国科大量子场论笔记 相互作用场论3
1.理论的费曼规则
1)每一个顶角:
2)每一个传播子(内线)
3)每一个外线(外线是场算符和态缩并得到的)
4)在每一个顶角,强制要求4动量守恒
5)对每一个未决定的圈动量,引入一个圈积分:
6)除以可能存在的对称因子
7)例子:单圈图
综上,对此费曼图,费曼规则得到的S矩阵元的贡献:
2.理论的费曼规则
3.曼德斯坦姆变量
4.标量QED
定义缩并:可以证明:
1)例子
引入粒子流的箭头:
2)例2:还是标量QED:(我觉得有可能考,背)
ward恒等式:
5.费米子的费曼规则
1.2节 Yukawa理论和QED的费曼规则
1.Yukawa理论的费曼规则
1)狄拉克场算符:
2)场算符和外态的缩并(重要,背):
3)KG粒子作为外线的费曼规则:
4)顶角的费曼规则:
5)例1:
根据前面的费曼图和顶角费曼规则,外线费曼规则来直接得到不变振幅(31)式的方法:
费米狄拉克统计:
6)例2:
7)费米子双线型其实就可以当成一个玻色子型算符
8)闭合的费米子圈总是给出这种形式(考试会考)
2.QED(旋量QED)
2)QED的顶角
3)QED(旋量QED)
实验中测量的是非极化截面(考):
迹的一些计算方法
3.康普顿散射
1.1节
1.理论的费曼规则
1)每一个顶角:
2)每一个传播子(内线)
对零自旋的中性粒子,动量的流向向左向右其实都没关系
3)每一个外线(外线是场算符和态缩并得到的)
分别是粒子流入、流出
对标量理论,1;而对更复杂的理论,会有旋量波函数或极化矢量
4)在每一个顶角,强制要求4动量守恒
流入的动量和等于流出的动量和
5)对每一个未决定的圈动量,引入一个圈积分:
6)除以可能存在的对称因子
7)例子:单圈图
根据5,其有未决定的动量k,根据4,则圈的另一线的动量根据动量守恒确定了,是。
根据5,先写下圈积分:,根据1,顶角是
,根据3,外线都是1,根据2,
顺便提一下,对圈图来说,分母的一般很重要,而对树图来说,分母的不重要。
根据6,求对称因子:
每个顶角的是考虑缩并,有24种可能性,前一节课中一步一步算,得到了对称因子是1/2.
对称因子没有别的计算方法,就在直接算
对其他图:对t道的图:,可以计算发现对称因子也是1/2
对u道的图:
,可以计算发现对称因子也是1/2
综上,对此费曼图,费曼规则得到的S矩阵元的贡献:
2.理论的费曼规则
以前说过,因为的符号是负的,故这个理论不是一个真实的理论,没有稳定的基态,能量不囿于下。但是可以作为一个例子算微扰论。
考虑一个粒子衰变成两个粒子的过程:
,最后发现顶角:
考虑理论中两个粒子的散射,
可以发现,非平庸的散射振幅出现在阶:分别是s道,t道,u道,...
如果内线的动量被确定,就不需要引入
。
这些图称为树图,所有内线的动量被确定。
对s道,不变振幅:
对树图来说,分母的不重要,故这里舍去。
对t道,
对u道,
3.曼德斯坦姆变量
引入在粒子物理中2到2散射或1到3散射中很重要的运动学变量,称为:曼德斯坦姆变量:
对2到2散射:且可以证明:
可以证明:
如果考虑每个粒子都不相等,则(粒子的静质量的和)
4.标量QED
考虑(pi介子和光子)相互作用,
(1)
此理论有U(1)规范不变性。
是复的KG场论中对U(1)相位转动的守恒流,其守恒荷就是电荷,因为它和光子场直接耦合。
共轭动量:
标量QED(1)中这种相互作用项是导数耦合。
微扰论时,都是相互作用绘景。可以发现,即使有非协变项,最后也不影响,即使有非协变项,也会被传播子中的非协变项抵消。
散射算符即S算符可以写成:(2)
从路径积分量子化的角度更容易证明此公式。
场算符:
出于简单,写成:
定义缩并:可以证明:
外线缩并:
(规律是这种场算符和右矢缩并,得到的都是正频,不管是粒子还是反粒子)
(规律是这种场算符和左矢缩并,得到的都是负频,不管是粒子还是反粒子)
1)例子
考虑电子释放一个光子,波浪线代表光子,用虚的点划线代表带电的KG粒子。
将拉氏量密度(1)中的相互作用项代入散射算符公式(2),展开,得到:
再缩并:
;
故知道,第一个费曼规则:
电子辐射一个光子:
电子吸收一个光子:
写费曼规则时,只写顶角的信息,不写外线。
正电子辐射一个光子:
发现费曼规则:
一个光子变成电子+正电子:
(9)
引入粒子流的箭头:
不同于动量的箭头,我们在虚线上加箭头,对粒子来说,箭头的指向和动量方向一致,和时间方向也是一致的:
对反粒子来说:流向和正粒子是互逆的:
箭头方向必须是连续的,这种连续体现了电荷守恒。对带电荷的粒子,一般都会在粒子线上画一个箭头。但中性粒子,比如光子,不会在线上画箭头。
一个光子变成两个电子:这样电荷不守恒。
一个电子变成正电子加光子:
,电荷也不守恒,箭头不连续。
故,(9)及其以上的费曼规则可以总结为:
若虚线上的箭头和动量箭头一致,则:
若虚线上的箭头和动量箭头不一致,则有一个负号:
还可以证明海鸥顶角的费曼规则:
在计算时应和光子的极化矢量缩并。
2)例2:还是标量QED:(我觉得有可能考,背)
(12) 注意最后一个费曼图是海鸥顶角
在阶,有以上3个费曼图。
对t道费曼图:
其中是极化矢量,因为光子是在末态,故加一个复共轭。
但还有内线:KG传播子。还有反粒子、光子,故综上,不变振幅:
ward恒等式:
对于任何一个S矩阵元,当所有外线都是在壳时,对任何一个动量为k的光子,不变振幅可以写成这种形式:,还可以证明满足:
.
例如对(12)中三个费曼图的总和,可以证明。
后面在康普顿散射一节有关于这个定理的一个例子。
证明ward恒等式很难,算了。
5.费米子的费曼规则
编时算符:
(实际上应该写出、这样的狄拉克旋量场的指标,、取1,2,3,4)
定义=
时间更晚的在左边,但是当y在左边时(其实是当需要将场算符交换时),有一个负号
此在狄拉克场的费曼传播子一节讲过。
狄拉克场的费曼传播子是一个4X4矩阵(指标是):
=
和KG场论的费曼传播子相比,分母是一样的,分子多了一个
设
推广上面两个量的编时乘积,定义编时乘积:
=
=
其中,场算符的每次交换都乘一个负号。
- 定义正则排序:产生算符在湮灭算符左边。算符的每次交换产生一个负号:
- 两个狄拉克场的wick定理:
其中,两个狄拉克场的缩并:
可以证明,这两个狄拉克场的缩并等于费曼传播子(背):
=
还可以根据狄拉克场的等时量子化条件知:
- 对于在正则排序符号中的缩并:
(4.110)
缩并前将和交换,故有一个负号;交换之后是一个c数,故可以放到正则排序符号N的外面,故得到(4.110).
- 费米子场的wick定理:
(4.111)
- 玻色子场和费米子场都存在时的wick定理:
(其实这个公式也就是:对玻色子用玻色子场的wick定理规则,费米子用费米子场的wick定理规则)
不过其中对玻色子场,两个场算符交换,没有问题;但是对费米子场,对于在正则排序符号中的缩并,缩并前若将和交换,会有一个负号,等。
1.2节 Yukawa理论和QED的费曼规则
1.Yukawa理论的费曼规则
其中.
1)狄拉克场算符:
(21)
2)场算符和外态的缩并(重要,背):
与电子的缩并:电子在初态情况:
,再代入(21)
根据泡利不相容原理,只有正频部分有作用,将电子态写成产生算符作用于真空,然后根据产生算符和湮灭算符的对易关系,就能算出(22):
(22)
对(22),入射的是电子(可以根据为知、量子力学新讲和金老师高量讲义含时散射理论中相互作用绘景知道,S矩阵元的物理意义是:根据波函数的普遍物理诠释,S矩阵元:负无穷时刻的态在正无穷时刻跃迁到β态的概率幅,S矩阵元中右矢是初态),费曼图:
一般也会在粒子线上画箭头,称为费米子箭头,其物理意义和标量QED的物理意义相同。
注意,在每个流入的电子线旁还会写一个u旋量。
与在末态的电子缩并的情况:
(23)
在每个流出的电子线旁还会写一个旋量.
与在初态的正电子缩并的情况:
(24)
在每个流入的正电子线旁还会写一个旋量
与在末态的正电子缩并的情况:(25)
在每个流入的电子线旁还会写一个v旋量.
3)KG粒子作为外线的费曼规则:
4)顶角的费曼规则:
可以证明:
5)例1:
出于简单,省略自旋指标:
S算符根据戴森级数展开到g的一阶,其对S矩阵元的贡献:
(28)
因为此过程的初态和末态都是费米子,没有玻色子,故玻色子应该是在内线中,而内线是用费曼传播子表示,而缩并就会得到费曼传播子,故两个应该缩并:
将编时算符T换成N,再考虑N符号中所有可能的场算符的缩并、场算符与外线的缩并,此时就是在将整个wick定理代入(28)式了。
两个缩并之后提出来,得:
因为此过程只有电子,没有正电子,故根据(22)、(23)可以知道,缩并必须按照(22)、(23)来缩并。(28)的缩并的典型的贡献:
(29)
peskin117页说了,可以将系数中的1/2去掉,因为交换x和y会得到一个相等的项,故可以去掉。
实际上,Yukawa理论永远没有对称因子。
根据(29)可以得到费曼图:
省略计算(29)的过程,最后得到:
对其中任何一个函数积分,得:
=
故不变振幅im=(31)
不变振幅im是一个复数(c数),不算4x4的矩阵。
根据前面的费曼图和顶角费曼规则
,外线费曼规则来直接得到不变振幅(31)式的方法:
必须逆着费米子线写费曼规则!就能直接写出(31)式。58节25分钟。
费米狄拉克统计:
省略不写N,根据
,知道
(32.1)
而另一个费曼图:
(32.2)
(32.1)与(32.2)相差一个负号,而以上两个费曼图的差别在于相当于交换了和两个粒子。(32.1)与(32.2)相差一个负号是体现了费米狄拉克统计。
根据费曼规则可以写出以上两个图总的不变振幅:
=
6)例2:
根据费曼图可以写出缩并,使用wick定理,见58节28分钟。
最后得到:(33)
必须逆着费米子线写费曼规则!也可以写出(33).
注意,在此图中内线是费米子线,内线和外线的费米子箭头必须是连续的!
7)费米子双线型其实就可以当成一个玻色子型算符
处理wick定理时,若正则排序符号N中有一堆费米子双线型,比如计算:
注意整体一对移动时,不会有负号(可以利用移动一个场算符有一个负号来验证,确实)。这种费米子双线型其实就可以当成一个玻色子型算符.
将上面公式中的和
交换顺序,则变成:
=...
...
8)闭合的费米子圈总是给出这种形式(考试会考)
以后算QED:光子-光子散射:
或者Yukawa粒子散射:
中间都有费米子圈。
写wick定理时,会发现有:
逆着费米子线读,可以写出:
(37)
将(37)中最后的移到最前面,可以知道会出现一个(-1)系数,还可以证明这个正则排序(37)等于以下的迹:
(37)=
=
老师没有证明。
2.QED(旋量QED)
QED的相互作用项:V=
QED中才有的新的顶角:
(波浪线是光子)
光子传播子:
(两端是两个洛伦兹指标)
光子外线:
、
2)QED的顶角
考虑电子和电子库伦散射、电子和正电子库伦散射:
peskin书根据此计算出了库伦势的表达式。
3)QED(旋量QED)
相互作用拉氏量有两部分:电子场的QED相互作用+子场的QED相互作用
考虑:
散射算符S:
展开到阶,对其中的阶:
代入相互作用拉氏量, 最后得到:(因为没有光子在外线,故光子场应缩并):
...
可以发现,在领头阶只有一个费曼图(老师说费曼图的推导就不讲了):
背:逆着费米子箭头来读出费曼规则:从 开始读,就可以直接写出不变振幅:
(45)
这是一个c数,不是矩阵。
在树图中,一般忽略光子传播子中分母的,不重要,在圈图中才重要。
重新安排一下(45),并省略写自旋指标,得:
下面求:
求复共轭,注意下面是一个数,所以复共轭等于厄米共轭:
=
故不变振幅的模方:
(47)
实验中测量的是非极化截面(考):
初态制备的时候,大多数实验,电子束和正电子束是非极化的;子探测器末态时也无法分辨极化。故实验学家感兴趣的量是对初态电子和正电子的自旋s、s'求平均,对末态子的自旋r和r‘求和。
对初态电子自旋求平均:
这是因为:电子有两种极化,末态也有两种极化,故除以1/2.
对末态子的自旋求和:
初态自旋求平均,末态极化求和:
(48)
将(47)代入(48)中,注意只有和的自旋指标是s,利用狄拉克场中讲过的自旋求和公式:
(49)
得到:(48)==
(50)
写成迹的原因见peskin书
在(50)中代入极化求和公式(49)得到:
(51)
第一个迹对应的是电子线,第二个迹对应的是子线。
为了计算(51),考虑:
迹的一些计算方法
n个矩阵乘积的迹:
任意奇数个矩阵乘积的迹等于0.
乘以其他任何奇数个矩阵的迹等于0.
(58)
,最后一行右边是列维-希维塔张量。
利用(58)得到的表达式可以通过以下等式简化:
以上公式的证明见peskin书
在真实的物理过程中,电子的质量是0.5MeV,子的质量是电子质量的两百多倍。高能所的质心系能量是3GeV,这是电子质量的6000倍,故在任何好的情况下,可以将电子质量设为0,而保留子的质量,这会简化计算。
根据(51)和
,根据peskin书136页可以最后算出,在取电子质量为0时,散射截面:
(59)
在质心系,高能极限的散射截面:
在非相对论极限,散射截面是各向同性的:
以前讲过,螺旋度和手征性概念重合。
在非相对论极限下,不算螺旋度守恒,而是自旋守恒。
(59) 积分,得到总截面:
这个量称为R。
3.康普顿散射
前面所有的例子都没有光子作为外线的情况,这里就考虑这种情况:计算:
逆着费米子方向读,不变振幅:
可以证明,此不变振幅可以写成:
这种形式。可以验证满足ward等式,
在验证过程中会用到运动方程(狄拉克方程)。
光子的极化求和:
替换公式:(61)
(61)的证明:
考虑一个任意的QED过程,其具有动量k的外线光子,
根据ward等式和k=(k,0,0,k)知道:
,即
。
根据此公式可以发现:
最后一行正好等于:
故得证,可以用来代替
来对外部光子进行极化求和。
康普顿散射太复杂。