当大的成功，但它并不像人们希望的那样系统化，这有时会使应用它变得困难。正是由于缺乏一种系统的方法，才使多体领域一直保持在摇篮中直到20世纪50年代。
在1956-7年，情况发生了根本性的变化。在一系列开创性的论文中，已经表明量子场论的方法提供了一种强大的、统一的方法来解决多体问题。量子场论方法已经在基本粒子物理学中取得了成功。这把新钥匙打开了许多大门，很快，这个想法就被应用到了原子核、金属中的电子、铁磁体、原子、超导体、等离子体、分子--几乎所有看得见的东西。
从那时起。许多关于物质本质的最激动人心和最基础的研究都是基于量子场论的方法，这项研究产生了一幅新的简单的物质图景，在这幅图景中，相互作用的真实粒子系统被描述为近似不相互作用的虚构物体，称为“准粒子”和“集体激发”。另一件事是计算物理量的新结果，这些物理量与实验非常符合，例如各种金属中轻原子的能级、核物质的结合能、费米能和有效电子质量。
在这一引言章中，我们将给出一幅准粒子和集体激发的物理图景。然后在下一章中，我们定性地展示了如何利用被称为费曼图法的量子场理论技术来描述准粒子并计算其性质。
2.无相互作用虚构物体的简单例子
正如一开始提到的，自然界的一个小意外是，多体系统经常表现得好像组成它们的物体几乎没有相互作用，原因是涉及的‘物体’不是真实的，而是虚构的。也就是说，由强相互作用的实际物体组成的系统就好像它是由弱相互作用(或无相互作用)的虚拟物体组成的。现在我们来看一个非常简单的例子，说明这种情况是如何发生的。假设我们有两个质量m1和m2，它们由一个强大的弹簧连接在一起，如图0.3所示。也就是说，我们这里的系统由两个强耦合的实体组成。如果把这个装置抛到引力场中，单独考虑每个物体的运动是非常复杂的，因为物体之间有很强的相互作用(弹簧力)。
然而，我们可以把复杂的运动分解为两个独立的简单运动：质心运动和绕质心运动。质心的运动就像是一个独立的质量为m1+m2的物体，所以它是这里不相互作用的虚构物体之一。另一个虚构的物体是质量为
的物体，即所谓的“折合质量”，它相对于质心独立运动。因此，该系统就好像是由两个不相互作用的虚构物体组成的：“质心体”和“折合质量物体”。(见附录A中公式，有推导)
3.准粒子和准马
上面的两体例子很容易理解，但是在一组强相互作用的真实物体中找到弱相互作用的虚构物体就有点困难了。我们首先考虑的是被称为准粒子的虚构物体。产生这些现象的原因是，当一个真实的粒子通过这个系统时，它会推或拉它的邻居，从而被一团由激荡的粒子组成的“云”所包围，就像西部地区一匹疾驰的马掀起的尘埃云一样。真实的粒子加上它的云就是准粒子(图0.4)。
就像尘埃云把马藏起来一样，粒子云“屏蔽”或屏蔽了真实粒子，使准粒子之间的相互作用很弱。云的存在也使准粒子的性质与真实粒子的性质不同--它可能具有与实际质量不同的“有效质量”和“寿命”。准粒子的这些性质在实验上是可以直接观察到的。
应该指出的是，准粒子处于多体系统的激发能级。因此，它被称为系统的“基本激发(elementary excitations)”。(见附录A2）.现在我们来看一些准粒子的例子。
1）经典液体中的准离子
想象一下，我们有一个电解质溶液，它由相等数量的正离子和负离子组成，它们相互运动并相互碰撞，如图0.5所示。在这个系统中，让我们把注意力集中在一个典型的(+)离子上。当离子移动时，由于库仑相互作用很强，它会吸引(-)离子。这些(-)离子中的一些会粘附在(+)上一段时间，然后由于碰撞而脱落，然后被其他(-)离子替代，等等。因此，平均而言，由于相互作用，这种典型的(+)离子(因此每个(+)离子)将被虚线内的一层(-)离子云包围，如图0.5所示。当然，每个(-)离子都同样会有一层(+)离子云。这种相反电荷的涂层（云）将屏蔽离子自身的电荷，因此它与其他类似屏蔽的离子的相互作用将比未屏蔽的情况下弱得多。因此，具有云的离子将大致相互独立地活动，并构成这个特殊系统的准粒子。许多不同类型的相互作用粒子系统可以用这种方式描述，一般来说，我们有：
有时候，同样的方程式可以用量子场论中更强大的术语来表述：
例如，在量子电动力学中，一个“与光子场相互作用的电子”在其周围获得一团虚光子的云，将其转化为“物理的”电子。以类似的方式，真实粒子之间的相互作用被称为“裸”相互作用，而准粒子之间的弱相互作用被称为“有效的”或“dressed”或“renormalized"相互作用。
应该注意的是，每个裸粒子同时是一个准粒子的“核”和其他几个准粒子的云团的瞬时“成员”。因此，如果我们试图把整个系统想象成由准粒子组成，我们必须小心，因为每个粒子都会被计算不止一次。因此，只有在一次只谈几个准粒子的情况下，即与粒子总数相比只有很少的几个准粒子时，准粒子的概念才是有效的。为了避免这个问题且一次只把注意力集中在一个准粒子上，我们可以方便地根据实验来定义准粒子，在这个实验中，人们向系统中添加一个额外的粒子，并观察这个额外的粒子在系统中移动时的行为。对于(+)离子，这如图0.6所示。
记住这幅直观的图画，就有可能猜测准粒子的某些性质。首先，由于一般情况下准粒子之间仍有很小的相互作用，动量p的准粒子将仅在平均时间内保持该动量，这可以从图0.6和图0.5中理解。如果图0.6(B)中的准离子具有动量p，它将在与系统中的另一个准离子(即，属于图0.5所示的系统的准离子，而不是我们射入系统的准离子)发生碰撞之前，在平均时间内不受干扰地传播；这个系统将此入射的准粒子散射，此入射的准粒子就不处于动量状态p了。因此，
准粒子有寿命 （0.3）
寿命必须相当长，我们才能说准粒子近似是一个很好的近似。也可以看出，由于准粒子背部有粒子组成的平均涂层，准粒子可能有一个不同于裸粒子的“有效”或重整化质量。(然而，有效质量的概念并不总是适用的。)这意味着自由准粒子(即，不在外加电场中)具有新的能量关系：
是有效质量。准粒子与裸粒子的能量差称为准粒子的自能：
自能来自于这样的解释：裸粒子与多体系统相互作用，产生云，云反过来反作用于粒子，干扰它的运动，因此，在某种意义上，粒子通过多体系统与自己相互作用，并改变自己的能量。
2）量子系统：电子气中的准电子
电子气是一种简单的模型，通常用来描述金属中的多体效应。它由一个盒子组成，其中包含大量通过库仑力相互作用的电子。此外，为了保持整个系统的电中性，在盒子里放入一个均匀的固定正电荷“背景”。在基态下，电子在盒子中均匀分布，如图0.7所示。
现在假设我们有一个单独的，定域良好的电子，我们把它射入电子气中(图0.8)。由于电子之间的排斥库仑相互作用，这个额外的电子排斥其他电子，让其他电子远离它，故我们在额外的电子附近得到一个"空的空间"，并让其他电子远离它(图0.9).。由于正电荷背景在该区域被暴露，所以该空白空间具有正电荷。这个空白区可以用更详细或更微观的方式来看作是由电子气中的空穴组成的。也就是说，额外的电子从其附近的本来是均匀电荷分布中‘抬出’电子，从而在电荷分布中产生空穴，并在更远的地方‘放下’这些被抬出的电子。这如图0.10所示。由于暴露的正电荷背景，这些空穴具有正电荷。
上述空位意义上的空穴的定义是固体物理学中常用的定义。然而，稍后我们将重新定义，使空穴成为反粒子，类似于基本粒子物理(见4.2节)中的反粒子。
空穴和抬出的电子不断地被【与额外电子和系统中其他电子的相互作用】破坏，而新的空穴和抬出的电子取而代之。这些一直在进行的微观过程的总和如图0.9所示。因此，图0.9可以看成是有一个被【不断变化的空穴和抬出的电子所组成的“云”】包围的额外电子。这种结合被称为准电子。准电子在系统中移动或"传播"，如图0.11所示。
我们现在注意到，紧挨着额外电子的正空穴云部分屏蔽了电子本身的负电荷。因此，如果我们有两个准电子，如图0.12所示，且这两个准电子分开得足够远以至于它们的云不会重叠很多，则我们看到，由于屏蔽，这两个准电子将只会很弱地相互作用。也就是说，准电子的行为几乎彼此独立。这就是为什么金属通常表现得好像它们的电子是独立的：它不是真正的电子，而是我们现在看到的准电子。
3）金属中的单个电子
实际上，准粒子概念最简单的量子例子并不是发生在真正的多体系统中，而是发生在包含一个粒子在外势中运动的系统中，即金属中的传导电子。在完美金属中，正离子形成规则的周期晶格(我们暂时忽略晶格振动)，因此由于离子和电子之间有吸引的库仑相互作用，电子是在周期力场中运动(见图0.13A)。在不完美的金属中，一些杂质离子在晶格中或多或少的随机分布，或者一些置换(displaced)离子的存在，破坏了周期性(图0.13b)。
因为这里假设晶格是固定的，所以电子旁边没有晶格离子的“移动云”。然而，事实证明，即使是这些静止的晶格离子也能够"clothing"电子，我们发现，对于一个完美的晶格，存在一个有效质量m*和无限的寿命。添加杂质等会使寿命变得有限。
在为知“复试问题”这个文档中讲BCS理论，其中讲的好像就和这个变成物理电子的过程有一点关系？
4）准核子
正如核壳模型的成功所表明的那样，尽管原子核中的核子之间存在强大的短程作用力，但它们在许多方面的表现就像它们彼此独立一样。这里几乎独立的粒子不是核子本身，而是每个核子都被其他核子云所包围的核子，即准核子。
5）Bogoliubov准粒子(‘bogolons’)
这些是超导体中的基本激发(elementary excitations)。我们把它们包括在这里，因为它们被称为准粒子，但实际上它们的结构与上面描述的‘粒子+云’的图像有很大的不同。它们由(+k，
)态的电子和(-k，
)态的‘空穴’的线性组合组成。
3.集体激发
正如我们已经看到的，准粒子由原始的真实的单个粒子加上一团扰动的相邻粒子组成。它的行为与单个粒子非常相似，不同之处在于它具有有效质量和寿命。但在多体系统中还存在其他类型的虚拟粒子，即集体激发。它们并不以单个粒子为中心，而是同时涉及系统中所有粒子的集体的、像波一样的运动。以下是一些例子：
1）等离子体振子
如果一个薄的金属箔被高能电子轰击，有可能在箔中电子气的密度中产生正弦振荡，这被称为等离子体波，它有一个频率和一个波长(见图0.14a)。如图0.14(b)所示，等离子体波可视作由低密度区的“空穴”和高密度区的额外电子组成。正如光波被量子化成能量为E=的单位称为光子一样，等离子体波被量子化成能量为的单位称为等离子体振子（plasmons)
2）声子
声波是固体晶格中的正弦振荡。它们被量子化成称为“声子”的集体激发。(见附录A)
3）磁子
在铁磁体中，自旋角动量密度有规律的涨落，称为“自旋波”。这里的集体激发是自旋波量子，自旋波量子称为磁子（magnon)。
4）核量子
在原子核中，人们发现各种振动和转动运动，在这种情况下，相关联的量子是集体激发。
在下一章中，我们将非常定性地描述如何利用传播子和费曼图来寻找准粒子和集体激发的性质。
Further reading
Appendix A.
Patterson（1964）
Pines（ 1963）， chap 1.
