量子化KG场论
第章
1.1节
1.KG场的正则量子化
2.KG场论的能谱(能量本征态)
1)真空、扔掉零点能
2)哈密顿量与产生消灭算符的对易关系、多粒子态
3)多粒子态、玻色爱因斯坦统计、计算体系总动量算符:
4)单粒子态归一化问题、单粒子态表达式
5)场算符的物理意义
3.海森堡绘景的KG场
1)海森堡绘景中的场算符、场算符的运动方程、共轭动量算符的运动方程、在量子力学水平,场算符依然满足KG方程
2)海森堡绘景中KG场中的产生湮灭算符的表达式、海森堡绘景中KG场中的场算符、海森堡绘景中KG场中的共轭动量算符
3)负能解问题的解决
4)时空平移
5)因果性 其实费曼传播子写得最好的是学生友好量子场论,从73页开始!
a.若x-y是类时间隔,
b.若x-y是类空间隔,
4.反粒子
因果性要求(背):1)必须存在反粒子 2)反粒子质量和正粒子质量相等。
5.KG传播子:推迟传播子与费曼传播子
推迟传播子/推迟格林函数
复习经典场论中的格林函数:
此运动方程的证明:
费曼传播子(以后计算费曼图都是这个)
定义费曼传播子:
傅里叶变换得到动量空间的费曼传播子:
可以验证费曼传播子满足:
费曼传播子的一个精确的算符定义(从两点关联函数定义):
费曼传播子的应用
总结:
1.1节
1.KG场的正则量子化
哈密顿量密度其实是能量动量张量的0阶分量。
非相对论量子力学中
,量子化,将泊松括号变为对易,
,
。
类比非相对论量子力学,猜测KG场论的量子化,称为等时量子化方案(或正则量子化方案):
在t=0时刻,
(狄拉克delta函数)
将场和共轭动量提升为算符的话就满足上面这样的两条。
对KG方程中的场进行傅里叶变换(在量子化一维弦的时也用了这种方法):
得:
其中,类似狭义相对论中能量与动量、质量的关系,故Wp与能量有关。
此方程类似谐振子方程,其解为
。
回顾量子力学中的谐振子:
作为对比,考虑KG场:
将场和共轭动量提升为算符,对场进行傅里叶变换,并类比前面谐振子中的升降算符,且(为了保证场是厄米算符,故必须有上升算符和下降算符两项),得:场和共轭动量
可以验证它们都是厄米算符。
为使得它们满足等时量子化条件:,升降算符必须满足以下充要条件:
证明:注意在中,p是一个积分变量,所以可以在中第二项令p'=-p,故得:
![]()
为了在后面计算中不混淆p,所以在共轭动量中用p'(这没什么影响):
![]()
由于,故在计算
时,只有交叉的升降算符
算对易时不为0,故
![]()
由得:
![]()
![]()
最后一行利用了delta函数的傅里叶展开。
最后结果正好是前面猜测的等时量子化条件中的前一条。另一条是作业。得证。
下面求哈密顿量:
由
得:
改变积分次序,先积,
=
,再由这个关于p的delta函数可以化简,经过复杂计算,得:哈密顿量H
注意上面公式的p都是p,不是p'。
由于=,故
项是高度发散的一项,这一项称为零点能。
可以把零点能去掉,校准基态能量为0,然后就可以算激发态和基态的能极差。
上面哈密顿量公式类似量子力学谐振子。但由于这里是积分,故这里的哈密顿量是无穷多个谐振子,每个频率不同,为
。由于现在研究的是自由KG场论,其简单性在于所有谐振子都是独立的,没有耦合。这印证了之前讲的一个概念:量子场论可以认为是无穷多个谐振子的联合。
2.KG场论的能谱(能量本征态)
1)真空、扔掉零点能
之前已经求出来哈密顿量H=
场论中,真空:指的是一个体系的基态(能量最低的态)。
类比量子力学谐振子,定义:基态必须满足:对任意p,
计算:代入前面H的表达式,由于
,故H中第一项作用于基态等于0,故得:
为了计算能级差,现在校准基态,使得,即令零点能为0,这种“校准”称为正则排序,其物理意义以后再讲,在平直时空,可以把零点能扔掉,但不影响物理后果。这相当于在山顶测身高,校准到海平面测身高。
2)哈密顿量与产生消灭算符的对易关系、多粒子态
在量子力学谐振子中
,其为能量本征态(粒子数表象、能量表象)
KG场论中,,由
、
得:哈密顿量与产生消灭算符的对易关系:
其中。
构造单粒子态:
代入、
,得:
以前讲过,粒子是场激发的量子。故此态可以诠释为一个粒子,其动量为p,能量为Wp=。
构造双粒子态;
代入前面得到的,得:
哈密顿量作用于这个态得到两个能量之和,故称为双粒子态。
其余多粒子态同理。
3)多粒子态、玻色爱因斯坦统计、计算体系总动量算符:
物理意义:由于是粒子数算符,故此式说明一个粒子贡献的动量为p
注意此公式左边是算符,右边中的p只是积分变量。
此式第一个等号怎么得到的?以后再说 。
可以证明
结论:
是哈密顿量和总动量算符的共同本征态,称其为n粒子态,总能量是每个粒子能量的和,总动量是每个粒子携带的三动量的矢量和。
为什么量子场论是描述无穷多个粒子的框架?因为有无穷多个产生算符作用与这个态就会产生多个粒子。
玻色爱因斯坦统计:
在量子化KG场中,有
,其后果:
考虑是刻画两个全同玻色子的态。
由于,故
由于玻色子交换两个粒子波函数对称,故
,故玻色爱因斯坦统计会存在。
由于不等于0,故可以存在玻色爱因斯坦凝聚。
费米狄拉克统计的来源以后讲。
4)单粒子态归一化问题、单粒子态表达式
单粒子态用标记,代表一个单粒子,动量为p。
真空态的归一化:,
在非相对论量子力学中,动量本征态的归一化
但这样归一化的态不是洛伦兹不变的,因为这是一个三度的delta函数,动量空间delta函数的量纲是一个体积的量纲,三度的体积不是洛伦兹不变的。
证明:
![]()
由delta函数的一些性质:
,注意最后这个分母后有一阶导数。
由这里delta函数的最后一个性质得:
![]()
即
![]()
代入、
、
得:
![]()
=![]()
由于,故
=![]()
故,故才是洛伦兹不变的,而delta函数不是洛伦兹不变的。得证。
故之前的归一化方案不行,故规定归一化条件:
Ep=代表动量为p的单粒子态的能量,以后用Ep代替Wp。但人们习惯上规定加上2,即归一化条件:
故设单粒子态表达式:
此时(这里注意学真空矩阵元的计算:使用升降算符对易关系)
,故此单粒子态满足归一化条件。
5)场算符
的物理意义
湮灭算符作用于真空态为0,故第一项不贡献。
由前面单粒子态表达式得:场算符作用于真空态的表达式:
(3)
此公式类似于在非相对论量子力学书中,
(4)。
相对论中的能量动量色散关系在非相对论极限下,保留到某阶:
。
故(3)式可以类比(4),认为,即
的物理意义(重要,背):场算符
作用于真空态,可以认为它在x这个空间点产生了一个粒子。
特别注意(背):在QFT中,和时间永远不是算符,没有
态这样一个概念。(由于没有坐标算符,所以没有坐标本征态)
在量子场论中就是一个标记,一个坐标。因为场论考虑的是一个无穷大无穷维的系统,故
就是一个连续系统的标记而已,刻画在哪个空间点描述这个场,永远不会将它上升为算符。而在非相对论量子力学时,x可以作为坐标算符。
对量子场论,从傅里叶展开的意义上来说,QFT中的所有算符都可以由产生湮灭算符构造。
历史上的混淆是二次量子化:将KG波函数变为算符。因为当讨论KG波函数时,出发点是KG方程。?老师没解释清楚为什么二次量子化是错误的。
写成这样是给大家一些概念,怎么理解
的物理意义:场算符
作用于真空态,可以认为它在x这个空间点产生了一个粒子。
其中的产生算符从左边作用于真空<0|,故第二项不贡献。还要计算第一项真空矩阵元,经过计算得:
=
将
与非相对论量子力学中动量本征态在坐标表象的波函数
可以类比,很类似。故这说明前面所说的物理意义是合理的。
现在所讨论的理论都是自由场理论,自由场理论也是线性理论,一个场算符作用在真空态上得到一个对许多单粒子态的积分,场算符作用于真空态,可以认为它在x这个空间点产生了一个粒子。
如果引入相互作用,就不是上面这样,以后再讲。
3.海森堡绘景的KG场
1)海森堡绘景中的场算符、场算符的运动方程、共轭动量算符的运动方程、在量子力学水平,场算符
依然满足KG方程
之前都是t=0时量子化,在薛绘景,态是含时,算符不依赖时间。
在海森堡绘景,态不含时间,算符含时间。
之前考虑的都是在t=0时的量子场,现在我们考虑在任意t的KG场
,故转入海森堡绘景。
海森堡绘景的算符定义为:
t=0时,海绘景中的算符和薛绘景的算符相等。
海森堡运动方程:
故场算符在海森堡绘景中为:
这门课中大多数时候用的都是海森堡绘景,所以为简单就没有在左边的场算符上加下标H。
对场算符,由海森堡方程得:
计算对易关系,利用
得,
即场算符运动方程:
=
回忆在对KG场量子化之前讲过,对KG场。
同理计算得:共轭动量算符运动方程:
由以上两个运动方程得:
故在量子力学水平,场算符依然满足KG方程。
2)海森堡绘景中KG场中的产生湮灭算符的表达式、海森堡绘景中KG场中的场算符、海森堡绘景中KG场中的共轭动量算符
在海森堡绘景中,产生湮灭算符:
而由知,
由于在KG场的正则量子化一节中推导过,对KG场,,故
,解得:
对上式求厄米共轭得:
海森堡绘景中KG场中的产生湮灭算符的表达式:
(5)
由于括号中只有产生湮灭算符是算符,故
=
代入(5)得:
引入4动量:
,得:
;海森堡绘景中KG场中的场算符(重要):
这个分解称为“平面波分解”,因为相因子很像平面波;
正频部分:,正频部分总是含有湮灭算符。
负频部分:,负频部分总是含有产生算符。
在非相对论量子力学NRQM中,对定态,
,此刻画一个正频率解,注意。
在中,由于
是大于0的,故
称为正频部分。而由于
,故
称为负频部分。
海森堡绘景中KG场中的共轭动量算符:
=...
3)负能解问题的解决
之前KG方程的负能解问题在QFT中得到了解决:虽然负频部分含有产生算符,但对应能量是+Ep的单粒子态(前面几节已经说了),因为将场算符
作用于真空上会发现得到一个正能态,没有负能,故负能问题在QFT得到了解决。(老师原话)
在复KG场,
b\dagger:产生一个反粒子。
可以证明是产生一个反粒子。
在狄拉克场中会讲反粒子。
而在实的KG场的场算符表达式中,只有一对产生湮灭算符,故可以认为实的KG场产生的粒子是:它是它自己的反粒子。
负能解问题在QFT中得到了解决是因为在定义了真空后,任何场算符作用于真空上都会得到一个正能激发,不会得到负能激发。
但老师没解释为什么将场算符作用于真空上,也许是根据上节将的物理意义:场算符作用于真空上是在空间x处产生了一个粒子,由于是正能激发,所以是正能粒子。
4)时空平移
类似于海森堡绘景中算符的定义式
与时间演化算符有关,可以考虑在某个时间,
可以通过一个空间平移算符得到,称为空间平移:
:总动量算符(三维空间的总的3动量)。
因为这里是在某个时刻,故中的t不写。
故时空平移:
其中
- 波粒二象性:海绘景KG场中的场算符:
其中相因子是波,故是波的属性;而产生湮灭算符体现了粒子属性。所以QFT很好地体现了波粒二象性。
5)因果性 其实费曼传播子写得最好的是学生友好量子场论,从73页开始!
定义两点关联函数:
:之前讲过场算符作用于真空的物理意义:在y时空点产生一个粒子。(我写的注:注意这里和之前不同的一点是,这里的x、y没有加矢量符号,故它们是4矢量,故这里是在“时空点”产生粒子,而不是空间点)
这个两点关联函数表示在y时空点产生一个粒子,再在x这个点湮灭掉。故两点关联函数的物理意义:一个粒子从y时空点传播到x的一种振幅。
一点关联函数(其实一点谈不上关联)定义为:
,在KG场论中它等于0,因为在KG理论中,有到的对称性,故这个真空期望值为0.也可以从平面波展开的方法直接证明它等于0.
对都作平面波分解,得:
计算中就是要算真空矩阵元
使用对易关系的方法,最后得:
KG场论中的两点关联函数:
(7)
- 这个两点关联函数是洛伦兹不变量(即洛伦兹标量)!
证明:相因子中是标量积,由狭义相对论知是洛伦兹不变量;
可以证明是洛伦兹不变量:3度积分测度与4度积分测度之间的关系:
(6)
其中是关于的阶跃函数,>0时等于1,<0时等于0
四度动量体积元是洛伦兹不变的,
由于括号中是标量积,故是洛伦兹不变的,阶跃函数也是洛伦兹不变的。故得证(6)是洛伦兹不变量。
下面证明(6)式成立:
由函数的性质
知
由于阶跃函数要求大于0的才存在,故
积分后得:
。
故这样就证明了(6)式。 - 两点关联函数只依赖于x-y
利用时空平移,得:
=
由于对真空态,总动量为0,总能量为0,即
,故
=|0>,此式还可以取厄米共轭得另一个公式,故
两点关联函数:
故两点关联函数只依赖于x-y。
a.若x-y是类时间隔,
寻找一个参照系,使得
进行变量替换,由将p替换为E,得:
这个积分在当能量很高时快速振荡;在时间t很大时,这个积分
相位振荡因子。
由于类时间隔是有因果联系的,以前在相对论量子力学中也得到过这样的振荡因子,故这里得到振荡因子不是很吃惊。
b.若x-y是类空间隔,
找到一个特殊参照系,使得这两个点是等时的:
由两点关联函数(7)得,
令r的方向为z轴,令p与r的夹角为,进入球坐标后,计算得:
利用函数的奇偶性,将积分扩展到整个实轴,得到
对这个积分使用围道积分的技巧,注意分母是多值函数
最后得到:
在r很大时,这个积分是指数衰减的因子,但是这个积分并不严格等于0,只是衰减趋向于0.
两点关联函数在x-y是类空间隔时,并不等于0;但根据狭义相对论的基本知识,任何信号不能在两个类空间隔之间传播,故两点关联函数(物理意义是振幅)应该为0;这就是矛盾。那难道是量子场论没有能力解决因果性吗?不,因果性在类空间隔不是要求两点关联函数本身,而是要求两个算符在类空间隔是彼此对易的,这是量子场论因果性的要求。
如果两个事件x、y是类空间隔,则它们是因果独立,彼此没影响 。
如果x-y是类空间隔,在4矢量x点的测量(比如测动量)必须和y处的测量彼此不影响(彼此独立)。所以数学上要求两个玻色型算符对易,但老师没讲为什么,注意这个条件和“NRQM中的对易则对一个态,两个力学量可以同时观测”不同。若取上面两个算符分别为场算符,得:数学上要求
。也可以取上面两个算符分别为场算符平方和共轭动量算符
,注意因果性是一个很强的条件,对任意两个玻色型算符,如果其自变量间隔是类空的,则两个算符必须对易。
下面开始验证量子化的KG场是否满足上面的对易关系:
计算得:
这个结果是一个C数。(C数:复数;Q数:算符)
由前面已经计算出的两点关联函数,得:
当是类空时(即当时),总可以通过连续的洛伦兹变换将x-y变为y-x,由于两点关联函数是洛伦兹不变量,故两点关联函数是一个偶函数,故类空时,
,因果性得到保持。
在类时间隔且t趋于无穷时,计算对易关系:
说明在类时间隔,这两个点的测量会彼此影响。
4.反粒子
对复KG场论,
设
,代入上式知,会得到两个彼此独立的实KG场。以前讲诺特定理时说过,这个理论有U(1)相位对称性。
由于是复数,故在量子化后不需要它是厄米算符这个条件,故引入。
复KG场论中的场算符:
(8)
:湮灭一个粒子。
:产生一个反粒子。反粒子:质量和粒子相等,电荷和粒子相反。
会发现
。
因果性要求(背):1)必须存在反粒子 2)反粒子质量和正粒子质量相等。
证明:因为前面已经证明在KG场论是一个C数,在复KG场论也可以类似证明
是一个C数,故
=(9)
由于对于真空,定义,故将(8)代入(9)得:
(我应该自己计算一下,计算中会遇到,因为
是产生一个反粒子,
是产生一个正粒子;一个粒子的态和反粒子的态的内积显然为0(老师没讲为什么)),最后计算得(8)式等于0.满足类空间隔因果性的条件。
但考察
=
计算发现这个对易关系取决于
若要满足因果性的要求,必须这个对易关系等于0,故从第二项知,因果性要求必须存在反粒子。
还可以证明反粒子和正粒子质量相等:从(9)和两点关联函数的定义知,(9)这个对易式等于两个两点关联函数相减,因为
(我不知道此式在复KG场是否成立)
故要求质量相等。
得证。
5.KG传播子:推迟传播子与费曼传播子
因为前面已经证明在KG场论是一个C数,故
=
(因为上面这个公式是KG场论中的,故此节的内容都是KG场论中的传播子)
考虑特殊情况:假设,则
(9.1)
上面公式中是因为前面公式中的减号,而变成了-Ep。也就是说4动量都反号。
(9.2)
下面证明(9.1)等于(9.2)式:
因为![]()
对P0是在实轴的从负无穷到正无穷的积分,复变函数积分:分母上两个奇点。应绕过这两个奇点,
![]()
习惯上采取这种绕过奇点的方法:![]()
留数定理:
![]()
![]()
由于关心的是对P0积分,考察被积函数![]()
若取c,则大于0,也大于0,则被积函数指数增长地很厉害,不符合我们的要求。
若取下半平面的围道,则根据![]()
知,被积函数是指数衰减,所以就不需要考虑无穷远半圆的围道,方便计算,故取围道:
(具体要理解这个积分,还是应复习复变函数)
最后通过留数定理的计算这个积分,就得到:这个积分=
,可以发现它等于(9.1)式,这就从9.2推导出了(9.1),说明(9.1)=(9.2)式这个结论是正确的,得证。
推迟传播子/推迟格林函数
之前的部分就是证明了一个公式:
下面我们正式定义推迟传播子/推迟格林函数:(其中是阶跃函数)
(12)
由于它称为'推迟格林函数“,所以顾名思义,要求其只有在
才非零,在时要求它等于0,故引入阶跃函数来实现这个要求。
复习经典场论中的格林函数:
考虑在自由KG场有一个外源,
这类似于电动力学中外源与场耦合。
其运动方程:。
此运动方程的证明:
若给定初始条件,将外源泰勒展开,在将来某个时刻,问场的构型怎么样?
可以证明
(10)
格林函数必须满足的条件:
(11)
老师说这其实也是格林函数的定义。(为什么?)
下面计算:
故运动方程得证。
如果将其变到maxwell场,将变成四矢量场,将源也变成4矢量场。如果给一个的初始条件,可以类似(10)得到在任何时刻的值。
经典场论格林函数回顾结束。
回到量子场论,可以验证推迟格林函数(13)也满足
条件。由于上面这个条件老师之之前说也是格林函数的定义,故这说明这里定义的推迟传播子(12)式满足格林函数的属性,也是一种格林函数。
验证:
将坐标空间推迟格林函数傅里叶变换到动量空间:
![]()
将其代入得:
![]()
得:动量空间的推迟传播子:,将此式带回(13)可以发现推迟格林函数表达式与推迟格林函数定义(12)相同,故验证结束。
或可以证明:
回顾我们怎么得到推迟传播子:在计算推迟传播子定义中(12)式的积分时,对P0的积分沿着实轴,发现两个奇点,所以必须给出绕开奇点的规则,由于它称为'推迟格林函数“,所以顾名思义,要求其只有在才非零,在时要求它等于0。在
时进行积分,发现取下半平面的围道更好计算。最后可以计算得到结果。
费曼传播子(以后计算费曼图都是这个)
若围道取为
,可以发现它对应超前传播子。
定义费曼传播子:
围道:一半是推迟,一半是超前,这样的后果:如果是推迟传播子,则只有在x0>y0才不为0,如果是超前传播子,则只有在x0<y0才不为0;费曼传播子的优势是不管x0和y0的次序,它都不为0。
(此图具体见第17课,但其实没说清楚为什么)
:称为费曼的处方prescription。
故现在积分完全沿着实轴,代价是分母上变化了(why?):费曼传播子:
(14)
当P0等于Ep或-Ep时,分母不为0,故这保证了没有发散,
具体的值不重要,在算振幅等中会发现结果中没有。
傅里叶变换得到动量空间的费曼传播子:
由(14)知,动量空间的费曼传播子(背,重要):
可以验证费曼传播子满足:
,故费曼传播子满足格林函数的属性,也是一种格林函数。或者换句话说,可以验证
。
费曼传播子的一个精确的算符定义(从两点关联函数定义):
之前说过推迟传播子可以通过两点关联函数定义,现在对费曼传播子也可以给出这样一个定义:
即
从知道,x0大于y0时,说明x0发生的更后,而更后的放在真空矩阵元的左边,故引入编时算符T:x和y谁的时间比较靠后就放在左边,谁的时间比较前就放在右边。
编时算符T:这两个算符对应的自变量x、y,谁的时间比较靠后,谁就放在最左边。
其中两点关联函数:
费曼传播子取决于x0和y0的时序。
对三个算符,编时算符:
若,则
若两个时间等时,则因为KG场论遵从因果性,如果是两个时间是等时的,则x-y应该是类空的,对类空间隔,两个算符对易,即两个场算符放的次序不重要。
费曼传播子的应用
考虑正负电子湮灭形成子(这是很基本的一个过程),子是比电子重两百多倍的一个基本粒子,其电荷与电子相同,但质量不同,称电子为第一代轻子,子为第二代轻子。
时间从下往上走,电子用箭头表示,电子和正电子相聚在某个时空点,会变成光子,在某个时空点,光子又会变成子(用双线代表),树图:
计算这样一个过程,费曼图规则。
所有树图的内线对应的都是(动量空间)费曼传播子。
光子的费曼传播子:
与KG场论的费曼传播子类似。
总结:
给定任何一个自由场论,都可以通过编时算符这个定义来计算两点关联函数,从而得到费曼传播子,在计算散射中很重要。