第三章 群表示论（考试是ppt原题或稍微改一下的作业题（加号变减号等），必须多自己算几次，考试才能默写出来）

第三章 群表示论

第三章 群表示论
1.1节 群的线性表示
1.标量函数变换算符
1）标量函数
2）标量函数变换算符$P_R$、坐标变换R
3） 对称变换群：
4）线性算符L(x)在标量函数进行变换时的的变换规律：
2.线性表示在量子理论中的意义
矩阵群D(G)
3.群的线性表示的定义
1）定义： 若行列式不为零 的 m ×m 矩阵集合构成的群D(G) 与已知 群 G 同构或同态 （背）（特别记住同态时一对多，群G中的元素更多）， 则 矩阵群D(G) 称为 群 G 的一 个 m 维线性表示 ， 简称表示。
2）线性表示的物理意义：（老师说，他见到的物理上只有这两种物理意义）
3）表示矩阵
4）特征标
5）性质
6）例题（背，考试一定会考函数基）
1.2节 等价表示、表示的幺正性和可约表示
1.等价表示
1）表示空间：
2）等价表示
3）等价表示的性质
4）两表示等价的充要条件：每个元素在两表示中的特征标对应相等（背）
5）例：D3群的三维表示
2.表示的幺正性
定理的相关结论：
3.可约表示
1）定义：若群G的表示D(G)的每一个表示矩阵D(R)都能通过同一相似变换X化成同一形式的阶梯矩阵（左下角为零或右上角为零或左下角右上角都为零）
2）表示可约性的等价定义：表示空间存在非平庸不变子空间的表示称为可约表示，否则称为不可约表示
3）完全可约表示
4）定理：有限群的可约表示是完全可约的
5)寻找群的所有表示—>寻找所有不等价表示—>寻找所有不等价不可约表示
6)有限群的表示D(G)或者是不可约的，或者可以约化为一系列不可约表示$D^{(j)}(G)$的直和：
7)一些公式
1.3节 群代数和有限群的正则表示
1.群函数
2.群空间：群元素为基（自然基），其所有复线性组合构成的线性空间（背）
3.群代数：在群空间中定义矢量乘法，...，这样的群空间称为群代数
4.正则表示
1）群 G 的 正则表示
2）正则表示（ 左 正则表示 ）的性质
3）由群的乘法表求正则表示（左正则表示）的方法：
5.内禀群 老师说不重要，了解一下。应该不考。算了。
1.4节 有限群的表示理论
1.舒尔定理:
1）舒尔定理 :
2）舒尔定理的等价描述：
3）舒尔定理推论
2.正交定理
1）群空间两矢量的点乘或两群函数的内积定义为
2）一个矢量$X=\sum _{R}F(R)R$的坐标可以取为不可约表示 $D^i(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F(G)的g个函数值
3）正交定理（背）：设有限群的两个不等价不可约幺正表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ ，群空间中以群元素为基的一个矢量$X=\sum _{R}F(R)R$的坐标可以取为不可约表示 $D^i(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F(G)的g个函数值，即$X=\sum _R{D}_{\mu \rho }^i(R)R$；另一个矢量$Y$的坐标类似地可以取为不可约表示 $D^j(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F‘(G)的g个函数值，即$Y=\sum _S{D}_{\nu \lambda }^j(S)S$；这两个矢量满足正交关系：
4）正交定理的含义：
5）正交定理的推论（所有这些推论都不需要加幺正两个字。真的只需要背推论二和推论五）
6）将可约表示向不可约表示约化（背，特别是背这3个公式）：
7）找到一个群的所有不等价不可约表示的方法：
例题1：D3群
例题2
例题3
3.完备性定理（完备性定理及其推论3很重要，背：有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数；有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数）
1）完备性定理：有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数：$\sum _j{m}_j^2=g$
2）完备性定理的推论
推论一：有限群不等价不可约幺正表示的矩阵元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作为群空间的矢量（一个$i\mu \nu$对应一个矢量），构成群空间的正交完备基，任何群函数 $F(G)$ 均可按它们展开（任何群函数$F(G)$对应的矢量可以由这组正交完备基展开）：
推论二：有限群不等价不可约表示的特征标 ${\chi }^j(G)$ ，作为类空间的矢量（一个j对应一个矢量），构成类空间的正交完备基，任何类函数都可按它们展开（任何类函数$F(\beta )$对应的矢量可以由这组正交完备基展开）
推论三：有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数$,\sum _{j}1=g_c$。（背，重要）

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1.1节 群的线性表示

1.标量函数变换算符

1）标量函数

标量、矢量：都是从某种坐标变换下的性质来说的。
一般我们说的标量矢量都是三维空间来说的，这里我们说的矢量、标量都是三维空间的矢量、标量。
标量：只用一个数字描述。
标量场：标量的空间分布，比如温度场。
标量函数：描述标量场的函数。
变换有两种观点：
主动变换（系统变换）：坐标系不变，物理系统在变。
被动变换：坐标系在变，物理系统不变。
比如转动可以采用物理系统在变，坐标系不变，也可以看成坐标系不变，物理系统在变。
在后面的内容中都采用系统变换的观点。

2）标量函数变换算符$P_R$、坐标变换R

（背）

• 

  是线性算符

  证明：由上面公式知，将函数的自变量变成，故
  ，又因为，故，得证。

• 

  在有些情况是一一对应的。（比如平移的情况确实，但普遍情况是否成立我未证，没时间，算了。）但在后面，我们都考虑一一对应时的情况。

  证：反证法：若多个算符对应一个R，则说明当令，即进行了变换之后，得到的新可能等于也可能等于，这与我们的常识不符，故不可能多对一。
  
  普遍情况比如，$\psi$关于xoy面对称时，是否成立？没时间。
  老师也是这么说，比如当$\psi$是一个常数函数，则，也可以不一一对应，老师也没说其他情况。

• 

  也按同一规则一一对应

  证明：
  
  （）
  
  故得证。

3） 对称变换群：

由于元素对应，元素乘积也对应，又由群论第二章1.3节3.集合G‘与群G的同构或同态知，若变 换 R 的集合构成 群 G ， 则 $P_R$的集合一定构成群，且是与 G 同构的 群，称为群$P_G$ ；有时 把 群$P_G$ 称为 群 G 的线性实现

对称变换群：一般地，线性算符群$P_G$ 与群G并不严格区分，都称为对称变换群。
前面说的标量函数，下面开始说算符：

4）线性算符L(x)在标量函数进行变换时的的变换规律：

得证。

注意$p_R$也是线性算符，代入上面公式，发现也成立。
ppt中的那些符号是错误的，因为

2.线性表示在量子理论中的意义

对称变换：在与变换R对应的算符$p_R$的作用下，哈密顿算符不变。设$p_R$为对称变换算符

对称变换是保持物理系统不变的变换，而物理系统是用哈密顿量描述，故哈密顿算符不变。

与华中师范量子力学283页对称变换的性质一样：对称变换一定满足对称变换算符与H对易。

故也是哈密顿算符同一能级的本征函数，由于E有m个线性无关的本征函数，故可以用这个m个线性无关的本征函数展开：

矩阵形式：

注意这个矩阵形式与李新征书34~37页内容一样，是基矢量！，注意李书特别这几页线代写得好，必须学，才能懂这个矩阵形式。

答：不一定，因为基矢组不一定是正交归一的，见第一章线代复习。

• 

  由于，。
  。可以一多对应，但不可以多一对应，因为如果多一对应的话就不知新的函数是什么了（与之前几点的一个类似证明一样）
  注意$P_R$更多。

• 
  证明：
  
  （1）
  由于前面已经证明 了
  ，故：
  （2）
  将（1）与（2）对比，

若算符乘积对应的变换，定义为相继作两算符对应的变换；矩阵按矩阵乘积规则相乘。则知，元素是对应的，元素的乘积也是对应的，故：

故若R的集合构成群，则矩 阵 D(R) 的集合一定构成一个群 D(G) ， 它同构或同态 于对称变换 群 G 和$P_G$ ：
D(G) ~ $P_G$ ≈ G

矩阵群D(G)

矩阵群D(G)称为群G的一个m维线性表示，它描写了哈密顿量本征函数在对称变换中的变换规律
一般地，系统的对称变换群G同构于线性对称变换算符群$P_G$，而$P_G$中每个元素作用在不变函数空间的基上，得到群G的线性表示，即矩阵群D(G)
量子理论中，线性表示（即矩阵群D(G)）描写不变函数空间中函数的变换规律

★请体会下面两式的区别：

第二个式子因为它表示的意思就是：$P_G$中的任何一个算符作用在任何一个基矢上，得到的是${\psi }_{\mu }$架设的函数空间中的一个矢量。
注意第二个式子中是基矢${\psi }_{\mu }$。
没有跑出去就是不变函数空间。

3.群的线性表示的定义

1）定义： 若行列式不为零 的 m ×m 矩阵集合构成的群D(G) 与已知 群 G 同构或同态 （背）（特别记住同态时一对多，群G中的元素更多）， 则 矩阵群D(G) 称为 群 G 的一 个 m 维线性表示 ， 简称表示。

2）线性表示的物理意义：（老师说，他见到的物理上只有这两种物理意义）

（1）量子理论中，线性表示（即矩阵群D(G)）描写不变函数空间中函数的变换规律。（背）注意描述函数变化规律时，矩阵是放在后面，因为${\psi }_{\mu }$是基矢

（2）二维或三维空间点的坐标变换（或称线性变换）：线性表示描写二维或三维空间点的坐标变换规律。（背）
注意描述坐标变换规律时，矩阵放在前面。


要理解这个矩阵为什么代表线性变换的规律必须见“线性代数的本质”，必须学，必须复习！

3）表示矩阵

在 D(G) 中 ， 与 G 中元 素 R 对应的矩 阵 D(R) ， 称为元 素 R 在表 示 D(G) 中的表示矩阵

4）特征标

表示矩 阵 D(R) 的迹 称为 元 素 R 在表 示 D(G) 中的特征标； 共轭元素的特征标相同，即同类元素的特征标相同。（背）

证：互相共轭的元素在一个类中，而求迹有轮换不变性，故$SR{S}^{-1}$和R的特征标相同。

5）性质

• 恒元的表示矩阵为单位矩阵：

  由于同构或同态，故恒元的表示矩阵乘以任意元素的表示矩阵应该等于这个元素的表示矩阵，得证。

• 互逆元素的表示矩阵互为逆矩阵：

  

就因为这个性质，所以其实并不需要在定义中强调行列式不为0，只要一个矩阵群与之前的群G同构或同态，则矩阵的行列式必然不为0，因为矩阵群中包含任意一个矩阵的逆，由于能求逆，则行列式不为0.

• 真实表示 ：D(G) 与 G同构
• 非真实表示：D(G) 与 G同态
  非真实表示描写了 群 G 关于同态对应核的商群的性质。
• 若G和G'同构，D(G）是G的表示，则D(G）也是G‘的表示。(背）

  若G'同构于G，则D(G）也同构于G‘.(因为元素一一对应，元素乘积也对应），故由表示的定义知，D(G）群也是G'的表示。
  其实这个就是G,$P_G$，D(G）之间的关系。

• 只要知道生成元的表示矩阵就可以求出矩阵群（背）
  由于只要知道生成元，群中的任意元素都可以得到，则求表示矩阵也一样，只要知道生成元的表示矩阵就可以求出矩阵群，因为其他元素的表示矩阵可以通过D(R)D(S)= D(RS) （元素对应，元素乘积对应）来得到。
• 恒等表示：群G中所有元素都对应单位矩阵，即R对应的$\mathit{D}(\mathit{R})=\mathit{I}$.
  任何群G都有恒等表示
  比如让D3群中的所有6个元素对应单位矩阵，元素对应，元素的乘积也对应，单位矩阵群D(G)与群G同态(一对多）。
  

  也称平庸表示、显然表示、单位表示

• 自身表示：矩阵群本身是自己的一个表示
• 幺正表示：表示矩阵是幺正矩阵的表示
  幺正：
  故：$D(R{)}^{†}=D(R{)}^{-1}=D\left(R^{-1}\right)$
• 实正交表示：表示矩阵都是实正交矩阵的表示
  
  实正交矩阵：这个正交矩阵中的矩阵元是实数。
  
  若在正交归一的基中，算符R的共轭算符$R^{†}$的矩阵形式等于算符R的矩阵形式的共轭。即先转置再取复共轭（见第一章线性代数复习）。此时实正交矩阵既是正交矩阵又是幺正矩阵。**（因为先转置再取复共轭）。
• 复共轭表示：将一表示的所有表示矩阵都取其复共轭矩阵，它们的集合构成原群的表示，称为复共轭表示
  

  证：

• 自共轭表示：特征标都是实数的表示
  

  一般会认为复共轭表示等于原来的表示则是自共轭表示，但不对，要将条件变为：即使复共轭表示不等于原来的表示D(G)，但求了复共轭后，复共轭表示与原来的表示等价，则称表示D(G)是自共轭表示。

自共轭表示D(G)的另一个定义：一个表示D(G)的表示矩阵都取复共轭后得到的复共轭表示与原来的表示D(G)等价，则称表示D(G)为自共轭表示。
自共轭表示与其复共轭表示等价。
自共轭表示与复共轭表示等价，则说明这个自共轭表示的特征标是实数。

证明：

故：
自共轭表示：特征标都是实数的表示

• 表示矩阵都是实矩阵的表示称为实表示。既然等价表示的本质是一样的，可以把实表示的定义扩充，等价于实表示的表示也称为实表示。

  故实表示的表示矩阵不一定要求是实矩阵，只要和表示矩阵都是实矩阵的表示等价即可。

由于实表示的特征标是实数 ，故实表示是自共轭表示；但自共轭表示不一定是实表示，因为自共轭表示虽然与其复共轭表示等价，但不一定存在相似变换使所有表示矩阵都变成实矩阵（因为实表示是在等价的意义上定义的），故自共轭表示不一定是实表示。

• 自共轭表示和实表示都是在等价的意义上来说的。

6）例题（背，考试一定会考函数基）

背：判断是否构成表示就是要判断是否同构或同态，就是要判断元素对应，在这种对应规则下，元素乘积也对应，即判断
=

由线性表示的第二个物理意义，线性表示描写二维或三维空间中点的变化规律。代入几个点可以求出矩阵。（背）
这个例子说明：在同构的意义上，二阶群只有一个，就是C2群，故
由于“若G和G'同构，D(G）是G的表示，则D(G）也是G‘的表示。(背）”，故同一个群，它的表示矩阵是很多的。

求一维非恒等表示：

四个函数基，求出来的矩阵就是四维的，故是四维表示：

以函数为基，求矩阵群：（背）

5*只要知道生成元的表示矩阵就可以求出矩阵群，故可以得到矩阵群。
特别记住2中应先求R的矩阵表示的逆（考试不要忘）

注释：
1.在1中，函数基有几个，就是求R的几维矩阵表示
2.特别记住2中应先求R的矩阵表示的逆（考试不要忘），考试就考二阶三阶，求逆矩阵：待定系数法凑，很简单。
3.这样求出的矩阵群D(G)是群G（即D3群）的线性表示的原因：

4.D和A是生成元

5.一个群G可以有任何维的表示。同一维的话也可以有很多种表示。

根据以上求出的表示，就可以写出特征标表：横为元素的类，纵为表示的分类

第五种和第六种表示的特征标相等。后面会讲，如果两个表示的特征标相等，则它们等价。

1.2节 等价表示、表示的幺正性和可约表示

1.等价表示

1）表示空间：

给定一不变函数空间，线性算符群$P_G$作用在基${\psi }_{\mu }(x)$上，得到一个线性表示，该线性不变函数空间称为表示空间。（不好理解，不用记）

• 表示空间在量子理论中就是简并的波函数基矢量${\psi }_{\mu }(x)$构成的不变函数空间。在三维空间的坐标变换中，算符就是R，基是$e_x、e_y、e_z$，则表示空间就是三维空间。（背，重要，从而知道表示空间是什么）
• 表示空间基的选取并不唯一，当重新选取基后，新基取为原来的基的线性组合时，$P_R$的矩阵形式作相似变换，从而得到一个新的表示（背）

  三维空间中并不需要$e_x、e_y、e_z$作为基矢，可以是其他线性无关的基矢
  函数空间也类似，前面的例题中，第六、七种表示就是取的两种不同的基矢。
  这里“新基取为原来的基的线性组合”类似为知“线性代数本质”中的线性变换，线性变换中新基也是原来的基的线性组合。故相似变换类似线性代数中的线性变换。

原来的基${\psi }_v$，新基${\phi }_{\mu }$


新基和旧基的变换关系确定，则相似变换矩阵X也确定。（重要，背）


由表示的含义知，中括号中的就是表示矩阵

新的表示矩阵和原表示矩阵通过相似变换矩阵X联系起来：

2）等价表示

这两个表示$D(G)$和$\overline{D}(G)$，对应同一个线性变换群$P_G$，有相同的表示空间；
表示矩阵$D(R)$和$\overline{D}(R)$是同一个变换$P_R$在同一个表示空间中的表示矩阵，只是因为函数基选取的不同而不同，它们通过同一相似变换X联系起来；这样的两个表示本质上是一样的（因为代表相同的$P_G$），故这样两个表示称为等价表示。
等价表示：若（群G所有元素R）（在两个表示$D(G)$和$\overline{D}(G)$中的表示矩阵）存在同一相似变换关系（背），这两个表示称为等价表示，记为$D(G)\cong \overline{D}(G)$

前面说了，新基和旧基的变换关系确定，则相似变换矩阵X也确定。故“同一”。

3）等价表示的性质

• 两等价表示维数相同

  因为维数不同无法相似变换

• 相似变换矩阵是同维非奇异矩阵，与群元素无关

  非奇异是因为非奇异则行列式不为零，则相似变换矩阵X有逆，上面的公式推导过程才成立

• 等价于同一表示的两表示互相等价
  

  

• 等价表示无实质区别，只是形式不同，故从此，寻找群的所有表示就变成寻找所有不等价表示
  

  因为本质上一样，因为物理上是对应同一个线性变换群$P_G$，在同一个表示空间。仅仅是因为表示空间中基的选取不同而不同。

• 自共轭表示、实表示是在等价的意义上定义的

  见前面自共轭表示、实表示

4）两表示等价的充要条件：每个元素在两表示中的特征标对应相等（背）

必要性证明：即从两个表示等价证明特征标对应相等。由于求迹有轮换不变性，故：，得证。
充分性以后再证明

同一类的元素特征标相同，故检验两表示是否等价时，只需在每个类中选一个元素，检验它在两表示中的特征标是否相等（背）

5）例：D3群的三维表示

由两表示等价的充要条件知，后两个三维表示等价，它们与第一个三维表示不等价，当然与其它非三维表示也不等价

2.表示的幺正性

定理：有限群的线性表示会等价于幺正表示；两个等价的幺正表示一定可以通过幺正的相似变换相联系。

幺正表示：表示矩阵都是幺正矩阵。
证明：
先证第一部分。对给定的表示D(G)，要找出相似变换X使下式成立：

就是要证明$\overline{D}(R)$是幺正的。
（1）
先定 义 H 矩阵：给一个表示D(G)就可以求出这样一个矩阵H：

这个矩阵也可以写成$\mathit{H}=\sum _{SR\in G}D(SR{)}^{†}D(SR)=\sum _{S\in G}D(SR{)}^{†}D(SR)$
后一个等号是因为对S求和与对SR求和是一样的，因为重排定理GR=G（G是群，R是元素），当R固定，S跑遍G时，SR也就跑遍了G中所有元素，故上面求和号确实成立。
=（2）
（1）与（2）对比知，只要证明存在X使得，即证明了（1）。
下面开始证：

补充：第一章线性代数复习中：



X会满足本征值方程：$\mathit{R}\mathit{X}=\mathit{X}\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m\}$。（3）
在正交归一基的情况下，${\mathit{X}}^{†}$是先转置再取复共轭，故由于已经归一化，所以可以验证，故X矩阵是幺正的。
由（3）得：$X^{-1}RX=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m\}$，其中R是厄米矩阵，X是幺正的，故得证：厄米矩阵一定可以通过幺正的相似变换对角化。
不正交归一基的情况下是否成立，我不知道。
由此证明过程知道，将厄米矩阵R的m个正交归一本征列矢量按列排列成一个矩阵，就是幺正的相似变换矩阵X。而相似变换后的矩阵，对角元是本征值。
补充结束。下面接着证：

故H矩阵是正定的厄米矩阵，可通过幺正相似变换U对角化：

数学补充中说了将厄米矩阵R的m个正交归一本征列矢量按列排列成一个矩阵，就是幺正的相似变换矩阵X。而相似变换后的矩阵是对角矩阵，对角元是本征值。由于这里正定，故对角元大于零。
定义，由于U和都可以求出来，构造，则X也可以求出来，可以验证：


第一部分得证。
再证第二部分：两个等价的幺正表示一定可以通过幺正的相似变换相联系。
由于等价，故已知：
可以通过非幺正相似变换X相联系：

需要找相似变换Y，使，此时XY就是要找的幺正相似变换矩阵。



下面就是要证明Y满足上面所说的两个关系。

Y确实满足，故得证。
证明结束。

定理的相关结论：

• 对有限群，只需要研究幺正表示和幺正的相似变换
  

  证：由有限群的线性表示会等价于幺正表示，故对有限群，只需要研究幺正表示。
  因为只研究幺正表示，而两个幺正表示可以通过幺正的相似变换相联系，虽然已知的是一个非幺正的相似变换X，但可以找到一个Y，使得凑一下，得到幺正的相似变换矩阵XY（这就是上面的证明过程），这样两个幺正表示就通过幺正的相似变换联系了。

• 实际物理问题中，对有限群和大部分无限群，算符$P_R$是幺正的，则只要在表示空间选取正交归一的基（总是可以做到），表示（即矩阵群）自然就是幺正表示:
  

  证明：
  由于
  故：
  
  幺正矩阵的定义中有$D^{\text{diag}}(R)D(R)=I$，故上面的公式说明满足幺正矩阵的定义，故D(R）是幺正矩阵，故矩阵群D(G）是幺正表示。
  注意是矩阵D(R)的矩阵元。

• 前面定理的推论：
  有限群实表示会等价于实正交表示；两个等价的实正交表示一定可以通过实正交相似变换相联系。

  证：由于有限群的表示等价于幺正表示，且实表示：表示矩阵都是实数；故有限群的实表示等价于实的幺正表示，又由于在正交归一的基的情况下，共轭算符是先转置再取复共轭，故有限群的实表示等价于实正交表示。
  第二部分的证明省略，和前面证明定理的第二部分类似。

3.可约表示

1）定义：若群G的表示D(G)的每一个表示矩阵D(R)都能通过同一相似变换X化成同一形式的阶梯矩阵（左下角为零或右上角为零或左下角右上角都为零）

或${\mathit{X}}^{-1}\mathit{D}(\mathit{R})\mathit{X}=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{D}}^{(1)}(\mathit{R})& \mathbf{0}\\ \mathit{M}(\mathit{R})& {\mathit{D}}^{(2)}(\mathit{R})\end{array}\right)$
则此表示D(G)称为可约表示，否则称为不可约表示。

• 若设$\overline{D}(R)=X^{-1}D(R)X$，则由前面等价表示的定义知，$\overline{D}(G)$与$D(G)$是等价表示。
  $\overline{D}(R)$也是一个表示矩阵。
• 当D(G)是可约表示时，两个子矩阵$D^{(1)}(R)\text{ 和 }{D}^{(2)}(R)$的集合也分别构成群G的表示：

  证明：由于对任何一个R，故对RS也成立，即有：
  
  又因为D(G)是表示，元素对应，元素的乘积也对应，故D(RS)=D(R)D(S)。
  又因为
  

  $$X^{-1}D(R)D(S)X=X^{-1}D(R)X{X}^{-1}D(S)X=\left(\begin{array}{cc}{D}^{(1)}(R)& M(R)\\ 0& D^{(2)}(R)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{D}^{(1)}(S)& M(S)\\ 0& D^{(2)}(S)\end{array}\right)$$

  
  由以上两个矩阵相等知，
  
  元素对应，元素乘积也对应，故得证：两个子矩阵$D^{(1)}(R)\text{ 和 }{D}^{(2)}(R)$的集合也分别构成群G的表示。

• 元素在可约表示中的特征标等于在子表示的特征标之和
  
  

  证明：

• 可约表示的表示空间 存 在 着 非平庸的不变子空间， 反之亦 然（背）
  
  这就是可约表示的含义：意味着可约表示的表示空间 存 在 着 更小的不变子空间，注意$\overline{D}(G)$与$D(G)$等价，它们的表示空间相同，只是基不同。
  与这个不变子空间相补的子空间不是不变子空间，除非$\overline{D}(R)$是对角阶梯型矩阵。
  

2）表示可约性的等价定义：表示空间存在非平庸不变子空间的表示称为可约表示，否则称为不可约表示

对这个定义中“存在”二字的理解：在这个表示空间中，可能对于表示D(G)（即当取基${\psi }_{\mu }$时），表示矩阵不是阶梯型，则[只由基矢构成的子空间]不是非平庸不变子空间，但这个表示空间还是存在不变子空间，因为可以取向量（注意此时还不是基矢）${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3$构成的一个空间，当算符$P_R$作用时，仍在这个空间中，所以是不变子空间，只不过不是由基矢${\psi }_{\mu }$构成的空间（这里需要仔细思考才能理解）。但是当取原基线性组合得到新基${\phi }_{\mu }$时（即对于表示$\overline{D}(G)$），若是阶梯型的表示矩阵，则由基矢${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3$构成的子空间是非平庸的不变子空间。此时，表示D(G)称为可约表示。（其实对于$\overline{D}(G)$，也能称为可约表示，因为满足可约表示的定义）。

3）完全可约表示

如果D(G)的表示空间存在两个互补的不变子空间，可在两个子空间中分别取一组基（在前面的例子中，一个子空间基是${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3$，另一个子空间的基是${\phi }_4、{\phi }_5、{\phi }_6、{\phi }_7$），构成整个表示空间的一组完备基（${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3、{\phi }_4、{\phi }_5、{\phi }_6、{\phi }_7$），在这组基下

该表示D(G)称为完全可约表示，表示的这种形式$\overline{D}(G)$称为已约表示。

• 完全可约表示的表示空间可写为两个互补的不变子空间的直和
  

  直和是什么，没时间，以后再说

• 对于不能完全约化的可约表示，其非平庸不变子空间的相补子空间不是不变子空间

  以上内容在1）中都说明了。

4）定理：有限群的可约表示是完全可约的

可约表示说的是“每一个表示矩阵D(R)都能通过同一相似变换X化成同一形式的阶梯矩阵（左下角为0或右上角为0等）”.
这个定理的含义：对有限群来说，对于表示D(G），如果它是可约的（即可以通过相似变换矩阵X约化为阶梯型，即D(G)是可约表示），则存在相似变换矩阵XY，使得表示D(G)的每一个表示矩阵D(R)都能通过同一相似变换XY化成同一形式的对角阶梯矩阵（左下角和右上角都为0）:
。
从表示空间来说，如果这个表示空间中能够存在非平庸的不变子空间（即可约），则这个表示空间中存在两个相补的非平庸不变子空间。（也可以存在一个是不变子空间，另一个相补的空间不是不变子空间的情况，这是对应相似变换X的情况）

以上的含义是从下面定理证明中得知的。

定理证明：


这个证明过程具体见老师讲课，省略

5)寻找群的所有表示—>寻找所有不等价表示—>寻找所有不等价不可约表示

把若干个不可约表示直和起来，就构成一个已完全约化的可约表示。该可约表示没有给出任何新的性质：它的表示空间是若干个不可约表示的表示空间的直和，空间中的矢量可唯一地分解为分属各子空间的矢量之和，分别按各不可约表示变换。
可约表示不会给出任何新的东西。所以我们应该把它的范围缩小:寻找群的所有表示—>寻找所有不等价表示—>寻找所有不等价不可约表示.
对于有限群来说，只需要研究不等价不可约幺正表示，因为前面有一个定理的相关结论中说了，对有限群，只需研究幺正表示。

6)有限群的表示D(G)或者是不可约的，或者可以约化为一系列不可约表示$D^{(j)}(G)$的直和：

比如若$D^{(1)}(G)$和$D^{(2)}(G)$相同，则a1为2.
$D^{(j)}(G)$：第j个不可约表示。
这等价于，有限群的表示空间$\mathcal{L}$可以约化为一系列不变子空间${\mathcal{L}}^{(j)}$的直和：

7)一些公式

不重要，前面都背了。

1.3节 群代数和有限群的正则表示

1.群函数

• 群函数：以群元素为自变量的函数称为群函数，常记作F(G)（注意G是群）
  群函数：输入一个群元素R，输出一个东西，输入另一个群元素S，又输出一个东西。（背）
• 群函数可以是数值函数、矢量函数、矩阵函数等
  表示矩阵其实是一个群函数，是矩阵函数，因为输入R，输出矩阵D(R），输入S，输出D(S）。
  表示矩阵的某行某列的矩阵元也是一个群函数，是数值函数，比如对D3群的二维表示，输入R，输出D(R）的第一行第一列的元素，输入S，输出D(S）的第一行第一列的元素。m维表示矩阵给出$m^2$个这样的群函数。
  特征标也是群函数，输入R，输出D(R）的特征标，虽然同一类元素特征标相等，但可以两个自变量对于一个因变量。

2.群空间：群元素为基（自然基），其所有复线性组合构成的线性空间（背）

线性空间：矢量空间，定义了加法数乘，和一些性质。
线性代数：在线性空间中定义矢量的乘法，并且对乘法封闭，则就是线性代数。
内积空间：如果在线性空间中引入长度、内积的概念，就是内积空间，比如欧式空间，闵氏空间，希尔伯特空间。

老师说，不用再问这个加法是说什么。这是定义，规定。

• 群空间：群元素为基（自然基），其所有复线性组合构成的线性空间（背）
  
  • 群空间的维数为群的阶数。
  • 群元素的任何线性组合都是群空间的一个矢量，如$X=\sum _{R\in G}F(R)R$
  • 群空间的矢量满足线性空间矢量的一般性质。
  • 一个矢量的坐标对应一个群函数F(G）的g个函数值。（背）
    类似线性空间，群空间中的基不一定需要取群元素，如果取群元素为基，则称为自然基。
    群空间的矢量和群函数一一对应。
    一个矢量的坐标对应一个群函数F(G）的g个函数值。（背）
    
    
  • 群空间只有g个线性无关的矢量，故群空间线性无关的群函数的数目等于群的阶数g（背）。
  • 群空间可以选群元素为基，称为自然基，也可以任选g个线性无关的矢量为基

    “群空间只有g个线性无关的矢量”这是规定吧。

3.群代数：在群空间中定义矢量乘法，...，这样的群空间称为群代数

• 线性代数：在线性空间引入矢量乘法，要求线性空间关于乘法封闭，且满足分配律，这样的线性空间称为线性代数或代数
  
• 群代数：
  • 在群空间定义矢量乘法：数与数作普通乘法，群元素与群元素按群的元素乘积规则相乘。
    两个矢量相乘得到一个新矢量：
    
    设。
    大括号中是一个T的函数，形式类似，故这是一个新的矢量。
    以上定义的乘法满足分配律，且群空间关于此乘法是封闭的（因为两个矢量相乘得到一个新矢量），这样的群空间称为群代数，用符号$\mathcal{L}$来标记.

4.正则表示

1）群 G 的 正则表示

• 群代数中，群元素既是矢量（或矢量基），又可看作线性算符（当它左乘到群代数的矢量上，使矢量按一定规则变成群代数中另一个矢量）
• 把作为算符的S左乘到作为矢量基的R上，得到群代数中的一个矢量，将得到的矢量用矢量基展开，展开系数排列成矩阵，构成算符S在矢量基R中的矩阵形式D(S)
  （背）
  
• 矩 阵 D(S) 的集合构成 群 D(G) ， 且是与群 G 同构的群 。（背）
  证明：矩 阵 D(S) 与线性算 符 S 一一对应。
  

  证：

D(T)D(S) 与 TS 按同一规则一一对应

证：即要证

元素对应，元素乘积对应，故由第二章中集合与群同构的定理知，矩 阵 D(S) 的集合构成 群 D(G) ， 且是与群 G 同构的群 。得证。

• 群 G 的 正则表示（ 左 正则表示 ）：矩 阵 D(S) 的集合构成的矩阵群D(G) （背）

2）正则表示（ 左 正则表示 ）的性质

• 正则表示的表示空间是群代数
  

  由表示空间的定义知。

• 正则表示是真实表示
  

  真实表示：同构。正则表示是一一对应的，同构。

• 每个有限群都有正则表示
  

  证：根据正则表示的定义，显然。

• 正则表示的维数等于有限群的阶数
• 当S=E时，元素S在正则表示中的特征标为g；当S$\ne$E时，元素S在正则表示中的特征标都为零
  
  

  证明：
  

• 正则表示是实正交表示
  

  证：正则表示中，表示矩阵中矩阵元是1或0，故是实的；由于表示矩阵中每一行只有一个是1，其他是0，故
  
  知是正交矩阵。得证。

3）由群的乘法表求正则表示（左正则表示）的方法：

求正则表示就是要求出正则表示的表示矩阵中哪些系数为1：
根据乘法表和


就可以求出正则表示的表示矩阵；先求出生成元的表示矩阵，根据矩阵乘法就能求出正则表示的所有表示矩阵。（背，重要，这个“根据”在前面倒数第二个性质中证明了）

5.内禀群 老师说不重要，了解一下。应该不考。算了。

1.4节 有限群的表示理论

1.舒尔定理:

1）舒尔定理 :

设 $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 是群 $G$ 的两个不等价不可约表示，维数分别为 $m_1$ 和 $m_2,X$ 是一个 $m_1\times m_2$ 矩阵，如果对每一个元素 $R$ 都有 $D^{(1)}(R)X=X{D}^{(2)}(R)$这样一个关系, 则 $X=0.$

1.$D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 是群 $G$ 的两个不等价不可约表示：比如前面完全可约表示一节中，$X^{-1}D(R)X=\left(\begin{array}{cc}{D}^{(1)}(R)& 0\\ 0& D^{(2)}(R)\end{array}\right)$，其对角线的两个矩阵分别是G的两个不等价不可约表示的表示矩阵，此时，$D^{(1)}(G)$表示空间是${\phi }_1、{\phi }_2、{\phi }_3$为基矢的空间 ，$D^{(2)}(G)$的表示空间是${\phi }_4、{\phi }_5、{\phi }_6、{\phi }_7$为基矢的空间，这两个表示空间互补。
2.定理证明：
证明：因为不可约表示的表示空间不存在非平庸的不变子空间，故如果找到低于表示维数的不变子空间，它必是零空间。下面对不同情况证明X矩阵的行（列）矩阵构成的空间是零空间。


(2) $m_1=m_2:此时X是方阵，$ 若 $\det X\ne 0,$ 则存在逆矩阵 $X^{-1},X^{-1}{D}^{(1)}(R)X=D^{(2)}(R)$ 表明两表示等价，与假设矛盾; 若 det $X=0$, 则 $X$ 的列矩阵线性相关，它只能架 起维数低于 $m_1$ 的空间，该空间对 $D^{(1)}(G)$ 保持不变，只能是零空间。
在线性代数中，如果列矩阵线性相关，其秩一定比维数低，它应该有一个维数低于m1的空间。

具体见群论13第20分钟。没时间。

2）舒尔定理的等价描述：

设 $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 是群 $G$ 的两个不可约表示，如 果对每一个元素 $R$ 都有 $D^{(1)}(R)X=X{D}^{(2)}(R)$ 这个关系, 则
(1) 若 $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 不等价, $,$ 则 $X=0$

这就是前面说的舒尔定理的内容。

(2) 若 $X\ne 0,$ 则 $D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 必等价

因为在$X\ne 0,$时，如果不等价的话，$D^{(1)}(R)X=X{D}^{(2)}(R)$ 这个关系是不可能成立的，故$D^{(1)}(G)$ 和 $D^{(2)}(G)$ 必等价。

3）舒尔定理推论

推论一：与不可约表示 $D(G)$ 的所有表示矩阵 $D(R)$ 都对易的矩阵必为常数 矩阵，即若 $D(R)X=XD(R),$ 则 $X=\lambda I,\lambda$ 为常数

证明: 取 $X$ 的任一本征值 $\lambda ,$ 令 $Y=X-\lambda I$, 由于$X-\lambda I=0$是本征方程，故 det $Y=0,$ 这说明 $Y$ 的列矩 阵是线性相关的，能架起维数更低的子空间，由于$D(R)X=XD(R)$ ,故$D(R)Y=YD(R),$ 故该 子空间对 $D(G)$ 保持不变，由于$D(G)$是不可约表示，因而此子空间只能是零空间，即 $Y=0,$ 即得 $X=\lambda I.$得证。

推论二：有限群表示不可约的充要条件是不可能找到非常数矩阵与所有表示矩阵对易。
这是判断有限群表示可约和不可约的一个方法，不过不方便。

证明：对不可约表示，由推论一知，一定找不到非常数矩阵与所有表示矩阵对易。
对可约表示，由于完全可约，可约化为方块矩阵，由于

故总能找到非常数矩阵与之对易。得证。
方块矩阵总能找到非常数矩阵与之对易

2.正交定理

在群空间一节说过，群空间中一个矢量的坐标对应一个群函数F(G）的g个函数值。（背）
，其坐标：

1）群空间两矢量的点乘或两群函数的内积定义为

• 群空间中取自然基时，自然基的基矢的内积：$⟨\mathit{R}\mid \mathit{S}⟩={\mathit{\delta }}_{RS}$
• 对群空间中的两个矢量：$\mathit{X}=\sum _R{\mathit{F}}_1(\mathit{R})\mathit{R},\mathit{Y}=\sum _S{\mathit{F}}_2(\mathit{S})\mathit{S}$ ，群空间中两个矢量的内积：就是矢量的坐标按矩阵乘法相乘：
  
  $$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\sum _R\sum _S{\mathit{F}}_1(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{F}}_2(\mathit{S})⟨\mathit{R}\mid \mathit{S}⟩=\sum _R{\mathit{F}}_1(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{F}}_2(\mathit{R})$$
• 两矢量正交：内积为零称为两矢量正交。
• 矢量的模方：同一矢量的点乘称为矢量的模方。

  定义了内积，其实就是进入了”内积空间“

2）一个矢量$X=\sum _{R}F(R)R$的坐标可以取为不可约表示 $D^i(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F(G)的g个函数值

群 $G$ 的不可约表示 $D^i(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元 $D_{\mu v}^i(R)$ 是群 $G$ 的一 个群函数。
群空间中以群元素为基的一个矢量$X=\sum _{R}F(R)R$的坐标可以取为不可约表示 $D^i(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F(G)的g个函数值，即这个群函数F(G)对应群空间中以群元素为基的一个矢量。
m维表示矩阵给出$m^2$个这样的群函数，故对一个不可约表示 $D^i(G)$ ，共有$m_i^2$个这样的矢量。对不可约表示 $D^j(G)$ ，共有$m_j^2$个这样的矢量。

正交定理讨论有限群群空间中这些矢量间的正交关系。

1.表示矩阵的某行某列的矩阵元也是一个群函数，是数值函数，比如对D3群的二维表示，输入R，输出D(R）的第一行第一列的元素，输入S，输出D(S）的第一行第一列的元素。m维表示矩阵给出$m^2$个这样的群函数。
2.特别注意，当群空间中一个矢量$X=\sum _{R}F(R)R$的坐标取为表示D(G)的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F(G)的g个函数值时，表示D(G)所在的表示空间与群空间（群元素为基（自然基）构成的线性空间）没有任何关系。坐标的这种取法只是一种构造矢量的方法。

3）正交定理（背）：设有限群的两个不等价不可约幺正表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ ，群空间中以群元素为基的一个矢量$X=\sum _{R}F(R)R$的坐标可以取为不可约表示 $D^i(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F(G)的g个函数值，即$X=\sum _R{D}_{\mu \rho }^i(R)R$；另一个矢量$Y$的坐标类似地可以取为不可约表示 $D^j(G)$ 的表示矩阵的某行某列的矩阵元这个群函数F‘(G)的g个函数值，即$Y=\sum _S{D}_{\nu \lambda }^j(S)S$；这两个矢量满足正交关系：

$$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\sum _{\mathit{R}}{\mathit{D}}_{\mu \rho }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{D}}_{\nu \lambda }^j(\mathit{R})=\frac{g}{m_j}{\delta }_{ij}{\delta }_{\mu v}{\delta }_{\rho \lambda }$$

其中 $g$ 是群 $G$ 的阶, $m_j$ 是表示 $D^j$ 的维数, 当 $i=j$ 时, $D^i(R)=D^j(R)$。

证明: 取 $m_i\times m_j$ 矩阵 $Y(\mu v),$ 它只有第 $\mu$ 行第 $v$ 列元素不为零

$$Y(\mu v{)}_{\rho \lambda }={\delta }_{\mu \rho }{\delta }_{v\lambda }$$

定义 $m_i\times m_j$ 矩阵 $X(\mu v)$ ，其矩阵元素即为所求对象：

$$\begin{array}{c}X(\mu v)=\sum _{R\in G}{D}^i(R{)}^{-1}Y(\mu v)D^j(R)\\ X(\mu v{)}_{\rho \lambda }=\sum _{R\in G}\sum _{\tau \sigma }{D}_{\rho \tau }^i(R{)}^{-1}Y(\mu v{)}_{\tau \sigma }{D}_{\sigma \lambda }^j(R)=\sum _{R\in G}{D}_{\mu \rho }^i(R{)}^{\ast }{D}_{v\lambda }^j(R)=⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩\\ \text{ 则 }:X(\mu v)D^j(S)=\sum _{R\in G}{D}^i(R{)}^{-1}Y(\mu v)D^j(R)D^j(S)\\ =\sum _{R\in G}{D}^i(S)D^i(RS{)}^{-1}Y(\mu \nu )D^j(RS)=D^i(S)X(\mu \nu )\end{array}$$

得证。

4）正交定理的含义：

对一个不可约幺正表示 $D^i(G)$ ，共有$m_i^2$个这样的矢量。对不可约幺正表示 $D^j(G)$ ，共有$m_j^2$个这样的矢量。正交定理说，这$m_i^2$个矢量和$m_j^2$个矢量，它们之间是互相正交的，这$m_i^2$个矢量它们自己和自己也是正交的，只有当这两个矢量是同一个矢量时，模方（长度）是$g/m$（群G的阶数除以表示矩阵的维数），m是这个矢量所对应的不可约幺正表示的维数.

(1)可以去掉幺正性条件的限制：设有限群 $G$ 两个不同的不等价不可约表示，其各自某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量互相正交。（背，与例题有关）
根据正交定理知，设有限群 $G$ 两个不同的不等价不可约幺正表示，其各自某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量互相正交.
有限群的任一表示总可以由幺正表示通过相似变换得到。

因为有限群的表示等价于幺正表示，任何一个表示的表示矩阵可以通过相似变换化为幺正表示，则幺正表示也可以通过相似变换化为有限群的一个非幺正表示。

相似变换把表示矩阵的元素作线性组合，得到对应同一个群元素的 另一表示矩阵。
既然两个不同的不等价不可约幺正表示，其各自的某行某列的矩阵元素（即矩阵的矩阵元），作为群空间的矢量都互相 正交，则这些矩阵元素作线性组合后仍然正交。

因此在上面的表述中可以去掉幺正性条件的限制：设有限群 $G$ 两个不同的不等价不可约表示，其各自某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量互相正交。
(2) 有限群 $G$同一不可约幺正表示，其 $m^2$ 个某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量也互相正交，且它们的模方都等于群G的阶数除以表示矩阵的维数，即$g/m$，m是这个矢量所对应的不可约幺正表示的维数.（背，与例题有关）
注意这里不能去掉幺正性的限制，因为

• 例：D3群不可约表示矩阵元作为群空间矢量的正交性
  
  这三个表示就是前面讲线性表示时的例题。
  由于这三个表示的特征标不相等，故这三个表示不等价。
  由幺正表示的定义可以证明这三个是幺正表示。
  群空间一个矢量的坐标可以取为不可约不等价幺正表示的某行某列的矩阵元这个群函数的g个函数值：
  由正交定理的含义：
  
  (1)可以去掉幺正性条件的限制：设有限群 $G$ 两个不同的不等价不可约表示，其各自某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量互相正交。（背，与例题有关）
  (2) 有限群 $G$同一不可约幺正表示，其 $m^2$ 个某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量也互相正交，且它们的模方都等于群G的阶数除以表示矩阵的维数，即$g/m$，m是这个矢量所对应的不可约幺正表示的维数.（背，与例题有关）
  知，这六个矢量都是互相正交的，模长也可以计算出。

5）正交定理的推论（所有这些推论都不需要加幺正两个字。真的只需要背推论二和推论五）

• 推论一：有限群不等价不可约表示的维数平方和不大于群的阶数 ：$\sum _j{m}_j^2\le g$

虽然根据正交定理的含义（2）知，“群 $G$ 每个不可约表示提供 $m_j^2$ 个线性无关的矢量”这句话的前提是同一不可约幺正表示，但是“正交定理含义(2) 有限群 $G$同一不可约幺正表示，其 $m^2$ 个某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量也互相正交，且它们的模方都等于群G的阶数除以表示矩阵的维数”说的是 $m^2$ 个某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量也互相正交。对于不可约表示，当它不是幺正表示时，根据正交定理含义(2) 一节中的解释可以知道，$m^2$ 个某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量确实不正交，但是还是可以证明推论一这个结论成立。PPT中的这个证明少写了一些内容，其正确证明应该是：

推论一证明：正交的矢量必定线性无关; 群 $G$ 每个不可约幺正表示提供 $m_j^2$ 个线性无关的矢量，对于群G的不可约不幺正表示，可以相似变换，它会等价于一个幺正表示，先证明一个引理：这个幺正表示一定是不可约幺正表示。
引理证明：因为不知道这个幺正表示是否是可约的，故假设它是可约的幺正表示，由之前几节中


知道，此可约幺正表示还可以通过相似变换化为一系列不可约幺正表示直和。因为等价的传递性，故不可约不幺正表示等价于”一系列不可约幺正表示直和“，即此不可约不幺正表示一定可以通过相似变换化为”一系列不可约幺正表示直和“，这就说明这个不可约不幺正表示是”可约的“，这与不可约不幺正表示是不可约的这个前提矛盾。故对于群G的不可约不幺正表示，可以相似变换，它会等价于一个幺正表示，这个幺正表示一定是不可约幺正表示。引理得证。
而不可约幺正表示提供 $m_j^2$ （维数的平方）个线性无关的群空间的矢量，设这些矢量构成某一个”空间“，因为不可约不幺正表示可以相似变换化为这个不可约幺正表示，由正交定理含义(2) 中的解释

的（1）式知，$m^2$ 个某行某列的矩阵元，作为群空间的矢量确实不正交，但这些矢量是原来不可约幺正表示矩阵元矢量的线性组合，故不可约不幺正表示对应的这些矢量构成的”空间“与原来矢量构成的”空间“相同，维数相同，这个不可约不幺正表示对应的这些矢量构成的”空间“也是有 $m_j^2$ （相似变换联系起来的两个矩阵的维数相同，故这是不可约不幺正表示的表示矩阵的维数的平方）个线性无关的矢量，即群 $G$ 每个不可约不幺正表示提供 $m_j^2$ （不可约不幺正表示的表示矩阵的维数的平方）个线性无关的矢量。
综上，群 $G$ 每个不可约幺正表示提供 $m_j^2$ 个线性无关的矢量，但有限群群空间最多只能有 $g$ 个线性无关的矢量，故推论一得证。

• 推论二：有限群两个不同的不等价不可约表示的特征标，作为群空间的矢量互相正交，满足：$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\sum _{R\in G}{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$（背）
  有一个注意在后面。

  证明: 将正交关系式两边取 $\mu =\rho ,v=\lambda ,$ 并对 $\rho$ 和 $\lambda$ 求和，根据特征标的含义：对角线之和，知
  

  $$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{R\in G}\sum _{\rho \lambda }{D}_{\rho \rho }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{D}}_{\lambda \lambda }^j(\mathit{R})=\frac{g}{{\mathit{m}}_j}{\delta }_{ij}\sum _{\rho \lambda }{\delta }_{\rho \lambda }{\mathit{\delta }}_{\rho \lambda }\iff \sum _{R\in G}{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}\end{array}$$

  
  对右边的两个delta函数一个一个求和可以得证。

特别注意，虽然上面图中的证明过程是使用了正交定理的公式，正交定理在i=j时成立的前提是幺正表示。但是
特别注意，
是一个关于特征标的公式，只需要是有限群不等价不可约表示即可，它并不需要在i=j时成立的前提是幺正表示这个前提条件，此公式在i$\ne$j时也不需要幺正表示这个前提。

1.先证明公式

在i$\ne$j时，不需要幺正表示的条件：在i$\ne$j时，若没有幺正表示这个前提，由上面的证明过程再走一遍，知，确实等于0，故此公式在i$\ne$j时不需要幺正表示这个前提。
2.再证明不需要在i=j时成立的前提是幺正表示这个前提条件:
因为根据推论一的证明过程知，群G的不可约不幺正表示，可以相似变换，它会等价于一个同维的不可约幺正表示。（相似变换不改变维数）
因为等价，故此不可约不幺正表示与相似变换后得到的同维的不可约幺正表示的特征标对应相等，故当i=j时，对于不可约不幺正表示，将其相似变换化为同维不可约幺正表示，此幺正表示在会满足$\begin{array}{}\text{(2)}& \sum _{R\in G}{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^i(\mathit{R})=g\end{array}$，因为特征标对应相等，故对不可约不幺正表示，（2）也成立，故得证：

并不需要在i=j时成立的前提是幺正表示这个前提条件。

• 推论三：有限群不等价不可约表示的个数，不能大于群的类数 $：\sum _{j}1\le g_c$
  证明：特征标是类的函数，设第 $\alpha$ 个类中有 $n(\alpha )$ 个元素，故本来（1）中对所有元素求和，则可以化为对类求和，则
  
  $$\sum _{\alpha =1}^{g_c}n(\alpha ){\chi }_{\alpha }^{i\ast }{\chi }_{\alpha }^j=g{\delta }_{ij}$$
  
  类似群空间，建立类空间，类空间就是每一个类作为基，设类的个数为$g_c$ ，则类空间就是$g_c$维，类空间中最多有$g_c$ 个线性无关的矢量。

群 $G$ 每个不等价不可约表示的特征标提供类空 间 1 个线性无关的矢量：类空间正交归一矢量:
$\begin{array}{}\text{(3)}& \sqrt{n(\alpha )/g}{\chi }_{\alpha }^i\end{array}$，根据线性代数中正交向量组必定是线性无关的，知，这些矢量线性无关，但有限群类空间最多只能有 $g_c$ 个线性无关的矢量。得证。
因为公式(1)不需要幺正表示这个前提，故公式（3）也不需要。

• 例： $D_3$ 群不等价不可约幺正表示的特征标作为群、类空间矢量的正交性
  
• 推论四：有限群两表示等价的充要条件是每个元素在两表示中的特征标对应相等
  

  证明: 充分性性证明：有限群 $G$ 的可约表示 $D(G)$ 可约化为若干个不可约表示 $D^j(G)$ 的直和
  

  $$X^{-1}D(R)X=\underset{j}{⨁}{a}_j{D}^j(R),\chi (R)=\sum _j{a}_j{\chi }^j(R)$$

  
  $a_j$ 称为在表示 $D(G)$ 中不可约表示 $D^{\mathrm{\prime }}(G)$ 的重数
  由推论二$\sum _{R\in G}{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$, 上式两边乘 ${\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }/\mathit{g}$ 并对 $\mathit{R}$ 求和得 $a_j=\frac{1}{g}\sum _{R\in G}{\chi }^j(\mathit{R}{)}^{\ast }\chi (\mathit{R})$
  显然，若两表示$D(G)、\overline{D}(G)$的特征标相等，则相应的 $a_j$ 对应相等，两表示必等价
  
  上面就是老师的原话，我认为这个证明有很大问题，但没时间，没意义，算了，可以找其他书。或者我还没理解老师的证明。
  必要性证明：依照等价表示的定义，可以证明两表示等价则每个元素的特征标也对应相等。

• 推论五：判断有限群表示为可约表示还是不可约表示的方法：有限群表示为不可约表示的充要条件是：特征标模方对群元素求和等于g： $\sum _{R\in G}|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）

$\sum _{R\in G}|\chi (\mathit{R}){|}^2\ge g$：若 $D(R)$ 是可约表示, 则取 $⟩,$ 若是不可约表示, 则取 $=.$

证明：


得证。

• 例题：判断有限群表示为可约表示还是不可约表示的方法：
  有限群表示为不可约表示的充要条件是 ：特征标模方对群元素求和等于g： $\sum _{R\in G}|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）
  由于后面会证明，有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数，D3群有三个类，故只有三个不等价不可约表示：
  可以判断出
  
  因为特征标不是对应相等，故这三个表示不等价。
• 所有一维表示都是不可约的（背）

  可约的等价定义是说表示空间有一个更小的非平庸不变子空间，故一维表示是不可约的。也可以通过有限群表示为不可约表示的充要条件是：特征标模方对群元素求和等于g： $\sum _{R\in G}|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）来判断。

6）将可约表示向不可约表示约化（背，特别是背这3个公式）：

（1）根据
求出重数$a_j$，对任何一个可约表示，相当于是知道了约化之后右边的矩阵。
（2）根据
求出相似变换矩阵X（因为和已知）
（3）根据

求出荷载不可约表示的基。
因为是，而荷载是基，故有几个是和有关的，称这几个荷载$D^j(G)$。

复习：

7）找到一个群的所有不等价不可约表示的方法：

根据完备性定理一节得到的两条：
（1）有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数：$\sum _j{m}_j^2=g$.
（2）有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数：$\sum _{j}1=g_c$.
可以求出低阶群的不等价不可约表示。（背）
这给群的不可约表示很多限制。故一个群的不等价不可约表示是很有限的，可以通过这两条求出低阶群的不等价不可约表示，比如D3群，因为不等价不可约表示的个数等于类的个数，D3群有3个类，故它只有3个不可约表示，这三个表示的维数的平方和等于群的阶数6，三个数的平方和等于6，故这3个数只能为1，1，2.故D3群的不等价不可约表示是两个是一维的，一个是二维的。其它低阶群也类似。

例题1：D3群

• 先求出表示矩阵，再写出特征标表，
  
  
• 判断是否可约：有限群表示为不可约表示的充要条件是 ：特征标模方对群元素求和等于g： $\sum _{R\in G}|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）
  
  不等于6，故是可约表示。
  也可以通过前面例题知，因为不等价不可约表示的个数等于类的个数，D3群有3个类，故它只有3个不可约表示，就是前面例题中的3个。故这个三维表示是可约表示。
• 可约表示向不可约表示约化：
  （1）根据
  求出重数$a_j$，对任何一个可约表示，相当于是知道了约化之后右边的矩阵。
  根据（注意是对群元素求和，而同类元素特征标相同）和特征标表可以计算出：
  对一维恒等表示，重数：
  对一维非恒等表示：
  对二维表示：

（2）根据
求出相似变换矩阵X（因为和已知）
可以写出：

注意等式右边先写谁后写谁没有关系，也可以写成，没关系。只是因为这里D的表示矩阵
，故二维表示写在左上角，一维表示写在右下角时计算更简单。
根据前面例题已经求出的一维非恒等表示和二维表示，知：
对元素D：
对元素A：
根据以上两个公式可以解得

（3）根据

求出荷载不可约表示的基。
因为是，而荷载是基，故有几个是和有关的，称这几个荷载$D^j(G)$。

根据表示的计算过程：（这里R就相当于$P_R$)知，荷载之前的可约表示的基${\psi }_{\mu }$为$e_x、e_y、e_z$，根据求出，从而知道荷载二维表示的是${\varphi }_1$、${\varphi }_2$，荷载一维非恒等表示的是${\varphi }_3=e_z$。

例题2

（1）根据
求出重数$a_j$，对任何一个可约表示，相当于是知道了约化之后右边的矩阵。

（2）根据
求出相似变换矩阵X（因为和已知）


（3）根据

求出荷载不可约表示的基。
因为是，而荷载是基，故有几个是和有关的，称这几个荷载$D^j(G)$。
根据和可以求出
。
根据此顺序知，荷载二维表示的是${\varphi }_1$、${\varphi }_2$，荷载一维恒等表示的是${\varphi }_3$.

计算得：${\varphi }_3=x^2+y^2$，其是荷载一维恒等表示的物理原因：若此三角形在二维平面中，$x^2+y^2$是点到原点的距离，它在E,D,F,A,B,C变换下是不变的，故它荷载恒等表示。

例题3

${\varphi }_3=x^2+y^2$，在这题中它还是荷载一维恒等表示，其是荷载一维恒等表示的物理原因：若此三角形在二维平面中，$x^2+y^2$是点到原点的距离，它在E,D,F,A,B,C变换下是不变的，故它荷载恒等表示。

3.完备性定理（完备性定理及其推论3很重要，背：有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数；有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数）

1）完备性定理：有限群不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶数：$\sum _j{m}_j^2=g$

有限群的正则表示约化后，其所有不等价不可约表示都将出现，每个不等价不可约表示出现的次数等于其维数。因为没有零维的，故根据知道所有的不可约表示都会出现。
老师说这个证明当时他学时，他一直怀疑为什么对所有不可约表示都是成立的。说明老师也不是什么都聪明。这个问题是因为维数的平方和就是一个客观的数，不会依赖于取不取正则表示来推导。

2）完备性定理的推论

推论一：有限群不等价不可约幺正表示的矩阵元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作为群空间的矢量（一个$i\mu \nu$对应一个矢量），构成群空间的正交完备基，任何群函数 $F(G)$ 均可按它们展开（任何群函数$F(G)$对应的矢量可以由这组正交完备基展开）：

展开系数：

任何群函数$F(G)$对应的矢量可以由这组正交完备基展开：

1.推论一证明：根据正交定理知道有限群不等价不可约幺正表示的矩阵元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作为群空间的矢量互相正交。而这些矢量的个数是维数的平方和：$\sum _i{m}_i^2$，根据完备性定理知其等于g。根据线性代数中正交向量组必定是线性无关的，知，这些矢量线性无关，但有限群群空间只能有 $g$ 个线性无关的矢量，故这些矢量还是完备的，故这些矢量构成群空间的正交完备基。得证。
2.及展开系数的证明：

---

群空间正交完备基 $D_{\mu \nu }^i(G)$ 完备性的数学描述：
将上面的第二个公式代入上面的第一个公式，得

对比等式两边，因为对任意的R都成立，故

此式就是完备性定理的数学描述。
其正交性由正交定理给出：

---

群空间正交完备基 $D_{\mu \nu }^i(G)$ 的正交完备性
把群空间的正交完备基 $D_{\mu \nu }^i(G)$ 归一化，构造一个$g\times g$ 的U矩阵（背）:
（1）背

行指标$i\mu \nu$的个数：$\sum _i{m}_i^2$，其等于g
列指标R的个数：g
故矩阵（1）的含义：（1）是一个$g\times g$ 矩阵，其行矩阵就是矢量坐标（这些矢量取为$D_{\mu \nu }^i(G)$ 的g个函数值），对应（矩阵元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$作为群空间的）矢量。
行矩阵的正交归一给出基的正交性:
（2）
（3）

证明行矩阵的正交归一给出基的正交性：因为（3）是正交定理，故（3）成立，故（2）成立，即得证。

列矩阵的正交归一给出基的完备性：

证明同前面行矩阵正交归一。

---

例 $:D_3$ 群不可约表示矩阵元作为群空间矢量的正交、完备性

根据U矩阵的公式（1）就能写出下面这个表格，这个表格就是U矩阵。

---

推论二：有限群不等价不可约表示的特征标 ${\chi }^j(G)$ ，作为类空间的矢量（一个j对应一个矢量），构成类空间的正交完备基，任何类函数都可按它们展开（任何类函数$F(\beta )$对应的矢量可以由这组正交完备基展开）

（5）
展开系数：（6）

注意同类元素特征标相等。
任何类函数$F(\beta )$对应的矢量可以由这组正交完备基展开“的矩阵形式我没写，没时间。
类空间：类作为基

R和$SR{S}^{-1}$在同一个类中，因为是类函数，故$F(R)=F\left(SR{S}^{-1}\right)$。
根据正交定理推论二$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\sum _{R\in G}{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$可以从（5）得到（6）。

推论二证明：
正交可以从正交定理推论二知：
正交定理推论二：有限群两个不同的不等价不可约表示的特征标，作为群空间的矢量互相正交，满足：$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\sum _{R\in G}{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$（背）
下面证明完备，即证明为什么任何类函数可以按它们展开，即（5）为什么成立：

因为这证明了任何一个类函数都可以用这些特征标展开，故它们就是完备的。
推论二得证。

---

类空间正交完备基 ${\chi }^j(G)$ 完备性的数学描述：

因为此式对任何类都成立，故

此式就是类空间正交完备基 ${\chi }^j(G)$ 完备性的数学描述。
其正交性由正交定理推论二 给出 ：

---

类空间正交完备基 ${\chi }_{\alpha }^j$ 的正交完备性：
把类空间的正交完备基 ${\chi }_{\alpha }^j$ 归一化，构造一个 $g_c\times g_c$ 的V矩阵 :

$g_c$ 为有限群中类的个数
$n(\alpha )$ 为 $\alpha$ 类中群元素的个数
行矩阵的正交归一给出基的正交性：

列矩阵的正交归一给出基的完备性：

---

推论三：有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数$,\sum _{j}1=g_c$。（背，重要）

证明：因为完备性定理推论二：有限群不等价不可约表示的特征标 ${\chi }^j(G)$ 构成类空间的正交完备基，因为正交，故这些矢量是类空间线性无关矢量，因为完备，且类空间只有 $g_c$ 个线性无关的矢量（这些矢量是完备的，可以展开任何一个其他矢量），故正交完备基这些矢量的个数等于$g_c$ ；还可以从另一个方法计算这些正交完备基的个数：根据完备性定理推论二知，个数为$\sum _{j}1$。故$\sum _{j}1=g_c$。故推论三得证，有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数$,\sum _{j}1=g_c$。

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