量子化KG场论

第章

第章
1.1节
1.KG场的正则量子化
2.KG场论的能谱（能量本征态）
1）真空、扔掉零点能
2）哈密顿量与产生消灭算符的对易关系、多粒子态
3）多粒子态、玻色爱因斯坦统计、计算体系总动量算符：
4）单粒子态归一化问题、单粒子态表达式
5）场算符的物理意义
3.海森堡绘景的KG场
1）海森堡绘景中的场算符、场算符的运动方程、共轭动量算符的运动方程、在量子力学水平，场算符依然满足KG方程
2）海森堡绘景中KG场中的产生湮灭算符的表达式、海森堡绘景中KG场中的场算符、海森堡绘景中KG场中的共轭动量算符
3）负能解问题的解决
4）时空平移
5）因果性 其实费曼传播子写得最好的是学生友好量子场论，从73页开始！
a.若x-y是类时间隔，
b.若x-y是类空间隔，
4.反粒子
因果性要求（背）：1）必须存在反粒子 2）反粒子质量和正粒子质量相等。
5.KG传播子：推迟传播子与费曼传播子
推迟传播子/推迟格林函数
复习经典场论中的格林函数：
此运动方程的证明：
费曼传播子（以后计算费曼图都是这个）
定义费曼传播子：
傅里叶变换得到动量空间的费曼传播子：
可以验证费曼传播子满足：
费曼传播子的一个精确的算符定义（从两点关联函数定义）：
费曼传播子的应用
总结：

TOC

1.1节

1.KG场的正则量子化

哈密顿量密度其实是能量动量张量的0阶分量。
非相对论量子力学中
，量子化，将泊松括号变为对易，，。
类比非相对论量子力学，猜测KG场论的量子化，称为等时量子化方案（或正则量子化方案）：
在t=0时刻，
（狄拉克delta函数）

将场和共轭动量提升为算符的话就满足上面这样的两条。
对KG方程中的场进行傅里叶变换（在量子化一维弦的时也用了这种方法）：

得：

其中，类似狭义相对论中能量与动量、质量的关系，故Wp与能量有关。
此方程类似谐振子方程，其解为
。
回顾量子力学中的谐振子：

作为对比，考虑KG场：

将场和共轭动量提升为算符，对场进行傅里叶变换，并类比前面谐振子中的升降算符，且（为了保证场是厄米算符，故必须有上升算符和下降算符两项），得：场和共轭动量


可以验证它们都是厄米算符。
为使得它们满足等时量子化条件：，升降算符必须满足以下充要条件：

证明：注意在$\varphi$中，p是一个积分变量，所以可以在$\varphi$中第二项令p'=-p，故得：

为了在后面计算中不混淆p，所以在共轭动量中用p'（这没什么影响）:

由于，故在计算时，只有交叉的升降算符算对易时不为0，故

由得：


最后一行利用了delta函数的傅里叶展开。
最后结果正好是前面猜测的等时量子化条件中的前一条。另一条是作业。得证。

下面求哈密顿量：
由


得：


改变积分次序，先积，
=，再由这个关于p的delta函数可以化简，经过复杂计算，得：哈密顿量H
注意上面公式的p都是p，不是p'。
由于=$(2\pi {)}^3\delta \left(0\right)$，故项是高度发散的一项，这一项称为零点能。

可以把零点能去掉，校准基态能量为0，然后就可以算激发态和基态的能极差。

上面哈密顿量公式类似量子力学谐振子。但由于这里是积分，故这里的哈密顿量是无穷多个谐振子，每个频率不同，为。由于现在研究的是自由KG场论，其简单性在于所有谐振子都是独立的，没有耦合。这印证了之前讲的一个概念：量子场论可以认为是无穷多个谐振子的联合。

2.KG场论的能谱（能量本征态）

1）真空、扔掉零点能

之前已经求出来哈密顿量H=

场论中，真空：指的是一个体系的基态（能量最低的态）。
类比量子力学谐振子，定义：基态必须满足：对任意p，
计算：代入前面H的表达式，由于，故H中第一项作用于基态等于0，故得：

为了计算能级差，现在校准基态，使得，即令零点能为0，这种“校准”称为正则排序，其物理意义以后再讲，在平直时空，可以把零点能扔掉，但不影响物理后果。这相当于在山顶测身高，校准到海平面测身高。

2）哈密顿量与产生消灭算符的对易关系、多粒子态

在量子力学谐振子中
，其为能量本征态（粒子数表象、能量表象）
KG场论中，，由、得：哈密顿量与产生消灭算符的对易关系：

其中。

构造单粒子态：

代入、，得：

以前讲过，粒子是场激发的量子。故此态可以诠释为一个粒子，其动量为p，能量为Wp=$\sqrt{p^2+m^2}$。

构造双粒子态；

代入前面得到的，得：


哈密顿量作用于这个态得到两个能量之和，故称为双粒子态。

其余多粒子态同理。

3）多粒子态、玻色爱因斯坦统计、计算体系总动量算符：

物理意义：由于是粒子数算符，故此式说明一个粒子贡献的动量为p
注意此公式左边是算符，右边中的p只是积分变量。
此式第一个等号怎么得到的？以后再说 。

可以证明


结论:
是哈密顿量和总动量算符的共同本征态，称其为n粒子态，总能量是每个粒子能量的和，总动量是每个粒子携带的三动量的矢量和。
为什么量子场论是描述无穷多个粒子的框架？因为有无穷多个产生算符作用与这个态就会产生多个粒子。

玻色爱因斯坦统计：
在量子化KG场中，有
，其后果：
考虑是刻画两个全同玻色子的态。
由于，故

由于玻色子交换两个粒子波函数对称，故
，故玻色爱因斯坦统计会存在。
由于不等于0，故可以存在玻色爱因斯坦凝聚。
费米狄拉克统计的来源以后讲。

4）单粒子态归一化问题、单粒子态表达式

单粒子态用标记，代表一个单粒子，动量为p。

真空态的归一化：，
在非相对论量子力学中，动量本征态的归一化

但这样归一化的态不是洛伦兹不变的，因为这是一个三度的delta函数，动量空间delta函数的量纲是一个体积的量纲，三度的体积不是洛伦兹不变的。

证明:

由delta函数的一些性质：
，注意最后这个分母后有一阶导数。
由这里delta函数的最后一个性质得：

即

代入、、得：

=
由于，故
=
故$E^{\prime }{\delta }^{\left(3\right)}(p{}^{\prime }-q{}^{\prime })=E{\delta }^{\left(3\right)}(p-q)$，故$E{\delta }^{\left(3\right)}(p-q)$才是洛伦兹不变的，而delta函数不是洛伦兹不变的。得证。

故之前的归一化方案不行，故规定归一化条件：

Ep=$\sqrt{p^2+m^2}$代表动量为p的单粒子态的能量，以后用Ep代替Wp。但人们习惯上规定加上2，即归一化条件：

故设单粒子态表达式：

此时（这里注意学真空矩阵元的计算：使用升降算符对易关系）


，故此单粒子态满足归一化条件。

5）场算符的物理意义

湮灭算符作用于真空态为0，故第一项不贡献。
由前面单粒子态表达式得：场算符作用于真空态的表达式：
（3）
此公式类似于在非相对论量子力学书中，
（4）。
相对论中的能量动量色散关系在非相对论极限下，保留到某阶：
。
故（3）式可以类比（4），认为，即的物理意义（重要，背）：场算符作用于真空态，可以认为它在x这个空间点产生了一个粒子。
特别注意（背）：在QFT中，和时间永远不是算符，没有态这样一个概念。(由于没有坐标算符，所以没有坐标本征态）

在量子场论中就是一个标记，一个坐标。因为场论考虑的是一个无穷大无穷维的系统，故就是一个连续系统的标记而已，刻画在哪个空间点描述这个场，永远不会将它上升为算符。而在非相对论量子力学时，x可以作为坐标算符。
对量子场论，从傅里叶展开的意义上来说，QFT中的所有算符都可以由产生湮灭算符构造。
历史上的混淆是二次量子化：将KG波函数变为算符。因为当讨论KG波函数时，出发点是KG方程。？老师没解释清楚为什么二次量子化是错误的。
写成这样是给大家一些概念，怎么理解的物理意义：场算符作用于真空态，可以认为它在x这个空间点产生了一个粒子。

其中的产生算符从左边作用于真空<0|，故第二项不贡献。还要计算第一项真空矩阵元，经过计算得：
=
将
与非相对论量子力学中动量本征态在坐标表象的波函数可以类比，很类似。故这说明前面所说的物理意义是合理的。
现在所讨论的理论都是自由场理论，自由场理论也是线性理论，一个场算符作用在真空态上得到一个对许多单粒子态的积分，场算符作用于真空态，可以认为它在x这个空间点产生了一个粒子。
如果引入相互作用，就不是上面这样，以后再讲。

3.海森堡绘景的KG场

1）海森堡绘景中的场算符、场算符的运动方程、共轭动量算符的运动方程、在量子力学水平，场算符依然满足KG方程

之前都是t=0时量子化，在薛绘景，态是含时，算符不依赖时间。
在海森堡绘景，态不含时间，算符含时间。
之前考虑的都是在t=0时的量子场，现在我们考虑在任意t的KG场，故转入海森堡绘景。
海森堡绘景的算符定义为：

t=0时，海绘景中的算符和薛绘景的算符相等。
海森堡运动方程：

故场算符在海森堡绘景中为：

这门课中大多数时候用的都是海森堡绘景，所以为简单就没有在左边的场算符上加下标H。
对场算符，由海森堡方程得：

计算对易关系，利用
得，

即场算符运动方程：
=
回忆在对KG场量子化之前讲过，对KG场。

同理计算得：共轭动量算符运动方程：

由以上两个运动方程得：

故在量子力学水平，场算符依然满足KG方程。

2）海森堡绘景中KG场中的产生湮灭算符的表达式、海森堡绘景中KG场中的场算符、海森堡绘景中KG场中的共轭动量算符

在海森堡绘景中，产生湮灭算符：

而由知，

由于在KG场的正则量子化一节中推导过，对KG场，，故
，解得：
对上式求厄米共轭得：
海森堡绘景中KG场中的产生湮灭算符的表达式：
（5）

由于括号中只有产生湮灭算符是算符，故
=

代入（5）得：


引入4动量：
，得：
；海森堡绘景中KG场中的场算符（重要）：

这个分解称为“平面波分解”，因为相因子很像平面波；
正频部分：，正频部分总是含有湮灭算符。
负频部分：，负频部分总是含有产生算符。

在非相对论量子力学NRQM中，对定态，
，此刻画一个正频率解，注意$E=\hslash \omega$。
在中，由于是大于0的，故称为正频部分。而由于，故称为负频部分。

海森堡绘景中KG场中的共轭动量算符：
=...

3）负能解问题的解决

之前KG方程的负能解问题在QFT中得到了解决：虽然负频部分含有产生算符，但对应能量是+Ep的单粒子态（前面几节已经说了），因为将场算符

作用于真空上会发现得到一个正能态，没有负能，故负能问题在QFT得到了解决。（老师原话）
在复KG场，

b\dagger：产生一个反粒子。
可以证明是产生一个反粒子。
在狄拉克场中会讲反粒子。
而在实的KG场的场算符表达式中，只有一对产生湮灭算符，故可以认为实的KG场产生的粒子是：它是它自己的反粒子。
负能解问题在QFT中得到了解决是因为在定义了真空后，任何场算符作用于真空上都会得到一个正能激发，不会得到负能激发。

但老师没解释为什么将场算符作用于真空上，也许是根据上节将的物理意义：场算符作用于真空上是在空间x处产生了一个粒子，由于是正能激发，所以是正能粒子。

4）时空平移

类似于海森堡绘景中算符的定义式
与时间演化算符有关，可以考虑在某个时间，可以通过一个空间平移算符得到，称为空间平移：

：总动量算符（三维空间的总的3动量）。
因为这里是在某个时刻，故$\varphi (x,t)$中的t不写。

故时空平移：

其中

• 波粒二象性：海绘景KG场中的场算符：
  
  其中相因子是波，故是波的属性；而产生湮灭算符体现了粒子属性。所以QFT很好地体现了波粒二象性。

5）因果性 其实费曼传播子写得最好的是学生友好量子场论，从73页开始！

定义两点关联函数：

：之前讲过场算符作用于真空的物理意义：在y时空点产生一个粒子。（我写的注：注意这里和之前不同的一点是，这里的x、y没有加矢量符号，故它们是4矢量，故这里是在“时空点”产生粒子，而不是空间点）
这个两点关联函数表示在y时空点产生一个粒子，再在x这个点湮灭掉。故两点关联函数的物理意义：一个粒子从y时空点传播到x的一种振幅。

一点关联函数（其实一点谈不上关联）定义为：
，在KG场论中它等于0，因为在KG理论中，$\varphi$有$\varphi$到$-\varphi$的对称性，故这个真空期望值为0.也可以从平面波展开的方法直接证明它等于0.

对$\varphi \left(x\right)、\varphi \left(y\right)$都作平面波分解，得:

计算中就是要算真空矩阵元

使用对易关系的方法，最后得：
KG场论中的两点关联函数：
（7）

• 这个两点关联函数是洛伦兹不变量（即洛伦兹标量）！
  

  证明：相因子中是标量积，由狭义相对论知是洛伦兹不变量；
  可以证明是洛伦兹不变量：3度积分测度与4度积分测度之间的关系：
  （6）
  其中是关于$p^0$的阶跃函数，$p^0$>0时等于1，<0时等于0
  四度动量体积元是洛伦兹不变的，
  由于括号中是标量积，故是洛伦兹不变的，阶跃函数也是洛伦兹不变的。故得证（6）是洛伦兹不变量。
  下面证明（6）式成立：
  
  由$\delta$函数的性质
  知
  
  由于阶跃函数要求大于0的$p^0$才存在，故
  
  积分后得：
  。
  故这样就证明了（6）式。

• 两点关联函数只依赖于x-y
  利用时空平移，得：
  =$⟨0|e^{i\hat{p}y}\varphi (x-y)e^{-i\hat{p}y}{e}^{i\hat{p}y}\varphi \left(0\right)e^{-i\hat{p}y}|0⟩$
  由于对真空态，总动量为0，总能量为0，即
  ，故=|0>，此式还可以取厄米共轭得另一个公式，故
  两点关联函数：
  
  故两点关联函数只依赖于x-y。

a.若x-y是类时间隔，

寻找一个参照系，使得

进行变量替换，由将p替换为E，得：

这个积分在当能量很高时快速振荡；在时间t很大时，这个积分
相位振荡因子。
由于类时间隔是有因果联系的，以前在相对论量子力学中也得到过这样的振荡因子，故这里得到振荡因子不是很吃惊。

b.若x-y是类空间隔，

找到一个特殊参照系，使得这两个点是等时的：

由两点关联函数（7）得，

令r的方向为z轴，令p与r的夹角为$\theta$，进入球坐标后，计算得：

利用函数的奇偶性，将积分扩展到整个实轴，得到

对这个积分使用围道积分的技巧，注意分母是多值函数

最后得到：

在r很大时，这个积分是指数衰减的因子，但是这个积分并不严格等于0，只是衰减趋向于0.
两点关联函数在x-y是类空间隔时，并不等于0；但根据狭义相对论的基本知识，任何信号不能在两个类空间隔之间传播，故两点关联函数（物理意义是振幅）应该为0；这就是矛盾。那难道是量子场论没有能力解决因果性吗？不，因果性在类空间隔不是要求两点关联函数本身，而是要求两个算符在类空间隔是彼此对易的，这是量子场论因果性的要求。

如果两个事件x、y是类空间隔，则它们是因果独立，彼此没影响 。
如果x-y是类空间隔，在4矢量x点的测量（比如测动量）必须和y处的测量彼此不影响（彼此独立）。所以数学上要求两个玻色型算符对易，但老师没讲为什么，注意这个条件和“NRQM中的对易则对一个态，两个力学量可以同时观测”不同。若取上面两个算符分别为场算符，得：数学上要求。也可以取上面两个算符分别为场算符平方和共轭动量算符，注意因果性是一个很强的条件，对任意两个玻色型算符，如果其自变量间隔是类空的，则两个算符必须对易。

下面开始验证量子化的KG场是否满足上面的对易关系：

计算得：

这个结果是一个C数。（C数：复数；Q数：算符）
由前面已经计算出的两点关联函数，得：

当是类空时（即当时），总可以通过连续的洛伦兹变换将x-y变为y-x，由于两点关联函数是洛伦兹不变量，故两点关联函数是一个偶函数，故类空时，
，因果性得到保持。

在类时间隔且t趋于无穷时，计算对易关系：

说明在类时间隔，这两个点的测量会彼此影响。

4.反粒子

对复KG场论，

设
，代入上式知，会得到两个彼此独立的实KG场。以前讲诺特定理时说过，这个理论有U(1)相位对称性。

由于$\varphi$是复数，故在量子化后不需要它是厄米算符这个条件，故引入$b^{†}$。
复KG场论中的场算符：
（8）
：湮灭一个粒子。
：产生一个反粒子。反粒子：质量和粒子相等，电荷和粒子相反。
会发现

。

因果性要求（背）：1）必须存在反粒子 2）反粒子质量和正粒子质量相等。

证明：因为前面已经证明在KG场论是一个C数，在复KG场论也可以类似证明是一个C数，故

=（9）

由于对于真空，定义，故将（8）代入（9）得：
（我应该自己计算一下，计算中会遇到，因为是产生一个反粒子，是产生一个正粒子；一个粒子的态和反粒子的态的内积显然为0（老师没讲为什么）），最后计算得（8）式等于0.满足类空间隔因果性的条件。
但考察
=

计算发现这个对易关系取决于

若要满足因果性的要求，必须这个对易关系等于0，故从第二项知，因果性要求必须存在反粒子。
还可以证明反粒子和正粒子质量相等：从（9）和两点关联函数的定义知，（9）这个对易式等于两个两点关联函数相减，因为
（我不知道此式在复KG场是否成立）
故要求质量相等。
得证。

5.KG传播子：推迟传播子与费曼传播子

因为前面已经证明在KG场论是一个C数，故
=

（因为上面这个公式是KG场论中的，故此节的内容都是KG场论中的传播子）
考虑特殊情况：假设，则

（9.1）
上面公式中是因为前面公式中的减号，而变成了-Ep。也就是说4动量都反号。
(9.2)

下面证明（9.1）等于（9.2）式：
因为
对P0是在实轴的从负无穷到正无穷的积分，复变函数积分：分母上两个奇点。应绕过这两个奇点，

习惯上采取这种绕过奇点的方法：
留数定理：


由于关心的是对P0积分，考察被积函数
若取c，则$Im{P}^0$大于0，$x^0-y0$也大于0，则被积函数指数增长地很厉害，不符合我们的要求。
若取下半平面的围道，则根据
知，被积函数是指数衰减，所以就不需要考虑无穷远半圆的围道，方便计算，故取围道：

（具体要理解这个积分，还是应复习复变函数）

最后通过留数定理的计算这个积分，就得到：这个积分=，可以发现它等于（9.1)式，这就从9.2推导出了（9.1），说明（9.1）=（9.2）式这个结论是正确的，得证。

推迟传播子/推迟格林函数

之前的部分就是证明了一个公式：

下面我们正式定义推迟传播子/推迟格林函数：（其中$\theta$是阶跃函数）

(12)

由于它称为'推迟格林函数“，所以顾名思义，要求其只有在才非零，在$x^0<y0$时要求它等于0，故引入阶跃函数来实现这个要求。

---

复习经典场论中的格林函数：

考虑在自由KG场有一个外源，

这类似于电动力学中外源与场耦合。
其运动方程：。

此运动方程的证明：

若给定初始条件，将外源泰勒展开，在将来某个时刻，问场的构型怎么样？
可以证明
（10）

格林函数必须满足的条件：
（11）

老师说这其实也是格林函数的定义。（为什么？）

下面计算：

故运动方程得证。

---

如果将其变到maxwell场，将$\varphi$变成四矢量场$A_{\mu }$，将源也变成4矢量场。如果给一个$A_{\mu }$的初始条件，可以类似（10）得到在任何时刻$A_{\mu }$的值。
经典场论格林函数回顾结束。

---

回到量子场论，可以验证推迟格林函数(13)也满足条件。由于上面这个条件老师之之前说也是格林函数的定义，故这说明这里定义的推迟传播子（12）式满足格林函数的属性，也是一种格林函数。

验证：
将坐标空间推迟格林函数傅里叶变换到动量空间：

将其代入得：

得：动量空间的推迟传播子：,将此式带回（13）可以发现推迟格林函数表达式与推迟格林函数定义（12）相同，故验证结束。
或可以证明：

回顾我们怎么得到推迟传播子：在计算推迟传播子定义中（12）式的积分时，对P0的积分沿着实轴，发现两个奇点，所以必须给出绕开奇点的规则，由于它称为'推迟格林函数“，所以顾名思义，要求其只有在才非零，在$x^0<y^0$时要求它等于0。在时进行积分，发现取下半平面的围道更好计算。最后可以计算得到结果。

费曼传播子（以后计算费曼图都是这个）

若围道取为
，可以发现它对应超前传播子。

定义费曼传播子：

围道：一半是推迟，一半是超前，这样的后果：如果是推迟传播子，则只有在x0>y0才不为0，如果是超前传播子，则只有在x0<y0才不为0；费曼传播子的优势是不管x0和y0的次序，它都不为0。
（此图具体见第17课,但其实没说清楚为什么）

$\epsilon$：称为费曼的$\epsilon$处方prescription。
故现在积分完全沿着实轴，代价是分母上变化了（why？）：费曼传播子：
（14）
当P0等于Ep或-Ep时，分母不为0，故这保证了没有发散，
$\epsilon$具体的值不重要，在算振幅等中会发现结果中没有$\epsilon$。

傅里叶变换得到动量空间的费曼传播子：

由（14）知，动量空间的费曼传播子（背，重要）：

可以验证费曼传播子满足：

，故费曼传播子满足格林函数的属性，也是一种格林函数。或者换句话说，可以验证。

费曼传播子的一个精确的算符定义（从两点关联函数定义）：

之前说过推迟传播子可以通过两点关联函数定义，现在对费曼传播子也可以给出这样一个定义：

即
从知道，x0大于y0时，说明x0发生的更后，而更后的$\varphi (x)$放在真空矩阵元的左边，故引入编时算符T：x和y谁的时间比较靠后就放在左边，谁的时间比较前就放在右边。

编时算符T：这两个算符对应的自变量x、y，谁的时间比较靠后，谁就放在最左边。
其中两点关联函数：
费曼传播子取决于x0和y0的时序。
对三个算符，编时算符：
若，则

若两个时间等时，则因为KG场论遵从因果性，如果是两个时间是等时的，则x-y应该是类空的，对类空间隔，两个算符对易，即两个场算符放的次序不重要。

费曼传播子的应用

考虑正负电子湮灭形成$\mu$子（这是很基本的一个过程），$\mu$子是比电子重两百多倍的一个基本粒子，其电荷与电子相同，但质量不同，称电子为第一代轻子，$\mu$子为第二代轻子。
时间从下往上走，电子用箭头表示，电子和正电子相聚在某个时空点，会变成光子，在某个时空点，光子又会变成$\mu$子（用双线代表），树图：

计算这样一个过程，费曼图规则。
所有树图的内线对应的都是（动量空间）费曼传播子。
光子的费曼传播子：


与KG场论的费曼传播子类似。

总结：

给定任何一个自由场论，都可以通过编时算符这个定义来计算两点关联函数，从而得到费曼传播子，在计算散射中很重要。

来自为知笔记(Wiz)