第四章置换群总结

1.1节 置换群的一般性质
1.置换
2）矩阵表示：设原来排在第j位置的客体，经过置换R后排到了第$r_j$位置（背，非常重要，用这句话才能理解置换矩阵）
3）置换的性质：
2.n个客体置换群Sn
3.轮换和对换
1）轮换：轮换是一类特殊的置换：$n-l$个客体保持不变，余下的$l$个客体顺序变换（背），$l$称为轮换长度
2）轮换的性质
2）置换分解为轮换乘积
a.任何一个置换，都可以唯一地分解为没有公共客体的轮换乘积
b.该置换的轮换结构：把一置换分解为没有公共客体的轮换乘积时，各轮换长度的集合（背）
c.配分数：把一个正整数n分解为若干个正整数之和，这样的若干个正整数的集合
d.置换的轮换结构由n的一组配分数来描写（背）：
e.两轮换有一个公共客体时乘积的计算方法
f.两轮换有两个或多个公共客体时乘积的计算方法
2）互相共轭的两置换有相同的轮换结构
2）互相共轭的两置换有相同的轮换结构
3）有相同轮换结构的两置换必定互相共轭
4）具有相同轮换结构的置换构成置换群$S_n$的一个类（背）
5）置换的轮换结构由一组配分数来描写，故置换群的类数、不等价不可约表示的个数都等于整数n分解为不同配分数的数目（背）
2）奇置换、偶置换
4）置换宇称
6.置换群的生成元
1.2节 杨图、杨表和杨算符
1.杨图
1）(背:)一个配分数$({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m)$标记置换群的一个不等价不可约表示, 记作 $[\lambda ]=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m]$ , 其中
2）杨图：对配分数 $[\lambda ]=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m]$ , 画 $m$ 行方格图，左边对齐，第一行 含 ${\lambda }_1$ 格，第二行含 ${\lambda }_2$ 格，以此类推，这样的方格图称为配分数 $[\lambda ]$ 对应的杨图，简称杨图 $[\lambda ]$（背）
每个杨图都唯一地对应于置换群 $S_n$ 的一个不等价不可约表示（背）
2.杨表
1）杨表：对于给定的杨图 $[\lambda ]$，把 1 到 $n$ 的 $n$ 个自然数分别填入杨图的 $n$ 个 格子中，就得到一个杨表（杨盘）（背）
2）正则杨表：从左到右是增加的，从上到下也是增加的（背）
3）维数定理
3.杨算符
1）横向置换：保持杨表中同一行的数字只在这一行中变动的置换称为横向置换，记作 $p$ , 所有横向置换的集合记作 $R(\lambda )$
2）纵向置换
3）横算符：所有横向置换之和称为给定杨表的横算符（背，后面的题）
4）纵算符：所有纵向置换乘以各自的置换宇称后相加，称为给定杨表的纵算符（背，后面的题）
5）杨算符：横算符乘以纵算符，称为给定杨表的杨算符（背，可以计算杨算符）
4.置换群的类-
6.置换群的生成元
1.2节 杨图、杨表和杨算符
2.杨表
3.杨算符

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1.1节 置换群的一般性质

1.置换

n个客体排列次序的变换称为置换（背）

2）矩阵表示：设原来排在第j位置的客体，经过置换R后排到了第$r_j$位置（背，非常重要，用这句话才能理解置换矩阵）

3）置换的性质：

求置换乘积SR的方法（非常非常重要，背，后面一直经常用，只要遇到两个置换相乘，就可以用）：使R的第二行和S的第一行排列一样，且顺序为1，2，3等
置换的理解：其实应该将其乘$\left({\phi }_1{\phi }_2{\phi }_3{\phi }_4{\phi }_5\right)$来理解。（背）

2.n个客体置换群Sn

逆元：把置换的上下两行交换得到的置换是逆置换

3.轮换和对换

1）轮换：轮换是一类特殊的置换：$n-l$个客体保持不变，余下的$l$个客体顺序变换（背），$l$称为轮换长度

2）轮换的性质

• 用行矩阵描写轮换时，数字的排列次序不能改变，但可以顺序变换（背）
• 对换：长度为2的轮换称为对换，对换满足
  
• 两个没有公共客体的轮换，乘积次序可以交换（背）
  

2）置换分解为轮换乘积

a.任何一个置换，都可以唯一地分解为没有公共客体的轮换乘积

b.该置换的轮换结构：把一置换分解为没有公共客体的轮换乘积时，各轮换长度的集合（背）

c.配分数：把一个正整数n分解为若干个正整数之和，这样的若干个正整数的集合

d.置换的轮换结构由n的一组配分数来描写（背）：

n个客体（重要，背）

e.两轮换有一个公共客体时乘积的计算方法

• 两轮换有一个公共客体时，连接（背，重要：特别注意连接的时候，连接的那个元素d依然存在，易错）：
• 有一个公共客体的两个轮换的乘积：在每个轮换内部，把公共客体通过顺序变换移到最右或最左，然后按上面公式把两个轮换接起来.
• 把一个轮换分解为有一个公共客体的两个轮换乘积：在轮换的任意一个位置砍一刀

f.两轮换有两个或多个公共客体时乘积的计算方法

5个规则(背，写题先写这5个规则）：
（1）一个轮换分解为有一个公共客体的两个轮换乘积：在轮换的任意一个位置砍一刀
（2）两轮换有一个公共客体时，连接（背）
（3）用行矩阵描写轮换时，数字的排列次序不能改变，但可以顺序变换
（4）对换满足：
（5）没有公共客体的轮换，乘积次序可以交换
$\mathrm{R}$ 置换的上下两行 $([MathProcessingError]1,2,\cdots ,nc1,c2,\cdots ,cn)$ 同时作$\mathrm{S}$置换即得 $\mathrm{R}$置换的共轭元素SRS ${}^{-1}$ 。这里 $\mathrm{S}$ 既可以写成 $([MathProcessingError]1,2,\cdots ,nd1,d2,\cdots ,dn)$ 对 $\mathrm{R}$置换的上面那行操作，也可写成$([MathProcessingError]c1,c2,\cdots ,cnf1,f2,\cdots ,fn)$ 对 $\mathrm{R}$置换的下面那行操作。最终的结果是：$([MathProcessingError]d1,d2,\cdots ,dnf1,f2,\cdots ,fn)$

2）互相共轭的两置换有相同的轮换结构

2）互相共轭的两置换有相同的轮换结构

3）有相同轮换结构的两置换必定互相共轭

4）具有相同轮换结构的置换构成置换群$S_n$的一个类（背）

5）置换的轮换结构由一组配分数来描写，故置换群的类数、不等价不可约表示的个数都等于整数n分解为不同配分数的数目（背）

2）奇置换、偶置换

长度为奇数的轮换是偶置换，长度为偶数的轮换是奇置换。（背，后面用）

4）置换宇称

（背）

6.置换群的生成元

• 相邻客体的对换记作： $P_a=(aa+1)$（背）
• 对n个客体置换群，引入长度为 $n$ 的轮换 $W=(12\cdots n)$（背）
  置换群的生成元是$W$和$P_1$ （背）

1.2节 杨图、杨表和杨算符

1.杨图

1）(背:)一个配分数$({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m)$标记置换群的一个不等价不可约表示, 记作 $[\lambda ]=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m]$ , 其中

（配分数中的这些数从大到小排列）
（表明这些数是n的配分数）

2）杨图：对配分数 $[\lambda ]=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m]$ , 画 $m$ 行方格图，左边对齐，第一行 含 ${\lambda }_1$ 格，第二行含 ${\lambda }_2$ 格，以此类推，这样的方格图称为配分数 $[\lambda ]$ 对应的杨图，简称杨图 $[\lambda ]$（背）

每个杨图都唯一地对应于置换群 $S_n$ 的一个不等价不可约表示（背）

2.杨表

1）杨表：对于给定的杨图 $[\lambda ]$，把 1 到 $n$ 的 $n$ 个自然数分别填入杨图的 $n$ 个 格子中，就得到一个杨表（杨盘）（背）

2）正则杨表：从左到右是增加的，从上到下也是增加的（背）

3）维数定理

钩形数规则：杨图 [ $\lambda$ ] 对应的不可约表示的维数是：n的阶乘除以钩形数相乘（背）：

• 钩形数杨表：将杨图 $[\lambda ]$中每格的钩形数 $h_{ij}$ 填入该杨图（背）

3.杨算符

1）横向置换：保持杨表中同一行的数字只在这一行中变动的置换称为横向置换，记作 $p$ , 所有横向置换的集合记作 $R(\lambda )$

所有可能的横向置换构成的集合就是直乘群$R(\lambda )$（背）

2）纵向置换

3）横算符：所有横向置换之和称为给定杨表的横算符（背，后面的题）

就是将直乘群R(λ)中的所有元素加起来。

4）纵算符：所有纵向置换乘以各自的置换宇称后相加，称为给定杨表的纵算符（背，后面的题）

置换宇称（背）：长度为奇数的置换是偶置换，长度为偶数的置换是奇置换，

给定杨表横算符的写法：先把每一行的所有横向置换加起来，再把不同行的（横向置换之和）乘起来。（背，重要）
给定杨表纵算符的写法：先把每一列的所有纵向置换乘上各自的置换宇称后加起来，再把不同列的纵向置换之代数和乘起来。（背，重要）

5）杨算符：横算符乘以纵算符，称为给定杨表的杨算符（背，可以计算杨算符）

注意置换宇称是纵置换q的置换宇称，与横置换无关。

杨算符定义：横算符乘以纵算符，
背：求杨算符的方法：三部曲：
（1）给定杨表横算符的写法：先把每一行的所有横向置换加起来，再把不同行的横向置换之和乘起来。
第一行所有横置换加起来：
第二行所有横置换是E，
不同行的横向置换之和乘起来等于：，这就是横算符。
（2）给定杨表纵算符的写法：先把每一列的所有纵向置换乘上各自的置换宇称后加起来，再把不同列的纵向置换之代数和乘起来。
第一列所有纵向置换乘上各自的置换宇称后加起来：（特别注意记住还有恒元，易错）
第二列所有纵置换是E，
不同列的纵向置换之代数和乘起来得到，这就是纵算符。
（3）根据杨算符定义：横算符乘以纵算符，即得杨算符。（特别注意记住必须横算符在前乘以纵算符，易错。因为两个有相邻客体的轮换乘积时，乘积次序不能调换。只有没用公共客体时，乘积次序可交换。）

4.置换群的类-

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6.置换群的生成元

1.2节 杨图、杨表和杨算符

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2.杨表

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• 杨图 [ λ] 对应的不可约表示的维数是：n的阶乘除以钩形数相乘（背）：
  
  

3.杨算符

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