国科大量子场论笔记相互作用场论3

1.1节
1.

λ ϕ 4

理论的费曼规则
1）每一个顶角：
2）每一个传播子（内线）
3）每一个外线（外线是场算符和态缩并得到的）
4）在每一个顶角，强制要求4动量守恒
5）对每一个未决定的圈动量，引入一个圈积分：
6）除以可能存在的对称因子
7）例子：单圈图
综上，对此费曼图，费曼规则得到的S矩阵元的贡献：
2.

λ ϕ 3

理论的费曼规则
3.曼德斯坦姆变量
4.标量QED
定义缩并：可以证明：
1）例子
引入粒子流的箭头：
2）例2：还是标量QED：（我觉得有可能考，背）
ward恒等式：
5.费米子的费曼规则
1.2节 Yukawa理论和QED的费曼规则
1.Yukawa理论的费曼规则
1）狄拉克场算符：
2）场算符和外态的缩并（重要，背）：
3）KG粒子作为外线的费曼规则：
4）顶角的费曼规则：
5）例1：
根据前面的费曼图和顶角费曼规则，外线费曼规则来直接得到不变振幅（31）式的方法：
费米狄拉克统计：
6）例2：
7）费米子双线型其实就可以当成一个玻色子型算符
8）闭合的费米子圈总是给出

- T r [. . .]

这种形式（考试会考）
2.QED（旋量QED）
2）QED的顶角
3）QED(旋量QED)
实验中测量的是非极化截面（考）：
迹的一些计算方法
3.康普顿散射

1.1节

1. $λ ϕ 4$ 理论的费曼规则

1）每一个顶角：

2）每一个传播子（内线）

对零自旋的中性粒子，动量的流向向左向右其实都没关系

3）每一个外线（外线是场算符和态缩并得到的）

分别是粒子流入、流出

对标量理论，1；而对更复杂的理论，会有旋量波函数或极化矢量

4）在每一个顶角，强制要求4动量守恒

流入的动量和等于流出的动量和

5）对每一个未决定的圈动量，引入一个圈积分：

6）除以可能存在的对称因子

7）例子：单圈图

根据5，其有未决定的动量k，根据4，则圈的另一线的动量根据动量守恒确定了，是 $P_{A} + P_{B} - k$ 。
根据5，先写下圈积分：，根据1，顶角是，根据3，外线都是1，根据2，

顺便提一下，对圈图来说，分母的 $i e$ 一般很重要，而对树图来说，分母的 $i e$ 不重要。

根据6，求对称因子：
每个顶角的是考虑缩并，有24种可能性，前一节课中一步一步算，得到了对称因子是1/2.

对称因子没有别的计算方法，就在直接算

对其他图：对t道的图：，可以计算发现对称因子也是1/2
对u道的图：
，可以计算发现对称因子也是1/2

综上，对此费曼图，费曼规则得到的S矩阵元的贡献：

2. $λ ϕ 3$ 理论的费曼规则

以前说过，因为 $ϕ$ 的符号是负的，故这个理论不是一个真实的理论，没有稳定的基态，能量不囿于下。但是可以作为一个例子算微扰论。
考虑一个粒子衰变成两个粒子的过程：

，最后发现顶角：

考虑 $ϕ 3$ 理论中两个粒子的散射，

可以发现，非平庸的散射振幅出现在 $λ^{2}$ 阶：分别是s道，t道，u道，...

如果内线的动量被确定，就不需要引入
。
这些图称为树图，所有内线的动量被确定。
对s道，不变振幅：

对树图来说，分母的 $i e$ 不重要，故这里舍去。
对t道，

对u道，

3.曼德斯坦姆变量

引入在粒子物理中2到2散射或1到3散射中很重要的运动学变量，称为：曼德斯坦姆变量：
对2到2散射：且可以证明：

可以证明：
如果考虑每个粒子都不相等，则（粒子的静质量的和）

4.标量QED

考虑（pi介子和光子）相互作用，

（1）
此理论有U(1)规范不变性。
$j^{μ}$ 是复的KG场论中对U(1)相位转动的守恒流，其守恒荷就是电荷，因为它和光子场直接耦合。
共轭动量：

标量QED（1）中这种相互作用项是导数耦合。
微扰论时，都是相互作用绘景。可以发现，即使有非协变项，最后也不影响，即使有非协变项，也会被传播子中的非协变项抵消。
散射算符即S算符可以写成：（2）

从路径积分量子化的角度更容易证明此公式。

场算符：

出于简单，写成：

定义缩并：可以证明：

外线缩并：
（规律是这种场算符和右矢缩并，得到的都是正频 $e^{- i p . x}$ ，不管是粒子还是反粒子）
（规律是这种场算符和左矢缩并，得到的都是负频 $e^{i p . x}$ ，不管是粒子还是反粒子）

1）例子

考虑电子释放一个光子，波浪线代表光子，用虚的点划线代表带电的KG粒子。

将拉氏量密度（1）中的相互作用项代入散射算符公式（2），展开，得到：

再缩并：

；

故知道，第一个费曼规则：
电子辐射一个光子：

电子吸收一个光子：

写费曼规则时，只写顶角的信息，不写外线。

正电子辐射一个光子：

发现费曼规则：

一个光子变成电子+正电子：
（9）

引入粒子流的箭头：

不同于动量的箭头，我们在虚线上加箭头，对粒子来说，箭头的指向和动量方向一致，和时间方向也是一致的：

对反粒子来说：流向和正粒子是互逆的：

箭头方向必须是连续的，这种连续体现了电荷守恒。对带电荷的粒子，一般都会在粒子线上画一个箭头。但中性粒子，比如光子，不会在线上画箭头。
一个光子变成两个电子：这样电荷不守恒。
一个电子变成正电子加光子：
，电荷也不守恒，箭头不连续。

故，（9）及其以上的费曼规则可以总结为：
若虚线上的箭头和动量箭头一致，则：

若虚线上的箭头和动量箭头不一致，则有一个负号：

还可以证明海鸥顶角的费曼规则：

在计算时应和光子的极化矢量缩并。

2）例2：还是标量QED：（我觉得有可能考，背）

(12) 注意最后一个费曼图是海鸥顶角
在 $O (e^{2})$ 阶，有以上3个费曼图。
对t道费曼图：

其中 $ε$ 是极化矢量，因为光子是在末态，故加一个复共轭。
但还有内线：KG传播子。还有反粒子、光子，故综上，不变振幅：

ward恒等式：

对于任何一个S矩阵元，当所有外线都是在壳时，对任何一个动量为k的光子，不变振幅可以写成这种形式：，还可以证明 $m^{μ}$ 满足：.
例如对（12）中三个费曼图的总和，可以证明。
后面在康普顿散射一节有关于这个定理的一个例子。

证明ward恒等式很难，算了。

5.费米子的费曼规则

编时算符：
（实际上应该写出 $α$ 、 $β$ 这样的狄拉克旋量场的指标， $α$ 、 $β$ 取1，2，3，4）
定义=

时间更晚的在左边，但是当y在左边时（其实是当需要将场算符交换时），有一个负号

此在狄拉克场的费曼传播子一节讲过。

狄拉克场的费曼传播子是一个4X4矩阵（指标是 $α β$ ）：
=

和KG场论的费曼传播子相比，分母是一样的，分子多了一个

设
推广上面两个量的编时乘积，定义编时乘积：
==
其中，场算符的每次交换都乘一个负号。

定义正则排序：产生算符在湮灭算符左边。算符的每次交换产生一个负号：
两个狄拉克场的wick定理：

其中，两个狄拉克场的缩并：

可以证明，这两个狄拉克场的缩并等于费曼传播子（背）：
=
还可以根据狄拉克场的等时量子化条件知：
对于在正则排序符号中的缩并：
（4.110）
缩并前将 $ψ_{2}$ 和 $ψ_{1}$ 交换，故有一个负号；交换之后是一个c数，故可以放到正则排序符号N的外面，故得到（4.110）.
费米子场的wick定理：
（4.111）
玻色子场和费米子场都存在时的wick定理：
（其实这个公式也就是：对玻色子用玻色子场的wick定理规则，费米子用费米子场的wick定理规则）
不过其中对玻色子场，两个场算符交换，没有问题；但是对费米子场，对于在正则排序符号中的缩并，缩并前若将 $ψ_{2}$ 和 $ψ_{1}$ 交换，会有一个负号，等。

1.2节 Yukawa理论和QED的费曼规则

1.Yukawa理论的费曼规则

其中 $Γ = 1 o r i γ_{5}$ .

1）狄拉克场算符：

（21）

2）场算符和外态的缩并（重要，背）：

与电子的缩并：电子在初态情况：
，再代入（21）
根据泡利不相容原理，只有正频部分有作用，将电子态写成产生算符作用于真空，然后根据产生算符和湮灭算符的对易关系，就能算出（22）：
（22）
对（22），入射的是电子（可以根据为知、量子力学新讲和金老师高量讲义含时散射理论中相互作用绘景知道，S矩阵元的物理意义是：根据波函数的普遍物理诠释，S矩阵元：负无穷时刻的 $α$ 态在正无穷时刻跃迁到β态的概率幅，S矩阵元中右矢是初态），费曼图：

一般也会在粒子线上画箭头，称为费米子箭头，其物理意义和标量QED的物理意义相同。
注意，在每个流入的电子线旁还会写一个u旋量。

与在末态的电子缩并的情况：
（23）

在每个流出的电子线旁还会写一个 $\bar{u}$ 旋量.

与在初态的正电子缩并的情况：
（24）

在每个流入的正电子线旁还会写一个 $\bar{v}$ 旋量

与在末态的正电子缩并的情况：（25）

在每个流入的电子线旁还会写一个v旋量.

3）KG粒子作为外线的费曼规则：

4）顶角的费曼规则：

可以证明:

5）例1：

出于简单，省略自旋指标：

S算符根据戴森级数展开到g的一阶，其对S矩阵元的贡献：
（28）
因为此过程的初态和末态都是费米子，没有玻色子 $ϕ$ ，故玻色子 $ϕ$ 应该是在内线中，而内线是用费曼传播子表示，而缩并就会得到费曼传播子，故两个 $ϕ$ 应该缩并：

将编时算符T换成N，再考虑N符号中所有可能的场算符的缩并、场算符与外线的缩并，此时就是在将整个wick定理代入（28）式了。
两个 $ϕ$ 缩并之后提出来，得：

因为此过程只有电子，没有正电子，故根据（22）、（23）可以知道，缩并必须按照（22）、（23）来缩并。（28）的缩并的典型的贡献：
（29）
peskin117页说了，可以将系数中的1/2去掉，因为交换x和y会得到一个相等的项，故可以去掉。
实际上，Yukawa理论永远没有对称因子。
根据（29）可以得到费曼图：

省略计算（29）的过程，最后得到：

对其中任何一个 $δ$ 函数积分，得：
=
故不变振幅im=（31）
不变振幅im是一个复数（c数），不算4x4的矩阵。

根据前面的费曼图和顶角费曼规则，外线费曼规则来直接得到不变振幅（31）式的方法：

必须逆着费米子线写费曼规则！就能直接写出（31）式。58节25分钟。

费米狄拉克统计：

省略不写N，根据
，知道

（32.1）

而另一个费曼图：

（32.2）
（32.1）与（32.2）相差一个负号，而以上两个费曼图的差别在于相当于交换了 $p^{'}$ 和 $k^{'}$ 两个粒子。（32.1）与（32.2）相差一个负号是体现了费米狄拉克统计。
根据费曼规则可以写出以上两个图总的不变振幅：

=

6）例2：

根据费曼图可以写出缩并，使用wick定理，见58节28分钟。

最后得到：(33)

必须逆着费米子线写费曼规则！也可以写出(33).
注意，在此图中内线是费米子线，内线和外线的费米子箭头必须是连续的！

7）费米子双线型其实就可以当成一个玻色子型算符

处理wick定理时，若正则排序符号N中有一堆费米子双线型，比如计算：

注意整体一对移动时，不会有负号（可以利用移动一个场算符有一个负号来验证，确实）。这种费米子双线型其实就可以当成一个玻色子型算符.
将上面公式中的和交换顺序，则变成：
=......

8）闭合的费米子圈总是给出 $- T r [. . .]$ 这种形式（考试会考）

以后算QED：光子-光子散射：

或者Yukawa粒子散射：
中间都有费米子圈。
写wick定理时，会发现有：
逆着费米子线读，可以写出：
（37）
将（37）中最后的移到最前面，可以知道会出现一个（-1）系数，还可以证明这个正则排序（37）等于以下的迹：
（37）=
=

老师没有证明。

2.QED（旋量QED）

QED的相互作用项：V=
QED中才有的新的顶角：
（波浪线是光子）
光子传播子：
（两端是两个洛伦兹指标 $μ 、 ν$ ）

光子外线：
、

2）QED的顶角

考虑电子和电子库伦散射、电子和正电子库伦散射：

peskin书根据此计算出了库伦势的表达式。

3）QED(旋量QED)

相互作用拉氏量有两部分：电子场的QED相互作用+ $μ$ 子场的QED相互作用

考虑：
散射算符S：

展开到 $e^{2}$ 阶，对其中的 $e^{2}$ 阶：

代入相互作用拉氏量，最后得到：（因为没有光子在外线，故光子场应缩并）:
...

可以发现，在领头阶只有一个费曼图（老师说费曼图的推导就不讲了）:

背：逆着费米子箭头来读出费曼规则：从开始读，就可以直接写出不变振幅：
（45）
这是一个c数，不是矩阵。

在树图中，一般忽略光子传播子中分母的 $i ε$ ，不重要，在圈图中才重要。

重新安排一下（45），并省略写自旋指标，得：

下面求：
求复共轭，注意下面是一个数，所以复共轭等于厄米共轭：
=
故不变振幅的模方：
（47）

实验中测量的是非极化截面（考）：

初态制备的时候，大多数实验，电子束和正电子束是非极化的； $μ$ 子探测器末态时也无法分辨极化。故实验学家感兴趣的量是对初态电子和正电子的自旋s、s'求平均，对末态 $μ$ 子的自旋r和r‘求和。
对初态电子自旋求平均：
这是因为：电子有两种极化，末态也有两种极化，故除以1/2.
对末态 $μ$ 子的自旋求和：
初态自旋求平均，末态极化求和：
（48）
将（47）代入（48）中，注意只有 $u (p)$ 和 $\bar{u} (p)$ 的自旋指标是s，利用狄拉克场中讲过的自旋求和公式：

（49）
得到：（48）==（50）

写成迹的原因见peskin书

在（50）中代入极化求和公式（49）得到：
（51）
第一个迹对应的是电子线，第二个迹对应的是 $μ$ 子线。

为了计算（51），考虑：

迹的一些计算方法

n个 $γ$ 矩阵乘积的迹：

任意奇数个 $γ$ 矩阵乘积的迹等于0.

$γ^{5}$ 乘以其他任何奇数个 $γ$ 矩阵的迹等于0.

（58）

,最后一行右边是列维-希维塔张量。

利用（58）得到的表达式可以通过以下等式简化：

以上公式的证明见peskin书

在真实的物理过程中，电子的质量是0.5MeV， $μ$ 子的质量是电子质量的两百多倍。高能所的质心系能量是3GeV,这是电子质量的6000倍，故在任何好的情况下，可以将电子质量设为0，而保留 $μ$ 子的质量，这会简化计算。
根据（51）和
，根据peskin书136页可以最后算出，在取电子质量为0时，散射截面：
（59）

在质心系，高能极限的散射截面:
在非相对论极限，散射截面是各向同性的：

以前讲过，螺旋度和手征性概念重合。
在非相对论极限下，不算螺旋度守恒，而是自旋守恒。