群论第二章（2）

第二章（2）

第二章（2）
1.5节群的直乘和非固有点群 5.点群的Schönflies 分类及其之后的内容不考
1.群的直接乘积
直乘群:
a.定义
b.直乘群的例子：
c.直乘群的性质：
2.非固有点群
1)定义
2)非固有点群的性质
a.非固有点群G所包含的所有固有转动元素形成的集合H是群G的子群。
b.非固有点群G中所有的非固有转动元素只能属于子群H的同一个陪集，不可能有两个陪集。因此，子群H的指数为2，故它是非固有点群G的不变子群。
c.非固有点群分为两类：
d.由一个固有点群

G^{'}

得到非固有点群

G

的方法（背）：
3.I型非固有点群的种类
4.P型非固有点群的种类
5.点群的Schönflies 分类
1）在与转动轴k垂直的平面上的反射

σ_{k}

等于绕k轴转180度（用

C_{k} (π)

表示）再反演i，即

σ_{k} = i C_{k} (π)

2）像转轴（转动反射轴）：
3）记号
4）I 型非固有点群的Schönflies 分类：
5）P型非固有点群的Schönflies 分类：

1.5节群的直乘和非固有点群 5.点群的Schönflies 分类及其之后的内容不考

1.群的直接乘积

直乘群:

a.定义

设H1 和H2 是群G 的两个子群

满足三个条件：

(1) 除恒元 $R_{1} = S_{1} = E$ 外，子群 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 无公共元素

(2) 分属两子群的元素乘积可对易，即若 $R_{i} \in H_{1}, S_{j} \in H_{2}, 则 R_{i} S_{j} = S_{j} R_{i}$

(3)群G的所有元素都可以写成这两个子群元素相乘的形式，也即群G 是所有形如 $R_{i} S_{j}$ 的元素构成的集合{ $R_{i} S_{j}$ }

注意“所有”两个字，这是封闭性的要求。

则群G称为 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 的直乘群 ，记作

b.直乘群的例子：

c.直乘群的性质：

若群G为 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 的直乘群，则 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 都是群G的不变子群。

证明：这是由不变子群的定义来证明，

即要证明 $H_{1}$ 的所有左陪集都和对应的右陪集相等。
直乘群的阶等于两子群阶的乘积，即
因为恒元不太好说是公共的恒元，故群H1、H2作用在两个不同自由度上时，不好说它们是直乘群，但若：

比如自旋和轨道空间，此时这样的直乘群中H1、H2有公共元素恒元R1S1，表示在自旋空间、轨道空间中都不动。

2.非固有点群

1)定义

非固有点群既包含非固有转动元素，也包含固有转动元素。
非固有转动变换可以看作是固有转动变换和空间反演i的乘积，而i可以与任何转动变换对易，且其平方为恒元，因此，两个非固有转动元素的乘积是固有转动元素，非固有转动元素和固有转动元素的乘积是非固有转动元素。

i可以与任何转动变换对易:比如先转90再反演和先反演再转90得到的结果一样。

2)非固有点群的性质

a.非固有点群G所包含的所有固有转动元素形成的集合H是群G的子群。

恒元、结合律、逆元都满足，再判断封闭性：两个固有转动相乘也是一个固有转动，所以封闭性满足。

b.非固有点群G中所有的非固有转动元素只能属于子群H的同一个陪集，不可能有两个陪集。因此，子群H的指数为2，故它是非固有点群G的不变子群。

不可能有两个陪集的证明：反证法：

而子群、陪集元素个数都相同，在G中有2h个非固有元素，h个固有元素，而AG中有2h个固有元素，h个非固有元素，故其实不等于G，这与重排定理矛盾，故得证。
另一种证明方法：

c.非固有点群分为两类：

I型非固有点群：包含空间反演i的非固有点群G：

P型非固有点群：不包含空间反演i的非固有点群G

d.由一个固有点群 $G^{'}$ 得到非固有点群 $G$ 的方法（背）：

构成I型非固有点群G：将固有点群 $G^{'}$ 直乘 $V_{2} = E, i$ 构成I型非固有点群G。（背）
构成P型非固有点群G：若此固有点群 $G^{'}$ 包含指数为2的不变子群H，则将固有点群 $G^{'}$ 的所有陪集元素乘i，再和H的元素一起构成P型非固有点群 $G$ 。（背）（并且这样得到的非固有点群 $G$ 一定和之前的固有点群 $G^{'}$ 同构。）
将所有可能的固有点群写出来，看哪些固有点群包含有指数为2的不变子群，再由上面的方法即得到所有的P型非固有点群。

但老师没有证明有没有别的方法可以得到P型非固有点群。没时间。

3.I型非固有点群的种类

固有点群共五类：
I型非固有点群相应也分五类：

阿贝尔群的每个元素自成一类

后面4个老师没解释

4.P型非固有点群的种类

所有可能的固有点群中，包含有指数为2的不变子群H的固有点群G共四类：

注意中间两种并不重复，一个是选不变子群为 $C_{n}$ ，一个是选不变子群为 $D_{n}$ 。
P型非固有点群相应也分四类：

这里的R是固有点群G的陪集中的元素，将固有点群的所有陪集元素乘i，再和H的元素一起构成P型非固有点群。

约等号表示P型非固有点群和之前的固有点群同构。

5.点群的Schönflies 分类

研究晶体或分子对称性时，常用Schönflies分类方法。（其实只是一种表示，和之前的内容一样，只是取了新的名字）

1）在与转动轴k垂直的平面上的反射 $σ_{k}$ 等于绕k轴转180度（用 $C_{k} (π)$ 表示）再反演i，即 $σ_{k} = i C_{k} (π)$

证明：在三维坐标系中确实。

2）像转轴（转动反射轴）：

像转轴（转动反射轴）的物理意义：
绕k轴转 $\frac{2 π}{n}$ 再反射或绕k轴转 $\frac{2 π}{n}$ ，再转 $π$ ，再空间反演

3）记号

点群最高阶转动轴称为主轴，T群和I群例外，其一个二次轴为主轴；

T群：3个坐标轴是正四面体的二次轴
主轴的方向取为竖直方向；含主轴的平面称为铅垂面，与主轴垂直的平面称为水平面；
非固有点群中有包含关于水平面的反射（即前面说的反射等于关于主轴转 $π$ 再反演）时，用下标h标记；h：horizontal水平的
非固有点群中不包含关于水平面的反射，但包含关于铅垂面的反射（即水平面内含非固有二次轴）且水平面内有固有二次轴时，用下标d标记；

固有二次轴：n次固有转动轴：若绕空间固定轴转动 $2 π / n$ 角的变换R是系统的对称变换，则轴称为n次固有转动轴
非固有二次轴：一个反演乘二阶的转动元素的变换是系统的对称变换，则轴称为非固有二次轴
关于铅垂面的反射等价于水平面内含非固有二次轴，因为：
非固有点群中不包含关于水平面的反射，但包含关于铅垂面的反射且水平面内没有固有二次轴，用下标v标记；v：vertical垂直的
若所有元素都可由像转元素 $S_{n}$ 生成，则记为 $S_{n}$ 群。

4）I 型非固有点群的Schönflies 分类：

- n=1 时为无轴群{E, i} ，记为 $C_{i}$ ={E, i}
- $n \geq 2$ 且n为偶数，此时此I型非固有点群中包含关于水平面的反射（绕n 次轴转 $π$ 再反演），故将此I型非固有点群 $C_{n} \cup i C$ 记为
- $n \geq 2$ 且n为奇数，所有元素都可由像转元素 $S_{2 n}$ 生成，故将此I型非固有点群 $C_{n} \cup i C$ 记为
判断有没有关于水平面的反射就是要判断有没有绕主轴（竖直方向）转 $π$ 再反演。n为奇数时没有关于水平面的反射，再判断水平面内有没有固有二次轴。老师没讲，没时间。
因为二次轴是主轴，所以有关于主轴转180的，还有i反演，故有关于水平面的反射，故可以记为h