狄拉克场量子化

第章

1.1节

1.

根据作用量的量纲为0知道拉氏量密度的量纲为E的4次方，因为狄拉克场拉氏量中有m，故狄拉克场量纲为： $[ψ] = \frac{3}{2}$ ，
其物理意义：假设如果将质量项去掉，可以进行标度变换： $x^{μ} \to x^{' μ} = λ x^{μ}$ ，对零质量的KG场，

对零质量狄拉克场，

场的量纲正好会是 $λ$ 的量纲。
对零质量场，除了时空对称性等，还有标度对称性，坐标进行标度变换后，场会变化，前面 $λ$ 的量纲等于场的量纲，但考虑重整化后， $λ$ 的量纲不再等于场的量纲，有一个量子修正，即场的scaling的行为会改变，对耦合常数比较小的相互作用场论，可以用微扰论算圈图，可以算反常量纲。

前面说了，狄拉克场拉氏量在手征极限下有额外的对称性，比如轴矢流对应的对称性等。还有刚说的标度对称性。

共轭动量： $π = \frac{\partial L}{\partial \dot{ψ}} = \bar{ψ} i γ^{0} = i ψ^{†}$
哈密顿量： $H = \int d^{3} x H = \int d^{3} x T^{00} = \int d^{2} x (π \dot{ψ} - L_{D i r a c})$ （勒让德变换）

中间括号中的其实就是相对论量子力学中的狄拉克方程的哈密顿量 $H_{D}$

2.错误的量子化方案

薛定谔绘景(t=0)
故此时场算符中不写时间。
假设量子化条件：对易子量子化
代入共轭动量表达式并进入自然单位制hbar=1，故

类比KG场，并注意到狄拉克场是一个4分量的旋量，根据经典场论中的狄拉克旋量u(p)，假设

a的物理意义：湮灭动量为 $\vec{p}$ ，能量为 $E_{p}$ 的电子
b的物理意义：湮灭动量为 $\vec{p}$ ，能量为 $- E_{p}$ 的电子，即b对应的是负能解
狄拉克场还可以写成：

...
猜测升降算符的对易关系：

其余的对易子消失，比如

验证以上对易关系与符合：

根据狄拉克旋量的完备性条件：

得到

最后的是矩阵元是因为场是4分量的狄拉克场，其实推导过程中应该是按场的分量来推导的
，最后对场来说，对易关系算出之后是矩阵。

哈密顿量：

表示能量为正的电子，
表示能量为 $- E_{p}$ 的电子，即产生一个负能电子时，能量会降低Ep，若激发越来越多的负能电子时，能量可以到任意负的能量，即没有稳定的基态（真空）。这是一个问题。

因果性：
薛定谔绘景：

以前在量子化KG场时推导过这样的表达式，核心是计算湮灭算符和哈密顿量的对易子，最后得到正（负）能电子湮灭算符：

（我觉可能写错了，左边应该是海绘景的 $a^{H}$ ）
场算符在海森堡绘景的平面波展开:

验证理论是否满足因果性就是应检查 $[ψ (x), \bar{ψ} (y)]$ 是否在类空间隔等于0：
代入前面的平面波展开公式，且根据自旋求和公式，得到

根据KG场算符的对易子：
知道，

对KG场，当x和y是类空间隔时，为0.
故当x和y是类空间隔时，对狄拉克场，
因果性成立。

写出：

（1）
（在上面公式中代入平面波展开）
定义真空

即没有正能电子也没有负能电子。
（1）等于

即第一项中的两个矩阵元应互相抵消。
但在复KG场论中是复KG场论中的第一项中的一个矩阵元和第二项中的一个矩阵元互相抵消。
故狄拉克场这个量子化理论和复KG场有些不同，有些奇怪。（为什么，不知道，老师原话）

3.新的量子化方案

前面的量子化方案中有两个假设：

第二个假设修改为...

先考虑第二个假设。
狄拉克海：所有负能电子态全部填满（泡利不相容原理说每个态只能填一个电子，故可以填满），此称为这个理论的真空，此时第二个假设修改为：

：含义：真空不能再填充任何一个负能电子。真空时，狄拉克海已经填满。
：含义：真空可以激发出一个负能电子，即在狄拉克海中产生了一个空穴。

下面接着考虑因果性，计算前面已经得到的（1）式：

（1）

计算（1）中的第一个矩阵元：

计算：
=
（3）
下面放弃第一个假设，即现在不知道a和 $a^{†}$ 之间的关系。
根据（3）知道应计算真空矩阵元：
因为放弃了第一个假设，不知道a和 $a^{†}$ 之间的关系，故不能使用KG场论中学过的计算真空矩阵元的方法。换一个方法：
空间平移算符：

此性质应该对量子化狄拉克场也成立，因为所有被客观实验验证的理论都是满足庞加莱不变、狭义的洛伦兹不变、时空平移不变，空间平移不变告诉我们有总动量守恒。
因为真空是平移不变的，转动不变的，故真空的三动量、角动量为0：

根据泰勒展开可以证明：

根据此式，并加入单位算符有：真空矩阵元等于

代入前面空间平移算符的性质，得：

根据此式的最左边和最右边，得到：
，故
。
类似地在真空矩阵元中加入的单位算符如果换成转动算符乘以其逆，得到：

一般，令：
（5）
根据此计算可以得到矩阵元：

（4）
如果对真空矩阵元作洛伦兹变换，即两边加入量子的洛伦兹变换算符：

其中U( $Λ$ )及其dagger称为量子的洛伦兹算符，它是一个映射，即给定一个时空坐标变换 $Λ$ ，可以对应一个量子算符，它作用于希尔伯特空间中，比如对KG粒子，用动量可以标记，即，而对于狄拉克场，还需要自旋；对此KG粒子，。

（4）中为使得是洛伦兹不变量，则
，因为 $P^{2} = m^{2}$ （注意p是四动量），故
，因为 $m^{2}$ 是常量，故A是常数。
根据（5）知道A正比于，猜测此正比于一个态的模方（后面会证明这成立）：

故A是正的常数。

接着算真空矩阵元，根据（4）得到：

ab指的是第a行第b列。A是正的常数，中间的积分等于KG场中讨论过的两点关联函数D(x-y)，它是洛伦兹不变的。

计算（1）中的第二个真空矩阵元：

根据;第二个假设修改为：

,知道：

因b作用于|0>是湮灭一个负能电子，故此真空矩阵元表示从x点产生一个空穴，然后传播到y点的几率振幅。
完全类似前面一个真空矩阵元的计算，得到：

其中B是正常数：
。
接着计算得到：

其中积分等于KG场的D(y-x)。

接着考虑因果性

之前在KG场已经证明：对类空间隔，

若令A=B=1（原因查peskin的书），可以发现，在类空间隔，

（6）

本来因果性是在两个类空间隔测量不能有影响，应该是对易子为0，但这里反对易子才为0，是因为：
在狄拉克场， $ψ 和 \bar{ψ}$ 单独并不构成物理可观测量。而算符是诺特流对应的charge算符，或哈密顿量算符、动量算符这些会构成可观测量。
动量算符（在后面5.中的4)会知道动量算符的以下表达式）：

含有偶数个狄拉克场算符的算符称为玻色型算符。这种玻色型算符才能构成可观测量。
** 故因果性要求：**
（7）
根据（6）和
知道，（7）确实成立，故因果性依然成立。

第一个假设应修改为...

等时，当 $\vec{x} \neq \vec{y}$ 时,知道 $(x - y)^{2} < 0$ ，故此时是类空间隔。根据（6）知道，第一个假设应修改为：等时量子化条件：

a、b是狄拉克场中的分量指标。
此等时量子化条件等价于产生湮灭算符满足：
（8）（唯一的两个非零反对易子）

哈密顿量、真空能、负能级问题得到解决

可以计算得到哈密顿量算符：

（注意梯度不是一个算符，只是一个数学运算符号）
真空时狄拉克海已经填满，而
。
引入空穴的产生湮灭算符，令
，此时根据（8）有：空穴产生湮灭算符的反对易关系：
（9）
的物理意义：可以知道是产生一个动量为p的负能电子，即湮灭了一个正能空穴。
的物理意义：产生一个正能空穴。
此时第二个假设：真空条件：
，真空没有空穴。

故哈密顿量：

根据（9）得到，

出现了负的无穷大真空零点能，这是可以理解的，因为真空有填满的狄拉克海，无穷多个负能电子。现在，故负无穷大可以扔掉。

注意哈密顿量中
，因为空穴。
故这样狄拉克场论解决了负能级问题。
狄拉克场论中狄拉克真空能为负无穷（当然还可以校准，没关系）。而KG场论中真空能为正无穷。
狄拉克空穴、狄拉克海是一个历史的产物，物理上并不真实存在，因为真空如果是很多负能电子，则真空电荷应该是负无穷，但电磁学实验说真空是电中性的，还有其他反对狄拉克海和狄拉克空穴的理由在温伯格书。实际上在QFT中，从此将空穴理解成电子的反粒子，即正电子。
故真空理解成没有电子也没有正电子。

4.费米狄拉克统计

等时，当 $\vec{x} \neq \vec{y}$ 时,知道 $(x - y)^{2} < 0$ ，故此时是类空间隔，根据（8）知，
（11）
因为（两粒子态，直积态），根据（11）知，

全同费米子，交换两个粒子，波函数反对称。
根据（11）知，，故，即同一个费米子的态不能有两个粒子（泡利不相容原理）。
自旋-统计定理：
玻色子对应玻色统计，费米子对应费米统计

5.狄拉克场量子化

1）场的平面波展开

（注意第二行公式的第二项的指数上是正的）

2）等时量子化：

出于简单，后面会将b上面的~去掉，注意不要混淆，它是和正电子有关。

3）真空条件

故真空条件写成：真空条件：

4）哈密顿量和总动量

哈密顿量：
（校准了）
这里 $a^{†}$ 和 $b^{†}$ 都是激发正能粒子， $a^{†}$ 激发正能电子， $b^{†}$ 激发正能的正电子。
根据经典场论诺特定理一节的内容，有：
时间平移不变性对应的诺特荷是哈密顿量。此哈密顿量是无穷多个谐振子。
空间平移不变性对应的诺特荷是总动量算符：

根据可以计算得到：
（*)
根据此式知道 $\vec{P}$ 是每个粒子动量 $\vec{p}$ 加起来的形式。

总动量的具体计算过程：
根据可以计算得到：
根据场的平面波展开（注意这里用了一个trick，将第二项的p变成-p，不改变积分值）：
（好像老师写的正负号有点问题）
故
故 $\vec{P} =$
这是一个九重积分，先对坐标积分，得到：

再对动量积分，得到：

根据“狄拉克场”笔记中狄拉克旋量的归一化、正能解和负能解之间的正交性：

知道：
$\vec{P} =$

根据知道

舍去无穷大常数，即证明了（*)式。

5）单粒子态

类似KG场，构造粒子的单粒子态：

加是为了得到洛伦兹不变的归一化条件，此时归一化条件是洛伦兹不变的

归一化条件：

还可以构造反粒子的单粒子态：
还可以通过直积构造多粒子态。

6）电子的自旋真的是1/2吗

构造角动量算符 $\vec{J}$ ，根据诺特定理：

守恒荷：

计算守恒荷

考虑沿在z轴转动无穷小 $θ$ 角，
而无穷小洛伦兹变换：

为刻画沿在z轴转动无穷小 $θ$ 角，可以知道唯一非零的两个参数：

根据洛伦兹变换和转动矩阵的表达式（见高量）确实可以证明。我证明了。

根据 $x^{'} = Λ x$ 知道。因为唯一非零的只有两个参数，故

故根据 $j^{μ}$ 表达式计算 $j^{0}$ :
（13）

因为

又因为
，故

中是绕z轴往反方向转 $θ$ ，根据转动矩阵可以知道它是

泰勒展开得到

根据（13）得到

根据转动不变性对应角动量守恒，故其诺特荷可以假设为是角动量的z分量：

这是绕z轴转动的情形得到的，还可以绕x轴、y轴得到角动量其他分量，故得到总角动量算符：
（14）
其中

测量自旋

考虑

因为静止，故轨道角动量为0，此时只有自旋角动量，故
因为真空角动量为0，，故
（15）

在（14）中代入狄拉克场的平面波展开，得到

交换积分次序，先对坐标积分，得到 $\J_{z}$ 的表达式：
（16）

将（16）代入（15），根据等时量子化条件和 $[A B, C] = A {B, C} - {A, C} B$ 、

，得到
（15）=

第二个等号后面的求和号下面少了一个s。之前说了产生湮灭算符上面的s是自旋指标。

其中

当s=1时，计算得到

对比上面公式最左边和最右边知， $J_{z}$ 本征值为1/2， $a _ { 0 } ^ { s =1 \dagger} \right| 0 >$ 是自旋沿着z轴向上的粒子，自旋为1/2.

当s=2时，计算得到

故

考察反粒子（即正电子）的自旋

类似前面

最后得到：

当s=1时，自旋向下的正电子，正电子的自旋是-1/2，
当s=2时，自旋向上的正电子，正电子的自旋是1/2。
理解：考虑狄拉克海，假设某个负能电子自旋向上，若将它激发掉，产生一个自旋向下的空穴。（为什么）

从自旋的推导过程知道（没时间），自旋来自洛伦兹时空对称性

$Λ_{1 / 2}$ 提供了
。

7）电荷算符

考虑
，求出其对应的诺特流、诺特荷：

若量子化、提升为算符：

其中的无穷可以理解：基态是无穷多个负能电子，荷是无穷大。校准真空后可以舍去这个无穷大。
注意其中、都是粒子数算符，故校准之后，可以证明

物理意义分别为：
真空不含荷；单电子态是荷算符的本征态，本征值为+1；单反电子（即正电子）态是荷算符的本征态，本征值为-1.故可以知道荷算符是电荷算符，因为正电子和电子的电荷必须相反。根据推导过程知道，这种相反来源于b和 $b^{†}$ 的反对易关系。
对多粒子态，比如

在狄拉克的相对论量子力学中，
，是正定的。但在量子场论中会发现，Q的本征值既可以正，也可以负，取决于粒子多还是反粒子多

电荷算符其实还可以乘一个电荷-e（其实无关紧要）：

8）因果性

见3.这节

5.狄拉克场论传播子

对KG场论，定义了推迟传播子，推迟：x0>y0，x时刻比y时刻晚的时候才非0.

还定义了费曼传播子： $D_{F} (x - y) = ⟨ 0 | T ϕ (x) ϕ (y) | 0 >$
对狄拉克场论，回忆两点关联函数（在3.中算过）：

（对指数上的x求偏导确实可以得出一个p）
=
=（14）
（是KG场论中的两点关联函数）

计算，计算得到

=D(y-x)（15）

定义狄拉克场的推迟传播子：
根据（14）、（15）得到
。
在KG场论中推导过，KG场论的推迟传播子满足：

而狄拉克推迟传播子满足：
（16）

知道（16）=
，即有：
=（17）
但一般考虑动量空间的传播子，傅里叶变换：
（18）
将（18）代入（17），并将（17）右边的狄拉克 $δ$ 函数写成傅里叶变换形式，得：

比较被积函数，得到：
动量空间狄拉克场推迟传播子：

注意是一个4X4矩阵，如果它在分母上，理解为取逆。

根据（18）得到狄拉克场的推迟传播子的另一形式：
（19）
注意分母有极点。

定义狄拉克场的费曼传播子：
（20）
此费曼传播子和推迟传播子的唯一区别就是围道积分绕极点的方式改变了。
解析延拓：

狄拉克场的费曼传播子等于

故动量空间费曼传播子（重要，以后算树图）：
（21)
也可以写作：
(但其真实写法应该是（21））
（21）比KG场的动量空间费曼传播子多一个