第九讲 经典场论
第章
1.1节 如何构造经典场论
1.
其中是3个转动参数:
还有3个boost参数:
任何一个普适的洛伦兹变换的性质:
无穷小洛伦兹变换见打印讲义和群论第五章
2. 对K-G场,构造拉氏量
3.共轭动量密度、哈密顿量密度
4.动能项,相互作用项
5.E-L方程(运动方程)
1.2节 对称性和守恒律
1.
2)在拉伸和压缩变换下,会发现系统的拉氏量密度会变,但是这个系统依然具有这个对称性。故可以将两种视角中的拉氏量密度不变扩展为作用量S保持不变。
3)系统在洛伦兹变换下从一个时空区域变换到另一个时空区域,
4)下面验证对lamda phi 4模型,在洛伦兹变换下拉氏量密度不变:
5)下面验证对lamda phi 4模型,在洛伦兹变换下运动方程不变:
2.对称性分类
1)第一种:时空对称性:
2)内禀对称性:与时空坐标无关
3)从另一种视角分类:从变换参数的角度分类:
1.3节 诺特定理
1.诺特定理
2.证明:
守恒荷
3.诺特定理例
1)时空平移变换:
2)内禀变换
1.1节 如何构造经典场论
1.
洛伦兹变换矩阵可以用几个参数来刻画:
其中是3个转动参数:
比如(这些矩阵可能写错了):
故可以用三个参数,它们的组合可以刻画任何一个转动。以前学过欧拉角的概念,可以用3个参数来刻画任何一个转动。
还有3个boost参数:
洛伦兹boost:一个事件在某个参照系发生,在另一个和它有相对速度的参照系来看这个事件,有相对速度的另外一个参照系叫做洛伦兹boost(其实还是应见SSM中文翻译书)
对于这样形式的洛伦兹变换:,其boost变换矩阵为:
v是两个参照系的相对速度。
引入快度:
双曲余弦:
双曲正弦:
双曲正切等于双曲正弦除以双曲余弦:
则,v的取值范围是0到1,的取值范围是负无穷到无穷。对于低速系统,泰勒展开可以发现:
此时,boost变换矩阵为:
故可以用3个参数来刻画洛伦兹boost:
故一共用6个参数来刻画洛伦兹变换。
可以证明:若,则
故洛伦兹变换组成了洛伦兹群。
任何一个普适的洛伦兹变换的性质:
四度间隔不变:
可以得到:
故:
可以证明:洛伦兹变换的逆变换满足:
验证:
其中:=
(单位矩阵)
洛伦兹变换矩阵的性质:
上列
点积:
,则
点积是洛伦兹标量。
例如,
在壳条件就是指满足爱因斯坦能量动量关系。若是光子,则其四动量平方为0.
定义洛伦兹张量(即有两个洛伦兹指标):二阶张量:
场的分类:
张量场:
旋量场:
实际上录课中写的洛伦兹变换写错了。
反正正确的见陈老师高量6-1讲义。
无穷小洛伦兹变换见打印讲义和群论第五章
2. 对K-G场,构造拉氏量
经过一个E-L方程,会得到:
这个方程与KG方程的区别:
这个方程引入完全是根据类似经典力学来得到的,并没有在量子力学,没有引入。
所以,在量子场论中二次量子化这个词是错误的,因为我们只量子化一次。
- KG场拉氏量还可以写成
证明:
3.共轭动量密度、哈密顿量密度
经典力学中,
由可以推导出广义动量
和勒让德变换
,注意在哈密顿量中不再用q的导数,而是用广义动量p。
类比,猜,定义共轭动量密度
,哈密顿量密度:
。
例子:对KG场,得:
且哈密顿量密度应该是的函数,即
,故哈密顿量密度写成:
哈密顿量密度中每一项都是正定的,故在任何一个时空点,它都大于等于0,哈密顿量密度其实是能量密度,所以这样的构造是合理的,当时,基态能量等于零,所以可以认为体系有一个稳定的基态。对于任何一个比较健康的场论,都要求它的哈密顿量密度是正定的,这可以作为我们构造场论的另一个准则,若KG拉氏量中两项之间是+号,则不会满足这个准则。
4.动能项,相互作用项
- KG场拉氏量的特点:关于最多出现两次,故拉氏量是二次型。
称K是动能项,V是相互作用项。
动能项:类似KG拉氏量中的这种二次型的项。最多是二次型。
相互作用项:每一项至少含有场的三次型。- 若只有动能项,称为自由场论:量子化后,对应的是无穷多个独立的谐振子的联合:
。这种形式可以精确解。
- 动能项可以为:
是刻画电磁场的拉氏量密度。
为了保证这一项是标量,故加一个
。
- 相互作用项可以为
是狄拉克场,A是电磁场。这项是QED中的相互作用项,它有三个场,故有两个相互作用。
- 在经典场论中很容易验证,如果只有动能项,其运动方程是线性方程,如KG方程是线性方程。
线性方程:如果是一组解,则它乘一个常数也是一组解。比如KG方程和狄拉克方程都是线性方程。
如果加上相互作用项,则不是线性方程。
5.E-L方程(运动方程)
- 分析力学中点粒子的EL方程:
其推导是:
对时空点,变分和求导次序不重要:
故
由勒让德变换,得:
类似三维的高斯定理(散度的体积分等于面积分),对四度积分也能用高斯定理:
假设在初始和最终时刻以及在无穷远边界处,则由高斯定理(散度的体积分等于面积分)知,最后的全导数项积分后为0。
故
最小作用量原理要求其等于0.
由于是任意的,故得到EL方程:
- 对KG场:
这个KG拉氏量只有一个动能项,是一个自由场论。
练习:推导复KG场的运动方程
电磁场的运动方程
- 若在KG拉氏量中加相互作用项,
模型:
其EL方程
:耦合常数,无量纲。
- 量纲:
作用量等于拉氏量L乘时间,L量纲是焦耳,故
由于光速c=1,故长度量纲=时间量纲,再由得:长度量纲是能量量纲的倒数。故:
由于(背),故拉氏量密度量纲(重要,背):
由,注意质量量纲等于能量量纲,且长度量纲是能量量纲的倒数则量纲等于能量量纲,故KG场的量纲:
由拉氏量知,
耦合常数
1.2节 对称性和守恒律
1.
对称性:在一个对称性变换下,系统的动力学不变。比如在洛伦兹boost中,maxwell方程形式不变,,6个参数刻画洛伦兹变换;时空平移
,
是一个4矢量,故时空平移用4个参数描写。若既有洛伦兹变换和时空平移,则称为庞加莱变换,10个参数。
一个变换有两种视角:运动方程不变或拉氏量密度不变(后一条后面会扩展为作用量S不变)
对称性就是系统在变换下满足以上两条中任意一条(即运动方程保持不变或者作用量保持不变)就是有此对称性。
对lamda phi 4模型拉氏量:
它是洛伦兹不变的,也是时空平移不变的,故它是庞加莱不变的。一个要求:几乎任何一个合理的物理理论都要求是庞加莱不变的。
这个拉氏量还满足在变换下不变。
其运动方程
显然在上面这个变换下也不变。
2)在拉伸和压缩变换下,会发现系统的拉氏量密度会变,但是这个系统依然具有这个对称性。故可以将两种视角中的拉氏量密度不变扩展为作用量S保持不变。
3)系统在洛伦兹变换下从一个时空区域变换到另一个时空区域,
(原因见群论第三章)
拉氏量由于是标量,故满足
4)下面验证对lamda phi 4模型,在洛伦兹变换下拉氏量密度不变:
=
- 这是从复合函数求导,直接求导得
,再乘内层导数
表示:
的自变量是
,故在
加一个括号。
代入前面变换的公式,得:
之前洛伦兹变换一节得到:
,其等价于
。故上面公式等于
。
由于要验证拉氏量密度保持不变,即要验证:
由及
的变换知,确实
满足。
5)下面验证对lamda phi 4模型,在洛伦兹变换下运动方程不变:
在洛伦兹变换下
第二行是两次复合函数求导,其过程类似前面推导
的变换时的过程。
故运动方程形式不变。
2.对称性分类
1)第一种:时空对称性:
(在坐标变换下,场也要变。)、
2)内禀对称性:与时空坐标无关
在某个变换下,时空坐标不变,场会改变。
比如、同位旋对称性、味对称性、奇异数对称性、对复KG场:
(含义是场是复数),有一种变换:
,在这种变换下拉氏量不变,数学上称这种对称性为U(1)对称性,此对称性对应电荷守恒。
3)从另一种视角分类:从变换参数的角度分类:
连续对称性:任何一个变换可以从单位元变换邻域连续得到,比如洛伦兹对称性,时空平移,U(1)对称性(因为可以从0取到一个很小的值,当取0时是单位元变换,即不变)。
分立对称性:对KG场论是分立对称性,因为无法从单位元邻域连续得到。
1.3节 诺特定理
1.诺特定理
如果一个系统具有某种连续对称性(不能是分立),且当运动方程满足时(即场按照EL方程的方法来演化时),则该系统存在一个相应的守恒流(守恒律)。
守恒流是满足。
2.证明:
变换:
主动变换:系统变。
被动变换:坐标系变。在这门课中坐标系和参照系意义形同。
- 下面证明nother定理时用被动变换的观点:(证明过程有一个错误)
在固定的时空点P,考虑P在某个坐标系的坐标为,考虑场。
考虑同一个时空点P(P在物理空间是不变的)在另一个变换后的参考系的坐标为,场
,由于在新的坐标系,函数依赖一般会改变,所i加一个',场为:
。
对
考察
此式的物理意义:在同一个时空点,用新的坐标系的场的值减去变换前的场的值。
第3个等号是用了泰勒展开。
由于这一项已经有一个
,所以可以不用区分f'和f,这是一个近似。故第四个等号成立。
故,由上面公式得到:
例子:时空平移
在被动变换的观点:
由
此式的物理意义:在同一个时空点(物理点),用新的坐标系的场的值减去变换前的场的值。
知,时空平移后场的值等于变换前的值(原因见群论),故
代入
得(3)
而由图知,
再泰勒,得:
,这与(3)相符。
时空平移是经典场论中最简单的一个变换。 - 被动变换的视角
由于前一节说,对称性的一个视角是作用量不变,故
对于一个内禀操作,由于不涉及时空坐标,则=0,但我们要考虑一个既适用于内禀对称性,又适用于时空对称性。
有公式
(4)(怎么证明此式?)
验证此式:对洛伦兹变换,
以上推导和狭义相对论有关,不懂。
由(4)得:
由于是在同一个坐标点,故
由于,故
由于满足EL方程,故=0
故
由于
故:
(7)
物理上考虑非常大的空间,由于场是满足运动方程的,故在满足运动方程时换一个视角,作一个变换,你可以包住任何一个小的时空元(小的四度的时空区域) ,在这个小的时空元中,变分处处为0,故积分号中应为0,这就得到存在一个相应的守恒流(守恒律):
。
利用和(7)得:守恒流:
诺特定理得证。
守恒荷
由高斯定理知散度这一项为0,得:
=
设对守恒流的零分量全空间(不包括时间)积分为Q,由于最左边等于0,故对任何,有
。
即,Q不依赖于时间,是一个守恒量,故称Q(t)=
为守恒荷(或Nother荷):对守恒流的零分量全空间(不包括时间)积分。守恒荷是一个守恒量,不依赖于时间。
3.诺特定理例
1)时空平移变换:
由守恒流公式得:
还可以证明还存在一个守恒流——能量动量张量:
定义能量动量张量:
以前守恒流都是4矢量,可以证明能量动量张量(注意是张量)是一个守恒流:
对此守恒流,定义守恒荷:
由于可以取0,1,2,3,故守恒荷有4个:
当时,
,故是总能量。
而当时,平移变换为
,是时间平移,故时间平移对应的是能量守恒。
所以对哈密顿量的新的理解:哈密顿量是守恒荷,它来源于时间平移对称性。
当时,类似地可以知道它对应空间平移,
是总动量(指的是三维空间的总的3动量)。
综合以上,
体系总的4动量=
是守恒荷。体系的时空平移对称性对应能量、动量守恒。
2)内禀变换
守恒流:
对内禀变换,时空坐标不变,故内禀变换的守恒流:
例1:
注意变成是分立变换,不能应用诺特定理。
考虑场的平移变换
其中可以从0到无穷。故,故由
得:
,由于是一个常数,不影响流,故可以去掉,故守恒流:
可以验证它为守恒流:
对一个零质量的场,它的KG方程为。
故=0. 注意在证明这个等式时用了KG方程,即用了EL方程,而诺特定理中确实说了满足EL方程时。
例2:U(1)相位对称性
考虑complexKG场,
我们现在考虑无穷小,则根据得:
之前得到的内禀变换的诺特流公式
并不适用于复KG场,因为上面这个公式推导中假设只有一个独立场变量,对变分法中如果有多个独立场变量,应对每个场变分,因为复KG场论中场是复数,认为和是独立的自由度。故再经过推导得到:U(1)相位对称性的守恒流:
根据
可以验证
。
U(1)相位对称性的守恒荷:
它称为电荷,这是因为这个理论很容易引入一个电磁相互作用,光子电磁场会和这个诺特荷相互作用,以后会讲。
U(1)相位对称性导致电荷守恒。 经典场论结束。