第二章 贝里相位 最终版
关于贝里相位,**xiao di 的2010的综述**也写得很好,正确。还有周老师和陈老师的讲义也写得好。
关于量子绝热定理、绝热近似的条件:见曾谨言卷二,写得好
注:有关规范变换为什么是在波函数上乘一个e指数以及AB效应及其解释,见华中师范量子力学附件内容中贝里相位一章,写得好。
4.1 布洛赫定理和能带论
周期势场中的本征函数:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220202476-1858674184.png)
其中
有和晶格R相同的周期:
。对应的能量本征值满足
,是倒空间的周期函数,K是倒格矢。与指标n相联系的能量连续变化,它具有波矢k,组成了一个能带,能带指标为n。对于给定的n的本征值在倒空间是周期的;所有
的不同的值位于倒格子的第一布里渊区。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220203101-1488215718.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220203760-1666059645.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220204228-884892229.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220204753-1026311872.png)
根据泡利不相容原理,电子先填满最低的能量(热统有证明费米面),因此组成了有限密度电子系统的费米面。占据态的最高能量称为费米能级。在费米能级附近,如果一个能带部分被占据,它处于金属态。在这种情况,当一个外场加到系统中,场将使电子从平衡位置漂移,获得一个非零的总动量去组成一个电流的流动。如果能带完全填满,在价带和导带之间有能隙,它是绝缘体。在这种情况一个弱外场不能迫使电子离开占据态,而是循环。这是能带绝缘体的情况。如果能隙小于4电子伏特(粗略地),则即使在绝对零度时完全填充的满带对电导率没有贡献,但在有限温度,电子很容易从价带激发,是半导体。
4.2 贝里相位
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220205249-529601557.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220205778-1684658909.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220206375-995717704.png)
在布里渊区中一组确定的相位选择被称为确定规范【2010】。对于一个时间反演不变的系统,总是存在一个连续规范穿过布里渊区。对一个时间反演破缺的具有非零的陈数的系统,不存在这样的规范,所以连续规范必须被定义在布里渊区的块中【2010,2011】。然而任何物理的可观测量必须是规范独立的。
考虑系统哈密顿量随着参数变化
。我们对系统的循环演化很有兴趣,从
使得满足
。参数在参数空间沿着闭合路径C非常慢变化。为解决这个问题,我们先引入一个瞬时正交基矢,它是从在时刻t或每个
值的
的瞬时本征态中获得的。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220206934-317147494.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220207562-87757380.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220208219-1707196088.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220208698-500868229.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220209247-1669456495.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220209852-155986219.png)
这个方程没有完全决定
的基函数由于相位不确定性。然而我们能要求函数沿着闭合路径是光滑和单值的。这个方程也没有正确描述量子态的时间演化,相反,量子态应该被含时薛定谔方程决定:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220210367-437584883.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220210877-807714884.png)
在绝热近似中[4],如果很多瞬时态中的其中一个瞬时态(通常我们选择最低能量态或基态)能和其他瞬时态清楚地分开且时间演化很慢,则系统将保持在这个瞬时本征态。在这种情况,波函数能和
有关:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220211430-713887080.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220211893-1281139373.png)
以及:![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220212364-1445632563.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220212364-1445632563.png)
【(4.5)、(4.6)的证明:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220213337-1218847585.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220214211-2040153149.png)
由此(2.7)可以得到沈书(4.6)】
贝里相位可以表达为路径积分:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220214912-106209963.png)
其中贝里联络(贝里矢势):
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220215413-112633215.png)
【(4.7)、(4.8)的证明:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220217633-1726700827.jpg)
除了由对
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220218259-460945290.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220218874-1161786573.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220219385-1327724866.png)
如果我们做一个规范变换
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220219842-1858875499.png)
它变成:![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220220477-1463184815.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220220477-1463184815.png)
由(4.9)知:
是规范依赖的。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220221007-1680733684.png)
【(4.9)证明:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220222200-1623285278.jpg)
因此,
将被改变
对于初始和最后的点。对于系统沿着闭合回路C的循环演化且
,波函数的单值条件要求:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220222870-1158053534.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220223391-458252286.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220223929-1937303335.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220224424-656095575.png)
m为整数。因此对于一个闭合路径C,
是规范独立的(因为由(4.11)知道,
改变量是整数乘2pi,与
的形式无关,故贝里相位是规范不变的),现在它被称为贝里相位:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220225019-1306248307.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220225568-2094025973.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220226216-496051345.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220226796-655887322.png)
【(4.11)证明:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220243794-2112900295.jpg)
贝里联络明显是规范依赖的(因为由(2.11)知,不同的规范变换对应不同的
)。在一个规范变换
下(其中
是一个光滑、单值函数)贝里联络以一种通常的方式变换:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220244527-1193175707.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220245100-1879037763.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220245601-1570640965.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220246188-787456675.png)
因此,贝里相位将被改变
,其中T是路径C在被完成之后的(长)时间。在贝里之前,很多人认为,通过选择规范因子
,贝里相位能被抵消,因此贝里相位没有很大关系。这是错误的。我们考虑参数空间的闭合路径C,在长时间(T)之后,我们回到最初的参数
。对这样的路径,【我们选择本征态基矢为单值的】这个事实意味着当我们回到最初的参数位置,基矢必须相同:
。规范变换必须保持这个性质(我的理解:【在规范变换之后也必须是单值的】这就是一个规定,(2.1)后的说明说了单值的规定),所以
,因此
,m为整数。因此,在一个闭合回路下,除非贝里相位是2pi乘以整数,否则贝里相位不能被抵消。】
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220246693-869911632.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220245601-1570640965.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220247235-514771029.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220247759-810763668.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220248349-337822989.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220248870-574606118.png)
通过斯托克斯定理,贝里相位能表达成一个面积分:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220249312-454224537.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220249863-1786547473.png)
其中贝里曲率定义为:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220250482-1702256384.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220251054-780089476.png)
贝里曲率的分量:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220251568-1734770715.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220252057-825153585.png)
其中用
表示
。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220252551-87650756.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220253100-269171076.png)
【(4.14)(4.15)证明:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220255830-1054887334.jpg)
贝里曲率类似于电磁场中的磁场。利用基矢的完备性条件
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220256697-869217613.png)
和恒等式
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220257213-440665911.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220257670-1676702938.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220258267-379555037.png)
注意(4.18)中的
其实是应先算,应该加括号
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220258811-1006631865.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220259420-1375450727.png)
(4.18)只有对哈密顿量求导,避免了对态求导,而且此公式不依赖于相位,计算机输出的态可以直接代入(4.18)计算。贝里曲率也是规范独立的。(这段话的证明见为知Bernevig书第二章2.2节笔记)
It is noted that the Berry curvature in (4.15) is expressed in term of one state
,but that in (4.18) is expressed as a summation over all possible states. It reflects that the Berry curvature describes the global properties of a system, NOT the property of a single band.
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220259966-526685975.png)
(4.18)的分量形式:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202111/1939334-20211126101047984-1244957623.png)
另外一些公式:
(来自xiaodi2010综述)
若u_n有完备性,则:
故:
在二维情况,
【(4.17)、(4.18)证明:
1、先证明贝里相位是实数、贝里矢势
的每个分量是实数、
是纯虚数的证明:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220300486-1914927806.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220301025-707529925.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220302253-230414451.jpg)
注意划线的地方的说法ernern有一些问题,因为它其实是一个矢量,其实意思是说这个矢量的每个分量都是复数。(由此也可知,贝里矢势、贝里联络是每个分量都是实数)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220303659-2014446115.jpg)
2、(4.17)的证明:引进了哈密顿量,然后类似勒朗德变换,将对态的导数变成对哈密顿量的导数。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220306068-1966030732.jpg)
3、最后证明(4.18):
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220307809-2147278361.jpg)
】
考虑两能级系统作为例子。一般描述两能级系统的哈密顿量的形式:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220308374-1216578027.png)
能量本征值为
(少了一个1/2),并且两个能级在
交叉。参数空间中哈密顿量的梯度:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220308844-1795775758.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220309370-1315270957.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220309871-879892373.png)
我们发现贝里曲率有矢量形式:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220310391-1945327568.png)
这个曲率能被视为一个由在
的磁单极子激发的场。将贝里曲率对包含此磁单极子的球面的积分,得:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220310880-969291846.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220311426-1828344505.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220311958-1647291386.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220312552-662866835.png)
因此,一个点状“磁单极子”位于
,它激发了贝里曲率。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220310880-969291846.png)
两能级系统的三种规范以及没有好的规范,见a short course 书39-40页。
【(4.19)、(4.20)证明:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220314304-1968266888.jpg)
(4.21)、(4.22)证明:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220316297-43503878.jpg)
注意:上面的(4.21)式证明中说了选z轴平行于R,其实就是旋转系统的坐标轴使得R位于z轴。上面(4.21)式虽然是R位于z轴的情况下得到的,但旋转不变性意味着(4.21)式在R不位于z轴的一般情况也成立。旋转不变性应该有论文证明了。(这两句话在Bernvig书2.3.2节有)
(4.23)的证明可能需要像电磁学中证明电场的高斯定理一样(所以要证明应查电磁学书),需要对任何闭合曲面都证明(4.22)式,从而由任意闭合曲面都成立的(4.22)式和散度的体积分等于面积分从而证明(4.23)。(4.23)式可能不重要,证明略。
】
在布洛赫能带中,贝里曲率定义为:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220317073-544591386.png)
因为布里渊区在动量空间中有周期边界条件,布里渊区中
两个点是相同的,其中K是倒格矢,一个闭合路径能被实现当
扫过整个布里渊区。在这种情况,穿过布里渊区的贝里相位变成:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220317875-522309162.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220318302-854363920.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220318885-904566590.png)
(?)
以下从Bernvig书(2.23)开始的内容接沈顺清的书:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220319520-1974467936.png)
由此式知道,类似点电荷电场公式,
对应的磁单极子强度1/2.而对
能带,磁单极子有相反的强度-1/2.因此,我们发现参数空间的简并点具有源和漏的作用。如果我们在包含磁单极子的球面上对贝里曲率积分,我们得到2pi,因此贝里曲率在一个闭合流形上的积分等于2pi乘以里面包含的单极子的净数量。(如果我们有另一个简并度点,它会是2。)【?不懂闭合流形】
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220320030-1021547267.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220320534-201842805.png)
此贝里曲率在二维闭合曲面上的积分是一个整数(以2pi为单位)。这个整数称为Chern数。【?这句话的证明与上一句话有关,还不懂】
2.3.2 使用哈密顿方法求两能级系统
为了去真正理解一些东西,需要能去用不同的方法推导它。现在用一个规范不变的方法。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220321354-2012828574.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220321969-893039154.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220322503-1562423986.png)
书中直到(2.27)的内容见为知笔记沈书第四章,内容相同。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220323047-1251574336.png)
磁单极子位于简并点R=0(在沈书的情况,R=0对应
)。
是回路C对应的对简并点的立体角。从(2.27)知:相位因子独立于生成C的封闭曲面的选择(即和封闭曲面的选择无关),因为
只能通过4pi的倍数发生变化。
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220323641-1305282666.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220324115-1632071893.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220324638-1549803171.png)
【(2.27)证明:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220326505-186708921.jpg)
】
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220328422-1055090741.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220329026-558326168.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220329488-1669316664.png)
tuning 选择;subtended 对应
2.4 磁场中的自旋 略
2.5 贝里相位能测量吗
如果一个物理性质不能测量,则它在实验上不是有趣的。贝里相位具有重要的可测量的结果——本书的全部主题在某种程度上都是基于Berry相的结果。 但是,提出一个不涉及任何在晶格上的电子的简单实验非常容易。 想象一下Berry的论文[35]中提出的以下实验。 具有确定自旋态n的一束粒子被分开在两条路径中。 在一条路径上,
恒定,而在另一条路径上,
的大小恒定,但其方向围在绕着闭合路径C时缓慢变化,该路径C对应着一个立体角
。 通过这样的场的配置后,两个粒子束在探测器处汇合。 由于能量
仅取决于B的大小,而B的大小都是相同的,因此两个粒子束的动力学相因子相同。 但是,经历了
变化的粒子束获得了贝里相位。 衍射图样的强度为
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220329964-1451846772.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220330448-731212998.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220330959-383530463.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220331482-1704191419.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220331968-516692926.png)
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/1939334/202101/1939334-20210104220332635-1001505146.png)
随着磁场缓慢地变化,当经过路径C时,强度变化可以测量出来。
参考资料:
1.沈顺清拓扑绝缘体书
2.汪德新量子力学书
3.bernevig拓扑绝缘体书
4.D. Xiao, M.-C. Chang, and Q. Niu, Berry phase effects on electronic properties, Reviews of Modern Physics 82, 1959 (2010).
5.M.Lax的书: symmetry principles in solid state and molecular physics.
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