群论第四章置换群（2），一些内容较难，也没完全懂，若需要用，则以后再看马书、北大群论书，马书写得比ppt内容更多

1.3节 置换群的不可约标准表示
1.定理：
怎么找置换群的所有不等价不可约表示(背）（这样求出来的表示称为置换群的不可约标准表示）：
1.4节 置换群的不可约正交表示
1. 不可约表示按子群链的分解
1）分支律
例
2）实正交表示
3）用正则杨表标记正交基: 从 $S_n$ 的正则杨表中去掉填 $n$ 的格子, 仍是正则杨表,它可以用来标识 $S_{n-1}$ 不可约表示的基（背） ; 依次分解下去，杨表会逐步缩小，杨表逐步缩小的过程反映出置换群表示逐步按子群表示分解的过程, 也确定了基函数按子群链的分类。
2.不可约正交表示的具体形式
1）
2）用$|y_r^{[\lambda ]}⟩$ 表示荷载正交表示 [ $\lambda$ ] 的基
3）$k-1$ 到 $k$ 的轴距
4）对换作用于正则杨表
5）对换 $(k-1k)$在正交表示中的表示矩阵（即基是正交基时的表示矩阵，前面已经说了每一个正交基用（一个正则杨表加一个狄拉克符号）来标记）
例：求S3群的实正交表示的表示矩阵：
3.不可约表示的基函数：通过投影算符的方法得到。（此节内容重要，我觉得可能在凝聚态中有用，这节内容能告诉我们波函数（基）在置换后变成了什么，是否有什么对称性）
例：由组态 $\varphi =uds$ 构造 $S_3$ 群 [3]这个恒等表示的基
重要：
1.3节 置换群不可约表示的内积和外积
1.置换群不可约表示的内积（此节的重要意义是：置换群的两个不可约表示直乘，一定得到一个表示，这个直乘表示向不可约表示约化的结果可以利用此节的公式就直接得到，或者可以得到一部分结果（比如知道约化后一定有反对称表示等。），内积的物理意义是和CG系数有关。
2.置换群不可约表示的外积
1）
2）
3）外积
区分：非常重要，内积和外积的本质：
4）内积和外积的物理应用(重要）
5）对置换群两不可约表示的外积$[\lambda ]\odot [\mu ]$ 进行约化的图形方法：Littlewood-Richardson 规则
例题
3.置换群 $S_{n+m}$ 的分导表示
例
对这些运用Littlewood-Richardson规则的题目：
1.特别注意：每写出一个可能的粘格子的情况时，就验证一下Littlewood-Richardson规则中的3个规则是否成立！
2.写完题目后必须检查，特别注意规则2应成立！
3.检查时注意验证维数，通过维数来判断是否找到了所有可能的粘格子的情况！

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1.3节 置换群的不可约标准表示

1.定理：

定理：杨算符 $y$ 是置换群群代数 $\mathcal{L}\left(S_n\right)$ 本质的原始幂等元，最小左理想$\mathcal{L}\left(S_n\right)y$ 给出 $S_n$ 群的一个不可约表示 ； 由同一杨图的不同正则杨表给出的表示是等价的，不同杨图给出的表示是不等价的（背）

第三章幂等元一节说了，如果知道原始幂等元，就能知道表示。
老师说不证明此定理，数学家证明了。

因为杨算符是群代数本质的原始幂等元，故群代数左乘到杨算符上得到最小左理想。
一个杨图标记一个不可约表示，一个杨图可以有一些杨表，每个杨表都可以写出一个杨算符，因为杨算符就是本质的原始幂等元，故得到一个原始幂等元，所以可以从任何一个杨表出发，得到这个杨图对应的不可约表示。同一杨图的不同正则杨表给出的表示是等价的（因为这些原始幂等元是等价的），不同杨图给出的表示是不等价的。
第三章讲过，等价的原始幂等元不一定正交；不等价的原始幂等元一定正交。
对置换群来说，数学家证明了，n小于等于4时，同一杨图的不同正则杨表对应的杨算符（它们是等价的原始幂等元）是正交的；n≥5时会出现同一杨图的不同正则杨表对应的杨算符（它们是等价的原始幂等元）可能不正交的情况。
n小于等于4时，将每一个杨图的每一个杨表都写出来，可以得到对应的杨算符，所有这些杨算符是正交的，是完备的。故可以将群代数作一个完全的直和分解，或者说将一个正则表示完全约化成不等价不可约表示的直和。
但n大于等于5时，因为一个杨图对应一些正则杨表，这些正则杨表对应的杨算符不一定正交，此时不能用上面n小于等于4时的这种方法进行完全的直和分解。第三章说了，对一个群代数作完全的直和分解等价于要找正交完备的原始幂等元。现在原始幂等元不是正交的，故我们需要将其正交化，这样群代数就可以作完全的直和分解。正交化的过程马老师的书有。但我们这里跳过去，因为我们的目标是找置换群的所有不等价不可约表示，找到了所有的不等价不可约表示，就能根据第三章“将可约表示约化为不可约表示”的方法来将表示约化。再通过相似变换来得到正交表示。
故现在我们关注找置换群的所有不等价不可约表示。

怎么找置换群的所有不等价不可约表示(背）（这样求出来的表示称为置换群的不可约标准表示）：

（1）对置换群的所有的杨图，每一个杨图随便挑一个正则杨表，写出其杨算符，
（2）根据钩形数规则求出此杨图对应的不可约表示的维数。
（3）用群代数去投影，得到最小左理想$\mathcal{L}\left(S_n\right)y$，它会荷载一个不可约表示；
（4）任选最小左理想中一组线性独立的矢量为基（马书有写挑出线性独立的矢量基的方法，但是不具有普遍性，老师说不用这些方法也能慢慢找到线性独立的基，所以他不讲马书中的方法），根据$P_R{\psi }_{\mu }(x)=\sum _v{\psi }_v(x)D_{v\mu }(R)$求出其荷载的不可约表示；对每一个杨图这样算，就得到了置换群所有的不等价不可约表示（特别注意先求置换群生成元的表示矩阵）。

• 

  本来是本质的原始幂等元，乘一个东西后就是原始幂等元。
  

• 例：Sn群的杨图[$\lambda$]=[n]确定的不可约表示
  不等价不可约表示的数目等于整数n分解为不同配分数的数目。
  （1）对杨图，该杨图只有一个正则杨表，该杨表的杨算符为
  
  （2）根据钩形数规则知，维数为1
  
  故杨图[n]对应Sn群的一维恒等表示，即一行的杨图对应一维恒等表示（背），也称这个一维恒等表示是全对称表示，因为将一个对换乘上去，对换不改变符号，波函数不改变符号。
• 例2：$S_n$ 群的杨图 $\left[1^n\right]$ 确定的不可约表示
  该杨图只有一个正则杨表
  
  该杨表的杨算符为
  
  （2）根据钩形数规则知，维数为1
  （3）用群代数去投影，得到最小左理想，根据维数定理求出此不可约表示的维数
  对任意 $t\in S_n$ , 有
  

  

群代数中每个元素乘杨算符等于宇称乘杨算符，故说明此最小左理想是一维的，可以取基${\psi }_{\mu }$为$y$
（4）根据$P_R{\psi }_{\mu }(x)=\sum _v{\psi }_v(x)D_{v\mu }(R)$求出其荷载的不可约表示

一维全反对称表示：一维，且每个元素表示矩阵是其置换宇称。（背）
故杨图 $\left[1^n\right]$ 对应 $S_n$ 群的一维全反对称表示，即一列的杨图对应一维全反对称表示.（背）
此表示称为一维全反对称表示的原因：
因为任何一个对换，其置换宇称是-1，任何两个客体（两个粒子），对换乘在上面，等于负的这个东西，即波函数有一个负号（量子力学中就说这个是反对称波函数），故说这个表示是一维全反对称表示。

• 例3 $：S_3$ 群的不可约标准表示
  杨图 [3] 对应一维恒等表示; 杨图 $\left[1^3\right]$ 对应一维全反对称表示 ; 杨图 [2,1] 有两个正则杨表，它们给出两个等价的二维不可约表示
  以杨图 [2,1] 的其中一个正则杨表为例 :
  
  （1）杨算符
  
  （2）根据钩形数规则知道，杨图 [2,1] 对应的不可约表示是二维的。
  （3）用群代数去投影，得到最小左理想
  
  
  
  
  
  
  群代数中每个元素乘杨算符等于某两个矢量的线性组合，故说明此最小左理想是二维的，在
  这6个中随便挑两个线性无关的作为基，就会得到一个不可约表示。可以取基${\psi }_{\mu }$为$y_1^{[2,1]}$和$(13)y_1^{[2,1]}$（其实取其他的作为基也行，只要是线性无关的），原因是：
  根据
  、它们的线性组合会构成群代数中的任何一个矢量，而乘杨算符后，是最小左理想中的任何一个矢量，这个矢量显然可以由$y_1^{[2,1]}$和$(13)y_1^{[2,1]}$作为基来构成，且可以判断这两个是线性无关的。
  （4）任选最小左理想中一组线性独立的矢量为基，根据$P_R{\psi }_{\mu }(x)=\sum _v{\psi }_v(x)D_{v\mu }(R)$求出其荷载的不可约表示（注意先求置换群生成元的表示矩阵）
  根据前面置换群的生成元一节知道生成元为(1 2)、（1 2 3）

  
  

根据$P_R{\psi }_{\mu }(x)=\sum _v{\psi }_v(x)D_{v\mu }(R)$可以算得：


其它表示矩阵就可以用矩阵乘法得到。
以上的表示称为标准表示。
将以上的标准表示进行相似变换可以得到不可约正交表示。但还有另一种直接得到不可约正交表示的方法，即1.4节将要介绍的方法：

1.4节 置换群的不可约正交表示

1. 不可约表示按子群链的分解

1）分支律

分支律:$S_n$ 群的不可约表示 $[\lambda ]$ 对它的子群 $S_{n-1}$ 来说，是能构成一个分导表示，（背）

S_{n}群的不可约表示对子群来说是表示，这就是分导表示

这个分导表示一般是可约的，要将此可约的分导表示向子群$S_{n-1}$ 的不可约表示约化，就会问$S_{n-1}$ 的哪些不可约表示会出现，会出现几次。分支律告诉我们，从$S_n$不可约表示对应的杨图$[\lambda ]$按所有可能的方式去掉一个方格后所剩下的如果仍是正则杨图 [ ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}$ ]，则剩下的这个杨图对应的就是分导表示（即$[\lambda ]$ 作为 $S_{n-1}$ 群的表示）在进行约化时可能出现的不可约表示[ ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}$ ]，且每个不可约表示[ ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}$ ]只出现一次。（背）
对置换群来说，这种将可约表示约化成不可约表示的方法比第三章的方法“将可约表示约化为不可约表示”更简单。

不证明分支律。

例

例如， $S_5$ 群的不可约表示 $[2^2,1]$ 中包含 $S_4$ 群的不可约表示 $\left[2^2\right]$ 和 $[2,1^2]$ 各一次
根据维数定理钩形数规则：

知道维数：

即$[2^2,1]$是$S_5$的5维不可约表示，对它的子群 $S_4$ 来说，是能构成一个分导表示，这个分导表示是 $S_4$ 的5维可约的，要向 $S_4$ 群的不可约表示约化.

分支律告诉我们，从$S_n$不可约表示对应的杨图$[\lambda ]$按所有可能的方式去掉一个方格后所剩下的如果仍是正则杨图 [ ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}$ ]，则剩下的这个杨图对应的就是分导表示（即$[\lambda ]$ 作为 $S_{n-1}$ 群的表示）在进行约化时可能出现的不可约表示[ ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}$ ]，且每个不可约表示[ ${\lambda }^{\mathrm{\prime }}$ ]只出现一次。

故图中两个对应的就是分导表示在进行约化时可能出现的不可约表示，且每个不可约表示只出现一次。
即$S_4$ 的5维可约表示约化为$S_4$ 的2维不可约表示和3维不可约表示的直和。

因为开始时荷载可约表示的5个基是可以随便选的，所以可以开始就选${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3,{\phi }_4,{\phi }_5$，则5维可约表示就是2维不可约表示和3维不可约表示的直和，即

本来应该相似变换才能化为这个已约表示的形式，现在不用再相似变换。
${\phi }_1,{\phi }_2$荷载的是2维不可约表示，${\phi }_1,{\phi }_2$其实是可以任意线性组合的；${\phi }_3,{\phi }_4,{\phi }_5$荷载3维不可约表示，则${\phi }_3,{\phi }_4,{\phi }_5$是可以任意线性组合的，不影响上面$S_4$ 的5维可约表示块对角的形式

证明：

荷载2维不可约表示的基${\phi }_1,{\phi }_2$和荷载3维不可约表示的基${\phi }_3,{\phi }_4,{\phi }_5$，因为它们属于不同的空间，故两组基之间是正交的。

---

因为上面已经证明了，将${\phi }_3,{\phi }_4,{\phi }_5$基任意线性组合，不影响上面$S_4$ 的5维可约表示块对角的形式。故可以将下面所说的分导表示(即 $S_3$ 的3维可约表示）继续进行约化。
$S_4$ 群的3维不可约表示 $[2,1^2]$ 对它的子群 $S_3$ 来说，是能构成一个分导表示，它是可约的，即 $S_3$ 的3维可约表示，将其向 $S_3$的不可约表示约化，
，根据钩形数规则知道这个两个分别是2维和1维的，即约化成二维不可约表示和一维不可约表示。

因为开始时荷载可约表示的3个基是可以随便选的，所以可以开始就选${\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3,$，则3维可约表示就是2维不可约表示和1维不可约表示的直和，即本来应该相似变换才能化为这个已约表示的形式，现在不用再相似变换。
${\varphi }_1,{\varphi }_2$荷载的是2维不可约表示，${\varphi }_1,{\varphi }_2$其实是可以任意线性组合的；${\varphi }_3$荷载1维不可约表示，则${\varphi }_3,{\varphi }_4,{\varphi }_5$是可以任意线性组合的，不影响上面$S_3$ 的3维可约表示块对角的形式。

此时，

---

$S_3$ 群的2维不可约表示 $[2,1^2]$ 对它的子群 $S_2$ 来说，是能构成一个分导表示，它是可约的，即 $S_2$ 的2维可约表示，将其向 $S_2$的不可约表示约化，约化成 $S_2$的1维全对称不可约表示和1维全反对称不可约表示。
最后，化为维数5=1+1+1+1+1的形式，这些不可约表示的基属于不同的空间，故5组基之间是正交的。称为正交基

2）实正交表示

根据上面的例题知道， 对子群链 $S_n\supset S_{n-1}\supset S_{n-2}\supset \cdots \supset S_{n-i}$ 中的置换，适当选择基后，前一个群的不可约表示矩阵依次是后一个子群的不可约表示矩阵的直和。
荷载子群链 $S_n\supset S_{n-1}\supset S_{n-2}\supset \cdots \supset S_2$ 中所有子群的不可约表示的基互相正交，由它们得到的表示称为置换群的实正交表示。

3）用正则杨表标记正交基: 从 $S_n$ 的正则杨表中去掉填 $n$ 的格子, 仍是正则杨表,它可以用来标识 $S_{n-1}$ 不可约表示的基（背） ; 依次分解下去，杨表会逐步缩小，杨表逐步缩小的过程反映出置换群表示逐步按子群表示分解的过程, 也确定了基函数按子群链的分类。

这样就能将基表示清楚。
比如
根据前面的例题知道下面这些含义：
是荷载（S4的2维不可约表示）的两个基.

根据前面的分支律知道，去掉一个格子后的杨图对应的是Sn-1群的不可约表示，而根据维数定理知，这个杨图对应的正则杨表的个数=这个杨图对应的不可约表示的维数=基的个数，故用正则杨表来标记基

是荷载S4的3维不可约表示的基。
是荷载S3的2维不可约表示的两个基。
是荷载（S3的另外一个2维不可约表示）的两个基。
是荷载S3的一个一维不可约表示的一个基。
...
这些只是标记，并没有真正得到基的具体形式。

2.不可约正交表示的具体形式

1）

任一置换都可以分解为无公共客体的轮换的乘积，任一轮换都可以 分解为对换的乘积，任一对换都可以分解为相邻客体的对换的乘积
只要知道了相邻客体的对换 $(k-1k)$ 的表示矩阵，就可以由乘法求 得 $S_n$ 群的任意元素的表示矩阵

2）用$|y_r^{[\lambda ]}⟩$ 表示荷载正交表示 [ $\lambda$ ] 的基

用 $y_r^{[\lambda ]}$ 表示（不可约表示 $[\lambda ]$ ）的第 $r$ 个正则杨表 ,

因为这个不可约表示是用杨图来标记的，这个杨图有一些正则杨表，r表示其第r个正则杨表。
一个杨表对应一个杨算符

用$|y_r^{[\lambda ]}⟩$ 表示荷载正交表示 [ $\lambda$ ] 的基
例：S5的[2²，1]对应的不可约表示，其杨图有5个杨表，用
加上狄拉克符号后，来表示荷载[2²，1]正交表示的5个基。

3）$k-1$ 到 $k$ 的轴距

$k-1$ 到 $k$ 的轴距：正则杨表 $y_r^{[\lambda ]}$ 中，从填 $k-1$ 的格子到填 $k$ 的格子, 向左或向下数一个方格为 -1，向右或向上数一个方格为 +1，这样数出的代数和 $\mu$ 称为数字 $k-1$ 到 $k$ 的轴距

4）对换作用于正则杨表

若 $k-1$ 和 $k$ 不在正则杨表 $y_r^{[\lambda ]}$ 的同一行或同一列，则对换 $(k-1k)$ 把正则杨表 ${\mathcal{Y}}_r^{[\lambda ]}$ 变为 正则杨表 ${\mathcal{Y}}_s^{[\lambda ]}$：

注意的含义是将杨表中的k-1和k对换一下，得到新的杨表。

5）对换 $(k-1k)$在正交表示中的表示矩阵（即基是正交基时的表示矩阵，前面已经说了每一个正交基用（一个正则杨表加一个狄拉克符号）来标记）

(1) 当 $k-1$ 和 $k$ 在杨表 $y_r^{[\lambda ]}$ 的同一行或同一列

$\mu$是轴距。

注意先根据钩形数规则求出杨图对应的不可约表示的维数，然后就可以得到表示矩阵。

相邻客体如果在正则杨表同一行，则它们一定是相邻的，轴距一定是1，故对换作用于基$|y_r^{[\lambda \mid }⟩$得到+1，$(k-1k)|y_r^{[\lambda ]}⟩=|y_r^{[\lambda \mid }⟩$，故称为对称。
相邻客体如果在正则杨表同一列，则它们一定是相邻的，轴距一定是-1，$(k-1k)|y_r^{[\lambda ]}⟩=-|y_r^{[\lambda \mid }⟩$，故称为反对称。
(2) 当 $k-1$ 和 $k$ 不在杨表 $y_r^{[\lambda ]}$ 的同一行或同一列
$(k-1k)|y_r^{[\lambda ]}⟩=\frac{1}{\mu }|y_r^{[\lambda ]}⟩+\sqrt{1-(\frac{1}{\mu }{)}^2}|y_s^{[\lambda ]}⟩$

不证明。

例：求S3群的实正交表示的表示矩阵：

注意一行的杨图，根据钩形数规则知道其不可约表示矩阵是一维的。
根据公式（1）知道。因为此杨图[3]对应的表示矩阵是一维的，故$D^{[3]}(12)=1$
一列的杨图，根据钩形数规则知道其不可约表示矩阵是1维的，故$D^{\left[1^3\right]}(12)=-1$
根据前前面的例题知道，
是荷载S3的二维不可约表示的两个基。故可以知道表示矩阵：
。

其它元素的表示矩阵可由乘法给出：

这样就求出了S3群的不可约正交表示中的所有元素的表示矩阵。
可以验证这个不可约正交表示中的表示矩阵和1.3节求出来的不可约标准表示差一个相似变换。

3.不可约表示的基函数：通过投影算符的方法得到。（此节内容重要，我觉得可能在凝聚态中有用，这节内容能告诉我们波函数（基）在置换后变成了什么，是否有什么对称性）

有了不可约正交表示的表示矩阵 ， 可得投影算符：

它作用在有置换变量的函数上，可得具有指定对称性[λ]的波函数：
设 $n$ 粒子系统的波函数为 $\varphi (1,2,\cdots ,n)$ , 其中 $1,2,\cdots ,n$ 为粒子的坐 标，则具有对称性$[\lambda ]$ 的 $d_{[\lambda ]}$ 个波函数为 :

这样得到的是荷载不可约表示$[\lambda ]$的第$r$列的函数（其实是一个基）。
这里所说的波函数其实就是荷载不可约表示的基，根据投影算符性质1：

可以理解上面公式。
再根据，就能得到荷载这个不可约表示[λ]的全部基矢量。因为这些基荷载这个不可约表示[λ]，所以我们称这些基具有对称性[λ]。

但为什么称这些基具有对称性[λ]？老师没说，但见下面的例题就能知道原因。

例：由组态 $\varphi =uds$ 构造 $S_3$ 群 [3]这个恒等表示的基

有3个客体，其中一个是u,一个是d,一个是s，但不知道哪个是u,哪个是d,哪个是s，但没关系，只要知道其中有一个是u,一个是d,一个是s，就可以用投影算符投影出确定的不可约表示确定列的函数，比如S3群一维恒等表示[3]，其投影算符：

将其作用于$\varphi$：

根据投影算符性质1：
知道，因为此结果不是零，故它是这个不可约表示第一列的函数，但因为是一维表示，故基只有一个，即这个就是荷载一维恒等表示[3]的基，或者说它具有[3]这种对称性，就是全对称，${\psi }^{[3]}$就是所要求的全对称的波函数

说是全对称波函数的原因是：因为根据这是一维表示和$P_R{\psi }_{\mu }(x)=\sum _v{\psi }_v(x)D_{v\mu }(R)$知道，S3群中的任何一个元素（即任何一个置换）作用于${\psi }^{[3]}$都等于${\psi }^{[3]}$，故是全对称，也可以验证，比如将(1 2)作用于${\psi }^{[3]}$，就是将第一个客体和第二个客体交换，确实还是${\psi }^{[3]}$。

粒子物理中，它就是Σ*的味道波函数。u、d、s是夸克的味道波函数。

根据钩形数规则知，是2维。
表示矩阵是2维，但根据投影算符公式可以写出4个投影算符：


根据投影算符性质1知道，前两个波函数是荷载二维不可约表示[2,1]的基，即前两个有[2,1]这个对称性；后两个波函数是具有其他的对称性，老师没有说这个其他的对称性是什么。
附：

八重态就是它是荷载SO(3)群的八维表示的八个基。
的含义是基用杨表标记。

这些基中关于对换（1 2）是对称的，则用$\lambda$标记（），关于（1 2）反对称则用$\rho$标记。

重要：

只要告诉我们这些重子
的组态，比如uus等，用杨算符一投影就能得到荷载不可约表示[2,1]的基，根据$P_R{\psi }_{\mu }(x)=\sum _v{\psi }_v(x)D_{v\mu }(R)$就能知道这些基（波函数）在置换后变成了什么。（我觉得此方法在凝聚态中可能也有用）
重子八重态的自旋波函数：

1.3节 置换群不可约表示的内积和外积

1.置换群不可约表示的内积（此节的重要意义是：置换群的两个不可约表示直乘，一定得到一个表示，这个直乘表示向不可约表示约化的结果可以利用此节的公式就直接得到，或者可以得到一部分结果（比如知道约化后一定有反对称表示等。），内积的物理意义是和CG系数有关。

内积：置换群不可约表示的直乘称为两不可约表示的内积（背）；直乘分解的CG级数可以按特征标方法计算

以前第三章已经证明，两个不可约表示直乘，一定得到一个表示，如果参与直乘的表示中一个是一维的，则一定得到的是一个不可约表示。但通常来说，两个不可约表示直乘，得到的是一个可约表示，要将其向不可约表示约化，需要对基相似变换。相似变换的矩阵元就是CG系数。将可约表示约化为不可约表示的直和，则称为CG级数。

考虑到置换群的不可约表示是实表示，特征标是实数，有:
直乘后的特征标等于原来特征标相乘：
某个不可约表示[ν]的重数：（2）
各种不可约表示$[\lambda ]、[\mu ]、[\nu ]$中任何两个直乘，再约化，根据（2）式知道，得到的重数都是一样的。即：
$a_{\lambda \mu \nu }$ 对三个指标完全对称。

• 前面已经证明，一行的杨图对应恒等表示; 一列的杨图对应反对称表示, 每个元素在此反对称表示中的表示矩阵即为该元素的置换宇称
• 可以证明，互相对偶的杨图对应的表示维数相等，每个类在这两个表示中的特征标只相差类中元素的置换宇称
  

  根据正则杨表的定义（从上到下增加，从左到右增加）知道，一个正则杨表在对偶（即沿对角线翻一下）后还是正则杨表。故杨图的正则杨表的个数和其对偶杨图的正则杨表的个数相同，故根据维数定理知道，互相对偶的杨图对应的表示维数相等，得证。
  ”每个类在这两个表示中的特征标只相差类中元素的置换宇称“证明：特征标只需要考虑对角元，对于对换来说，对角元是$\frac{1}{\mu }$，$\mu$ 是轴距，...对于置换来说，可以证明差一个置换宇称，没时间，以后证。

• 任一杨图对应的表示与反对称表示的直乘等价于该杨图的对偶杨图对应的表示
  
  $$\begin{array}{}\text{(1)}& [\lambda ]\otimes \left[{\mathbf{1}}^n\right]\simeq [\tilde{\lambda }]\end{array}$$
  
  

  证明：判断等价就是判断特征标对应相等，在$\left[{\mathbf{1}}^n\right]$中的特征标是置换宇称，故根据“互相对偶的杨图对应的表示维数相等，每个类在这两个表示中的特征标只相差类中元素的置换宇称”知道，以上公式两边的特征标确实对应相等得证。

• 考虑到 $a_{\lambda \mu v}$ 对三个指标对称，可得
  恒等表示直乘任何一个表示还是这个表示：
  等价关系：
  
  
  

  可以通过特征标对应相等和前面说的性质来证明。

• 在 $[\lambda ]\otimes [\mu ]$ 的分解中, 出现恒等表示的充要条件是 $[\lambda ]\simeq [\mu ]$ , 出现反对称表示的充要条件是 $[\lambda ]\simeq [\tilde{\mu }]$ , 且在此条件下, 恒等表示或反对称表示只出现一次
  

  怎么证？老师没说清楚，以后再说

例 $:S_3$ 群不可约表示直乘分解的 $\mathrm{C}\mathrm{G}$ 级数为

直乘分解本质上就是相似变换。故上面这个公式就是两个不可约表示[3]、[3]直乘分解。

根据前面性质中的公式就可以得到这个公式，这个公式就验证了上面的性质:出现恒等表示[3]的充要条件是 $[\lambda ]\simeq [\mu ]$.

最后这个直乘分解公式的证明：根据“在 $[\lambda ]\otimes [\mu ]$ 的分解中, 出现恒等表示的充要条件是 $[\lambda ]\simeq [\mu ]$ , 出现反对称表示的充要条件是 $[\lambda ]\simeq [\tilde{\mu }]$ , 且在此条件下, 恒等表示或反对称表示只出现一次”知道，直乘分解的结果中一定有恒等表示[3]和反对称表示[1³]，

。得证。

没听懂，因为没学第三章CG系数，故以后再说

有两个自由度：自旋和味道，既不对称，也不反对称，但它们拼起来以后，需要总的是全对称的，如果没学群论就很难求，但学了群论，就能简单地写出，因为需要写一个全对称的，所以让一个自旋混合对称的和一个味道混合对称的直积，就能得到，原因是看其CG系数就知道了。

我以后再学第三章CG系数，故这里不懂。以后再说

2.置换群不可约表示的外积

1）

• 在$n+m$ 个客体的置换群 $S_{n+m}$ 中，前 $n$ 个客体的置换群记为 $S_n$, 后 $m$ 个客体的置换群记为 $S_m$.
• $S_n$ 和 $S_m$都是$S_{n+m}$的子群，两子群 $S_n$ 和 $S_m$ 只有恒元这一个公共元素 ; 分属这两子群的元素涉及不同的客体, 可互相对易.
• 故根据直乘群的定义知道，两子群 $S_n\otimes S_m$ 的直乘是构成直乘群，这个直乘群是群 $S_{n+m}$ 的子群，子群指数 $N$ 为
  
• 子群的某个左陪集记为 $T_a(S_n\otimes S_m)$ , 其中置换 $T_a$一定不是直乘群中的元素，$T_a\in S_{n+m}$ 把前 $n$ 个客体 移到 $n+m$ 个位置中的 $n$ 个新位置（含义就是$T_a$不是直乘群中的元素）.
• 置换群 $S_{n+m}$ 的群代数记为 $\mathcal{L}$ , 维数为 $(n+m)!$ , 子群的群代数记 为 ${\mathcal{L}}^{nm}$ , 维数为 $n!m!$ , 子群的左陪集对应的子空间为 $T_a{\mathcal{L}}^{nm}$（陪集对应的不可能是子代数，因为它如果是子代数就满足两个相乘满足封闭性，可以证明它不满足封闭性，故陪集对应的只是子空间。子代数的概念在幂等元一节，我还没学） , 于是
  群代数可以分解为：一个子代数直和一个子空间，直和一个子空间...
  （1）

2）

• 设杨图$[\lambda ]$， $[\mu ]$ 和 $[\omega ]$ 分别是 $n$ 格$,m$ 格和 $n+m$ 格的，它们分别标 记 $S_n$ 群， $S_m$ 群和 $S_{n+m}$ 群的不可约表示.
• 群 $S_{n+m}$ 的群代数 $\mathcal{L}$ 中的原始幂等元记为 $e^{[\omega ]}$ , 它生成的最小左理想是 ${\mathcal{L}}^{\mid \omega ]}=\mathcal{L}{e}^{[\omega ]}$ , 对应的不可约表示 $D^{[\omega ]}\left(S_{n+m}\right)\equiv [\omega ]$ （0），维数为 $d_{[\omega ]}$
  特别注意群代数$\mathcal{L}$荷载的是$S_{n+m}$群的可约表示，而${\mathcal{L}}^{\mid \omega ]}$才是荷载的$S_{n+m}$群的不可约表示.

  最小左理想=群代数乘以原始幂等元

• 直乘群 $S_n\otimes S_m$ 的群代数 ${\mathcal{L}}^{nm}$ 中的原始幂等元记为 $e^{[\lambda ][\mu ]}$ , 它生成的关于${\mathcal{L}}^{nm}$ 的最小左理想是 ${\mathcal{L}}^{[\lambda ]\mid \mu ]}={\mathcal{L}}^{nm}{e}^{[\lambda ]\mid \mu ]}$ , 对应直乘群 $S_n\otimes S_m$ 的不可约表示为 $D^{[\lambda ]}\left(S_n\right)\otimes D^{[\mu ]}\left(S_m\right)\equiv D^{[\lambda ]\otimes [\mu ]}(S_n\otimes S_m)$ （3）, 维数是 $d_{[\lambda ]}{d}_{[\mu ]}$
  

  $D^{[\lambda ]}\left(S_n\right)\otimes D^{[\mu ]}\left(S_m\right)\equiv D^{[\lambda ]\otimes [\mu ]}(S_n\otimes S_m)$是因为第三章讲过，“3) 定理三：若有限群 $G$ 等于两子群的直乘$,G=H_1\otimes H_2$, 则群 $G$ 的不等价不可约表示都可表示为两子群 $H_1$ 和 $H_2$ 不等价不可约表示的直乘.”.

• 对于 $S_{n+m}$ 群的群代数 $\mathcal{L},e^{[\lambda ][\mu ]}$ 是幂等元，但一般不是原始幂等元 , ${\mathcal{L}}^{[\lambda ][\mu ]}$ 是群代数$\mathcal{L}$的子代数，但不是群代数$\mathcal{L}$的左理想
  

  因为幂等元的意思是其平方等于它自己，故$e^{[\lambda ][\mu ]}$对$\mathcal{L}$来说也是幂等元.它对子群（直乘群）来说是原始幂等元，就意味着向子群的群代数投影会得到一个最小左理想，而对$S_{n+m}$ 群来说，向其群代数投影，一般来说不是最小左理想
  "${\mathcal{L}}^{[\lambda ][\mu ]}$ 是群代数$\mathcal{L}$的子代数，但不是群代数$\mathcal{L}$的左理想"的证明：
  因为
  ，将作用于子群表示空间的基，就将表示空间扩大了，扩大成维度的了，其中n是子群的指数。这样得到的是诱导表示，这个诱导表示是可约表示，应向不可约表示约化。
  根据第三章诱导表示中：
  
  知道，子群的不可约表示的个基不能荷载大群的表示，扩充了以后才能荷载大群的表示，这个基构成的群代数${\mathcal{L}}^{[\lambda ][\mu ]}$不一定是群代数$\mathcal{L}$对左乘$S_{n+m}$ 群的群元素这个运算来说的不变子代数（可以举一些例子来说明，没时间），即${\mathcal{L}}^{[\lambda ][\mu ]}$不是左理想，因为要将这个基扩充，才能荷载$S_{n+m}$群的表示，才能说是对左乘$S_{n+m}$ 群的群元素这个运算来说的是不变的，在不扩充的情况下，对这个运算来说是变的，故这个基构成的群代数${\mathcal{L}}^{[\lambda ][\mu ]}$不一定是群代数$\mathcal{L}$对左乘$S_{n+m}$ 群的群元素这个运算来说的不变子代数。得证，${\mathcal{L}}^{[\lambda ][\mu ]}$ 是群代数$\mathcal{L}$的子代数，但不是群代数$\mathcal{L}$的左理想。
  复习：
  

• 用 $\mathcal{L}$ 左乘幂等元 $e^{[\lambda ][\mu ]}$ , 就把子代数 ${\mathcal{L}}^{\mid \lambda ]\mid \mu ]}$ 扩充成了 $\mathcal{L}$ 的左理想。
  解释：之前已经证明了：${\mathcal{L}}^{[\lambda ][\mu ]}$ 是群代数$\mathcal{L}$的子代数，但不是群代数$\mathcal{L}$的左理想。故需要扩充，扩充的方法就是：利用（1）式，有：
  （2）
  可以证明${\mathcal{L}}_{\lambda \mu }$是$\mathcal{L}$的左理想，即它对左乘$S_{n+m}$群的所有群元素是不变的（见马书第二版209页对左理想的定义就是这么说的，但为什么这样定义左理想和不变子代数？不知道，我还没学幂等元这一节，以后再听课），故会有一个式子：${\mathit{P}}_R{\psi }_{\mu }(\mathit{x})=\sum _v{\psi }_v(\mathit{x}){\mathit{D}}_{v\mu }(\mathit{R})$，故会有一个关于 群 $S_{n+m}$ 的诱导表示（即此左理想荷载这个诱导表示），记为 $D^{[\lambda ]\odot [\mu ]}\left(S_{n+m}\right)\equiv [\lambda ]\odot [\mu ]$.（4）

（2）式的求和中的每一项 $T_a{\mathcal{L}}^{[\lambda ][\mu ]}$ 都是 $d_{[\lambda ]}{d}_{[\mu ]}$ 维的，且不同项不包含公共矢量, 故诱导表示的维数为：（背：子群的维数（这里就是直乘群的维数）乘以子群的指数就是诱导表示的维数）

可以直和，故就说明“不同项不包含公共矢量”

3）外积

子群 $S_n\otimes S_m$ 的不可约表示 $D^{[\lambda ]\otimes [\mu ]}(S_n\otimes S_m)$ （见前面的（3）式）, 关于群 $S_{n+m}$ 的诱导表示$[\lambda ]\odot [\mu ]$ （见前面的（4）式）, 称为两表示的外积。

区分：非常重要，内积和外积的本质：

内积：内积是：同一个群有好几个不等价不可约表示，两个不等价不可约表示的直乘就是内积。
外积：$S_n$有一个不可约表示，$S_m$有一个不可约表示，将这两个不可约表示直乘起来，根据第三章新表示的构成一节中的定理知道，会得到$S_n\otimes S_m$这个直乘群的不可约表示，这个不可约表示是$S_{n+m}$ 的子群的不可约表示，要将其表示空间扩充，得到 $S_{n+m}$的诱导表示，这个诱导表示就称为$S_n$的一个不可约表示与$S_m$的一个不可约表示的外积。

这里所说的诱导表示和第三章的诱导表示的区别：第三章说的是子群有一个不可约表示，然后得到一个大群的表示，就是诱导表示，而这里还说这个子群是另外两个子群直乘得到的。

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左理想 ${\mathcal{L}}_{\lambda \mu }$ 一般不是 $\mathcal{L}$ 的最小左理想，对应的诱导表示 $[\lambda ]\odot [\mu ]$ 一般 是群 $S_{n+m}$ 的可约表示, 可以按群 $S_{n+m}$ 的不可约表示$[\omega ]$分解：

表示的重数可由特征标公式计算：

维数关系：

4）内积和外积的物理应用(重要）

内积的应用：
这个多粒子系统，我们所关心的粒子的数目不变，但是不同自由度之间需要用到内积。和CG系数有关
（老师没具体说，以后自己学）
外积应用举例：两孤立原子，分别含 $n$ 和 $m$ 个电子，在每个原子内部,电子可交换, 故两原子中的电子的状态波函数分别按 $S_n$ 和 $S_m$ 群的不可约表示分类, 当两原子靠近形成分子时, 所有 $n+m$ 个电子都可交换，分子中电子的状态波函数按 $S_{n+m}$ 群的不可约表示分类。这种情况时就要用到外积。
前面n个电子具有 $S_n$的某个不可约表示标记的对称性，后面m个电子具有$S_m$的某个不可约表示标记的对称性，则形成分子后的对称性就是两个不可约表示的外积进行约化，然后就能得到形成分子后的对称性。
老师没有具体说这个例子，以后自己学。

波函数按不可约表示分类，这个重要的物理应用见第三章，我没学，以后再说。

下面这个例子没用，因为后面有更好的图形法。这个例子见群论22的1小时38分钟。

5）对置换群两不可约表示的外积$[\lambda ]\odot [\mu ]$ 进行约化的图形方法：Littlewood-Richardson 规则

对$S_{n+m}$的可约表示$[\lambda ]\odot [\mu ]$ , 任取$[\lambda ]$和$[\mu ]$两个杨图中的一个杨图，通常取格数较多的杨图，如 $[\lambda ]$, 将其作为基础(特别注意，在写题时应该先选哪个杨图为基础，易错），将另一个杨图 $[\mu ]$ 的各行格子分别填以行数，即第 $j$ 行的格子都填以数 $j$

比如第一行的格子都填1，第二行的格子都填2...

自第一行开始，自上而下逐行把杨图 [ $\mu$ ] 的格子补到杨图$[\lambda ]$上（即：将已经填了数的杨图的格子补到格数较多的杨图上），每补完一行格子，都要求满足如下条件:
(1) 每行补完后的杨图是正则杨图
(2) 填相同数的格子不能补在同一列（作业题中必须记得规则2！易错）.
比如杨图 [ $\mu$ ]的第一行的格子都是1，但是不能将两个填1的格子都补在$[\lambda ]$的同一列。
(3) 自第一行开始，逐行地自右向左读杨图中补上的格子，在读的过程中的每一步，始终保持填数大的格子数目不大于填数小的格子数目。
比如在$[\lambda ]$中补填1个格子时，填完后，也许在第一行右边补了一个填1的格子，再补填2的格子时，填2的格子就不能放在第一行填1的格子的右边了，因为若放在第一行的右边，从右开始读，读到第一个2时会出现一个2，但是还没有出现1，1在下一步读的时候才会出现。

这样补得的全部可能的杨图 $[\omega ]$，就是在表示外积 $[\lambda ]\odot [\mu ]$ 的约化中可能出现的群 $S_{n+m}$ 的不可约表示，同一杨图$[\omega ]$出现的次数，就是该表示在约化中出现的重数 $a_{\lambda \mu }^{\omega }$

例题

维数验证的方法：
根据钩形数规则和前面讲的：诱导表示的维数为：（背：子群的维数（这里就是直乘群的维数）乘以子群的指数就是诱导表示的维数）

就可以进行维数验证。



有3个夸克，对应的是[2,1]的表示，另外3个夸克，对应的是[2,1]的表示。放到一起后，对称性是什么？此时就是外积的约化要解决的问题。（为什么，老师没说）
按照Littlewood-Richardson 规则，第一步：补填1的格子：

注意规则（1）正则杨图，规则（2）填相同数的格子不能补在同一列。
第二步：补填2的格子：
，，，，，，，，，
注意规则（3）：在读的过程中的每一步，始终保持填数大的格子数目不大于填数小的格子数目。
总：

3.置换群 $S_{n+m}$ 的分导表示

复习分导表示：

置换群 $S_{n+m}$ 的不可约表示 $[\omega ]$ , 关于子群 $S_n\otimes S_m$ 的分导表示, 分导表示是可约的，按子群$S_n\otimes S_m$的不可约表示 $[\lambda ]\otimes [\mu ]$ 约化：

特征标方法求重数：

“置换群 $S_{n+m}$ 的不可约表示 $[\omega ]$”见前面2）中的公式（0）：

见前面：

是前面5）中外积（即诱导表示）约化得到的重数。
故，逆向运用 Littlewood-Richardson规则 ， 可求出分导表示的约化：

例

例 $:S_6$ 群的不可约表示 $[3,2,1]$ , 作为子群 $S_3\otimes S_3$ 的分导表示，按子群不可约表示的约化
看$S_{n+m}$这个不可约表示有可能是谁跟谁粘格子粘出来的，如果通过粘格子的方法可以得到这个东西，则反过来，它的分解中也会得到这个。通过粘的方式，这个不可约表示出现几次，则分解中也会出现几次，这是Frobenius 定理告诉我们的。
根据Frobenius 定理知道，应考虑有哪些不可约表示的外积（即诱导表示）约化会出现[3,2,1]及出现的重数：
这就要逆向运用 Littlewood-Richardson规则 ：

从上图可以知道外积是什么，再根据“看$S_{n+m}$这个不可约表示有可能是谁跟谁粘格子粘出来的，如果通过粘格子的方法可以得到这个东西，则反过来，它的分解中也会得到这个。”（原因是什么？不知道，可能数学家证明了）
特别注意，因为是$S_3\otimes S_3$子群，故逆向运用Littlewood-Richardson规则时，必须是3个格子作为基础，另外3个格子作为粘的.(这句话是我自己写的，是根据这个题得到的结论，不知道是否是普遍结论，以后有时间查马书。这个结论的原因我不知道，可能数学家证明了吧）
故可以得到分导表示的约化：

特别注意其中有直乘和直和，分清楚！

其中
对应的是，对应的是，对应的是，......
另：还可以根据此题验证Frobenius 定理，省略。

对这些运用Littlewood-Richardson规则的题目：

1.特别注意：每写出一个可能的粘格子的情况时，就验证一下Littlewood-Richardson规则中的3个规则是否成立！

2.写完题目后必须检查，特别注意规则2应成立！

3.检查时注意验证维数，通过维数来判断是否找到了所有可能的粘格子的情况！

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