群论第三章（3）总结

1.1节 群的线性表示
1.标量函数变换算符
1）标量函数
2）标量函数变换算符$P_R$、坐标变换R
3） 对称变换群：
4）线性算符L(x)在标量函数进行变换时的的变换规律：
2.线性表示在量子理论中的意义
3.群的线性表示的定义
1）定义：矩阵群D(G) 与已知 群 G 同构或同态 （背）（特别记住同态时一对多，群G中的元素更多）， 则 矩阵群D(G) 称为 群 G 的一 个 m 维线性表示 ， 简称表示。
2）线性表示的物理意义：
4）特征标
5）性质
1.2节 等价表示、表示的幺正性和可约表示
1.等价表示
1）表示空间：
4）两表示等价的充要条件：每个元素在两表示中的特征标对应相等（背）
2.表示的幺正性
3.可约表示
1）定义：若群G的表示D(G)的每一个表示矩阵D(R)都能通过同一相似变换X化成同一形式的阶梯矩阵（左下角为零或右上角为零或左下角右上角都为零）
2）表示可约性的等价定义：表示空间存在非平庸不变子空间的表示称为可约表示，否则称为不可约表示
3）完全可约表示
5)寻找群的所有表示—>寻找所有不等价表示—>寻找所有不等价不可约表示
6)有限群的表示D(G)或者是不可约的，或者可以约化为一系列不可约表示$D^{(j)}(G)$的直和：
1.3节 群代数和有限群的正则表示
1.群函数
2.群空间：群元素为基（自然基），其所有复线性组合构成的线性空间（背）
3.群代数：在群空间中定义矢量乘法，...，这样的群空间称为群代数
4.正则表示
1）群 G 的 正则表示
3）由群的乘法表求正则表示（左正则表示）的方法：
1.4节 有限群的表示理论
3）舒尔定理推论
3）正交定理（背）：设有限群的两个不等价不可约幺正表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ ，群空间中以群元素为基的一个矢量$X=\sum _{R}F(R)R$的坐标可以取为不可约表示 $D^i(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F(G)的g个函数值，即$X=\sum _R{D}_{\mu \rho }^i(R)R$；另一个矢量$Y$的坐标类似地可以取为不可约表示 $D^j(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F‘(G)的g个函数值，即$Y=\sum _S{D}_{\nu \lambda }^j(S)S$；这两个矢量满足正交关系：
5）正交定理的推论（所有这些推论都不需要加幺正两个字。真的只需要背推论二和推论五）
6）将可约表示向不可约表示约化（背，特别是背这3个公式）：
7）找到一个群的所有不等价不可约表示的方法：
例题1：D3群
3.完备性定理（完备性定理及其推论3很重要，背：有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数；有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数）
1）完备性定理：有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数：$\sum _j{m}_j^2=g$
推论一：有限群不等价不可约幺正表示的矩阵元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作为群空间的矢量（一个$i\mu \nu$对应一个矢量），构成群空间的正交完备基
推论二：有限群不等价不可约表示的特征标 ${\chi }^j(G)$ ，作为类空间的矢量（一个j对应一个矢量），构成类空间的正交完备基
1.5节 新表示的构成
1）定理一：商群的不可约表示也是原群的不可约表示
2）定理二：有限群 $G$ 的两不可约表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ 的直乘 $D(G)=D^i(G)\otimes D^j(G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^i(G)$ 是一维表示，则 $D(G)$ 是群 $G$ 的不可约表示
2）定理二：有限群 $G$ 的两不可约表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ 的直乘 $D(G)=D^i(G)\otimes D^j(G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^i(G)$ 是一维表示，则 $D(G)$ 是群 $G$ 的不可约表示
3）定理三：若有限群 $G$ 等于两子群的直乘$,G=H_1\otimes H_2$ , 则群 $G$ 的不等价不可约表示都可表示为两子群 $H_1$ 和 $H_2$ 不等价不可约表示的直乘
2.分导表示和诱导表示
1）分导表示：知道了原群的不可约表示怎么知道子群的不可约表示
1.2节 有限群不可约表示的特征标表（老师说这一节“特征标表”一定会考，故这几个例子一定要自己看看，但考试比我们讲得更简单，考试只是在特征标表中去掉几个空，不用分析其不变子群，只需要根据每一行正交归一，每一列正交归一即可填空。作业题中没有这样的题，作业题中特征标那题不是填空，而且复杂，应该不考）
正交定理：
正交定理推论：
完备性定理：
特征标表

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1.1节 群的线性表示

1.标量函数变换算符

1）标量函数

2）标量函数变换算符$P_R$、坐标变换R

（背）

3） 对称变换群：

对称变换群：一般地，线性算符群$P_G$ 与群G并不严格区分，都称为对称变换群。

4）线性算符L(x)在标量函数进行变换时的的变换规律：

2.线性表示在量子理论中的意义

对称变换：在与变换R对应的算符$p_R$的作用下，哈密顿算符不变。设$p_R$为对称变换算符



故 也是哈密顿算符同一能级的本征函数，可以用这个m个线性无关的本征函数展开：

矩阵形式：

是基矢量！

矩阵群D(G)称为群G的一个m维线性表示，它描写了哈密顿量本征函数在对称变换中的变换规律

3.群的线性表示的定义

1）定义：矩阵群D(G) 与已知 群 G 同构或同态 （背）（特别记住同态时一对多，群G中的元素更多）， 则 矩阵群D(G) 称为 群 G 的一 个 m 维线性表示 ， 简称表示。

2）线性表示的物理意义：

（1）量子理论中，线性表示（即矩阵群D(G)）描写不变函数空间中函数的变换规律。（背）
（2）线性表示描写二维或三维空间点的坐标变换规律。（背）

4）特征标

共轭元素的特征标相同，即同类元素的特征标相同。（背）

5）性质

• 恒元的表示矩阵为单位矩阵：
• 互逆元素的表示矩阵互为逆矩阵：
• 真实表示 ：D(G) 与 G同构
• 非真实表示：D(G) 与 G同态
• 只要知道生成元的表示矩阵就可以求出矩阵群（背）
• 幺正表示：表示矩阵是幺正矩阵的表示
• 复共轭表示：将一表示的所有表示矩阵都取其复共轭矩阵
• 自共轭表示：特征标都是实数的表示
  自共轭表示D(G)的另一个定义：一个表示D(G)的表示矩阵都取复共轭后得到的复共轭表示与原来的表示D(G)等价，则称表示D(G)为自共轭表示。
  
  
  以函数为基，求矩阵群：（背）
  
  5*只要知道生成元的表示矩阵就可以求出矩阵群，故可以得到矩阵群。
  特别记住2中应先求R的矩阵表示的逆（考试不要忘）

1.2节 等价表示、表示的幺正性和可约表示

1.等价表示

1）表示空间：

• 表示空间在量子理论中就是简并的波函数基矢量${\psi }_{\mu }(x)$构成的不变函数空间。在三维空间的坐标变换中，算符就是R，基是$e_x、e_y、e_z$，则表示空间就是三维空间。（背，重要，从而知道表示空间是什么）
• 表示空间基的选取并不唯一，当重新选取基后，新基取为原来的基的线性组合时，$P_R$的矩阵形式作相似变换，从而得到一个新的表示（背）
  原来的基${\psi }_v$，新基${\phi }_{\mu }$
  
  新的表示矩阵和原表示矩阵通过相似变换矩阵X联系起来：
  等价表示：若（群G所有元素R）（在两个表示$D(G)$和$\overline{D}(G)$中的表示矩阵）存在同一相似变换关系（背）

4）两表示等价的充要条件：每个元素在两表示中的特征标对应相等（背）

检验两表示是否等价时，只需在每个类中选一个元素，检验它在两表示中的特征标是否相等（背）

2.表示的幺正性

定理：有限群的线性表示会等价于幺正表示；两个等价的幺正表示一定可以通过幺正的相似变换相联系。

• 对有限群，只需要研究幺正表示和幺正的相似变换

3.可约表示

1）定义：若群G的表示D(G)的每一个表示矩阵D(R)都能通过同一相似变换X化成同一形式的阶梯矩阵（左下角为零或右上角为零或左下角右上角都为零）

则此表示D(G)称为可约表示，否则称为不可约表示。

• 若设$\overline{D}(R)=X^{-1}D(R)X$，则由前面等价表示的定义知，$\overline{D}(G)$与$D(G)$是等价表示。
• 可约表示的表示空间 存 在 着 非平庸的不变子空间， 反之亦 然（背）

2）表示可约性的等价定义：表示空间存在非平庸不变子空间的表示称为可约表示，否则称为不可约表示

3）完全可约表示

如果D(G)的表示空间存在两个互补的不变子空间

该表示D(G)称为完全可约表示，表示的这种形式$\overline{D}(G)$称为已约表示。

• 完全可约表示的表示空间可写为两个互补的不变子空间的直和

5)寻找群的所有表示—>寻找所有不等价表示—>寻找所有不等价不可约表示

对于有限群来说，只需要研究不等价不可约幺正表示

6)有限群的表示D(G)或者是不可约的，或者可以约化为一系列不可约表示$D^{(j)}(G)$的直和：

1.3节 群代数和有限群的正则表示

1.群函数

记作F(G)（注意G是群）
群函数：输入一个群元素R，输出一个东西，输入另一个群元素S，又输出一个东西。（背）

2.群空间：群元素为基（自然基），其所有复线性组合构成的线性空间（背）

群空间的一个矢量，如$X=\sum _{R\in G}F(R)R$

• 一个矢量的坐标对应一个群函数F(G）的g个函数值。（背）
  • 群空间只有g个线性无关的矢量（背）。

3.群代数：在群空间中定义矢量乘法，...，这样的群空间称为群代数

4.正则表示

1）群 G 的 正则表示

• 把作为算符的S左乘到作为矢量基的R上 ，将得到的矢量用矢量基展开，展开系数排列成矩阵，构成算符S在矢量基R中的矩阵形式D(S)
  
• 群 G 的 正则表示：矩 阵 D(S) 的集合构成的矩阵群D(G) （背）
  D(G) 是与群 G 同构的群

3）由群的乘法表求正则表示（左正则表示）的方法：

根据乘法表和


就可以求出正则表示的表示矩阵；先求出生成元的表示矩阵，根据矩阵乘法就能求出正则表示的所有表示矩阵。（背，重要

1.4节 有限群的表示理论

3）舒尔定理推论

推论一：与不可约表示 $D(G)$ 的所有表示矩阵 $D(R)$ 都对易的矩阵必为常数 矩阵，即若 $D(R)X=XD(R),$ 则 $X=\lambda I,\lambda$ 为常数

3）正交定理（背）：设有限群的两个不等价不可约幺正表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ ，群空间中以群元素为基的一个矢量$X=\sum _{R}F(R)R$的坐标可以取为不可约表示 $D^i(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F(G)的g个函数值，即$X=\sum _R{D}_{\mu \rho }^i(R)R$；另一个矢量$Y$的坐标类似地可以取为不可约表示 $D^j(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F‘(G)的g个函数值，即$Y=\sum _S{D}_{\nu \lambda }^j(S)S$；这两个矢量满足正交关系：

$$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\sum _{\mathit{R}}{\mathit{D}}_{\mu \rho }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{D}}_{\nu \lambda }^j(\mathit{R})=\frac{g}{m_j}{\delta }_{ij}{\delta }_{\mu v}{\delta }_{\rho \lambda }$$

其中 $g$ 是群 $G$ 的阶, $m_j$ 是表示 $D^j$ 的维数, 当 $i=j$ 时, $D^i(R)=D^j(R)$。
(1)可以去掉幺正性条件的限制：设有限群 $G$ 两个不同的不等价不可约表示，其各自某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量互相正交。（背，与例题有关）
(2) 有限群 $G$同一不可约幺正表示，其 $m^2$ 个某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量也互相正交，且它们的模方都等于群G的阶数除以表示矩阵的维数，即$g/m$，m是这个矢量所对应的不可约幺正表示的维数.（背，与例题有关）
注意这里不能去掉幺正性的限制。

5）正交定理的推论（所有这些推论都不需要加幺正两个字。真的只需要背推论二和推论五）

• 推论二：有限群两个不同的不等价不可约表示的特征标，作为群空间的矢量互相正交，满足：$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\sum _{R\in G}{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$（背）
• 推论五：判断有限群表示为可约表示还是不可约表示的方法：有限群表示为不可约表示的充要条件是：特征标模方对群元素求和等于g： $\sum _{R\in G}|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）
• 所有一维表示都是不可约的（背）

6）将可约表示向不可约表示约化（背，特别是背这3个公式）：

（1）根据
求出重数$a_j$，对任何一个可约表示，相当于是知道了约化之后右边的矩阵。
（2）根据
求出相似变换矩阵X（因为和已知）
（3）根据

求出荷载不可约表示的基。
因为是，而荷载是基，故有几个是和有关的，称这几个荷载$D^j(G)$。

7）找到一个群的所有不等价不可约表示的方法：

根据完备性定理一节得到的两条：
（1）有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数：$\sum _j{m}_j^2=g$.
（2）有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数：$\sum _{j}1=g_c$.
可以求出低阶群的不等价不可约表示。（背）

例题1：D3群

• 先求出表示矩阵，再写出特征标表，
  
  
• 判断是否可约：有限群表示为不可约表示的充要条件是 ：特征标模方对群元素求和等于g： $\sum _{R\in G}|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）
  
  不等于6，故是可约表示。
  也可以通过前面例题知，因为不等价不可约表示的个数等于类的个数，D3群有3个类，故它只有3个不可约表示，就是前面例题中的3个。故这个三维表示是可约表示。
• 可约表示向不可约表示约化：
  （1）根据
  求出重数$a_j$，对任何一个可约表示，相当于是知道了约化之后右边的矩阵。
  根据（注意是对群元素求和，而同类元素特征标相同）和特征标表可以计算出：
  对一维恒等表示，重数：
  对一维非恒等表示：
  对二维表示：

（2）根据
求出相似变换矩阵X（因为和已知）
可以写出：

注意等式右边先写谁后写谁没有关系，也可以写成，没关系。只是因为这里D的表示矩阵
，故二维表示写在左上角，一维表示写在右下角时计算更简单。
根据前面例题已经求出的一维非恒等表示和二维表示，知：
对元素D：
对元素A：
根据以上两个公式可以解得

（3）根据

求出荷载不可约表示的基。
因为是，而荷载是基，故有几个是和有关的，称这几个荷载$D^j(G)$。

根据表示的计算过程：（这里R就相当于$P_R$)知，荷载之前的可约表示的基${\psi }_{\mu }$为$e_x、e_y、e_z$，根据求出，从而知道荷载二维表示的是${\varphi }_1$、${\varphi }_2$，荷载一维非恒等表示的是${\varphi }_3=e_z$。

3.完备性定理（完备性定理及其推论3很重要，背：有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数；有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数）

1）完备性定理：有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数：$\sum _j{m}_j^2=g$

推论一：有限群不等价不可约幺正表示的矩阵元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作为群空间的矢量（一个$i\mu \nu$对应一个矢量），构成群空间的正交完备基

完备性定理的数学描述
（背）
正交定理
（背）

推论二：有限群不等价不可约表示的特征标 ${\chi }^j(G)$ ，作为类空间的矢量（一个j对应一个矢量），构成类空间的正交完备基

类空间正交完备基 ${\chi }^j(G)$ 完备性的数学描述
（背）
正交定理推论二
（背）

1.5节 新表示的构成

1）定理一：商群的不可约表示也是原群的不可约表示

2）定理二：有限群 $G$ 的两不可约表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ 的直乘 $D(G)=D^i(G)\otimes D^j(G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^i(G)$ 是一维表示，则 $D(G)$ 是群 $G$ 的不可约表示

2）定理二：有限群 $G$ 的两不可约表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ 的直乘 $D(G)=D^i(G)\otimes D^j(G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^i(G)$ 是一维表示，则 $D(G)$ 是群 $G$ 的不可约表示

3）定理三：若有限群 $G$ 等于两子群的直乘$,G=H_1\otimes H_2$ , 则群 $G$ 的不等价不可约表示都可表示为两子群 $H_1$ 和 $H_2$ 不等价不可约表示的直乘

C6群是（一个C2，一个C3）的直乘，比如V4群是（两个C2）的直乘

定理二说的是，同一个群有两个表示，将这两个表示直乘起来，即对于群的每一个元素，将其对应的表示矩阵直乘。若参与直乘的表示有一个是一维的，则$D(G)$ 是群 $G$ 的不可约表示。
定理三说的是，一个群是两个子群的直乘群，则它的不等价不可约表示都可表示为两子群不等价不可约表示的直乘。

2.分导表示和诱导表示

1）分导表示：知道了原群的不可约表示怎么知道子群的不可约表示

把群 $G$ 的不可约表示 $D^{\mathrm{\prime }}(G)$ 中与子群 $H$ 元素有关的表示矩阵挑出来, 构成子群 $H$ 的一个表示，这个表示称为群 $G$ 的不可约表示 $D^j(G)$ 关于子群$H$ 的分导表示，记为 $D^i(H)$。
分导表示一般是可约的，可按子群 $H$ 的不可约表示 ${\overline{D}}^k(H)$ 约化：

1.2节 有限群不可约表示的特征标表（老师说这一节“特征标表”一定会考，故这几个例子一定要自己看看，但考试比我们讲得更简单，考试只是在特征标表中去掉几个空，不用分析其不变子群，只需要根据每一行正交归一，每一列正交归一即可填空。作业题中没有这样的题，作业题中特征标那题不是填空，而且复杂，应该不考）

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正交定理：

正交定理推论：

完备性定理：

老师说所见到群的表示都可以这样求出。

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特征标表

行的正交关系 $:\sum _{\alpha =1}^{g_c}\frac{n(\alpha )}{g}{\chi }_{\alpha }^{i\ast }{\chi }_{\alpha }^j={\delta }_{ij}$
（正交性，注意其中有复共轭）
列的正交关系 $:\sum _j\frac{n(\alpha )}{g}{\chi }_{\alpha }^{j^{\ast }}{\chi }_{\beta }^j={\delta }_{\alpha \beta }$
（完备性，注意其中有复共轭）

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