固体物理补充1：晶体状态方程中配分函数的推导

1. 还是采取简谐近似得到简正坐标的观点来求配分函数。在三维的每个原胞只有一个原子的体系中有3N个简正坐标（这个体系中只有三支声学支，原因见固体物理笔记本三维晶格振动结论），这3N个简正坐标相当于3N个独立的谐振子，

固体系统看成是3N个独立的简谐振子组成的系统(因为哈密顿量中不含交叉项，所以是独立的）。每个谐振子（即简正模）看成是一个粒子，共3N个粒子。由于每个谐振子有它的频率 $\omega_{i}$ （即 $\omega_{q}$ ），每个谐振子（即简正模）对应一个（q，w），故由此区别了每个谐振子，所以此系统看成是定域系统（因为可分辨。也即玻尔兹曼系统）。

2. （1）一个谐振子的能量（也即一个简正模的能量）为：

i：粒子序号
$n_{i}$ ：i粒子的量子数，也即代表i粒子量子态
（2）根据课件中“晶格振动的量子化”一节，系统能量（即系统能级，也即系统本征能量）为：

E_{s} = \sum_{i = 1}^{3 N} ε_{i} = \sum_{i = 1}^{3 N} (n_{i} + \frac{1}{2}) ħ ω_{i}

$E_{s}=\sum_{i=1}^{3N}\varepsilon _{i}=\sum_{i=1}^{3N} ( n_{i} +\frac{1}{2})ħ\omega _{i}$

{ $n_{i}$ }：各个粒子的量子态的分布的总的情况
s:系统量子态序号，一个{ $n_{i}$ }对应一个s
（3）再加上平衡势能（即各个原子处于平衡位置时的势能，是一个常数，见“第22章翻译”）才是系统总能量： $U_{l}+E_{s}$
（加上平衡势能的原因是在课件中“晶格振动的量子化”中“三维体系”中的势能展开中而忽略了平衡势能（由于平衡势能是常数），哈密顿量只包含了动能和简谐势能，但是平衡势能不能总是被忽略，正如我们已经在《solid state》第20章中知道的，它在决定晶体的绝对能量，平衡尺寸，平衡压缩性质时是至关重要的，所以现在加上平衡势能。）
3. 类似热力学统计物理笔记本中”经典理想气体“一节中定域系统的Z的推导，在理解笔记本中左页的求和号化为连乘号求和号的证明之后，可以推导：

\begin{aligned} Z & = \sum_{{n_{i}}} e^{- β (U_{l} + E_{s})} \\ (1) & = e^{- β U_{l}} \sum_{{n_{i}}} e^{- β \sum_{i} ε_{i}} \\ (2) & = e^{- β U_{l}} \prod_{i = 1}^{3 N} \sum_{n_{i}} e^{- β ε_{i}} \\ = e^{- β U_{l}} \prod_{i = 1}^{3 N} \sum_{n_{i} = 0}^{\infty} e^{- β (n_{i} + \frac{1}{2}) ħ ω_{i}} \\ (3) & = e^{- β U_{l}} \prod_{i = 1}^{3 N} e^{- \frac{1}{2} β ħ ω_{i}} [\sum_{n_{i} = 0}^{\infty} e^{- β n_{i} ħ ω_{i}}] \\ (4) & = e^{- β U_{l}} \prod_{i = 1}^{3 N} e^{- \frac{1}{2} β ħ ω_{i}} [\frac{1}{1 - e^{- β ħ ω_{i}}}] \\ (5) & = e^{- \frac{U_{l}}{k_{B} T}} \prod_{i = 1}^{3 N} \frac{e^{- \frac{1}{2} ħ ω_{i} / k_{B} T}}{1 - e^{- ħ ω_{i} / k_{B} T}} \end{aligned}

$\begin{align} Z&=\sum_{\left \{ n_{i} \right \}}e^{-\beta \left ( U_{l}+E_{s} \right )}\notag \\ &=e^{-\beta U_{l}}\sum_{\left \{ n_{i} \right \}}e^{-\beta\sum_{i}\varepsilon _{i}}\\ &=e^{-\beta U_{l}}\prod_{i=1}^{3N}\sum_{n_{i}}e^{-\beta \varepsilon _{i}}\\ &=e^{-\beta U_{l}}\prod_{i=1}^{3N}\sum_{n_{i}=0}^{\infty }e^{-\beta \left ( n_{i} +\frac{1}{2}\right)ħ\omega _{i} } \notag \\ &=e^{-\beta U_{l}}\prod_{i=1}^{3N}e^{-\frac{1}{2}\beta ħ\omega _{i} }\left [ \sum_{n_{i}=0}^{\infty}e^{-\beta n_{i}ħ\omega _{i}} \right ]\\ &=e^{-\beta U_{l}}\prod_{i=1}^{3N}e^{-\frac{1}{2} \beta ħ\omega _{i} }\left [ \frac{1}{1-e^{-\beta ħ\omega _{i}}} \right ]\\ &=e^{-\frac{U_{l}}{k_{B}T} }\prod_{i=1}^{3N}\frac{e^{-\frac{1}{2}ħ\omega _{i}/k_{B}T} }{1-e^{- ħ\omega _{i}/k_{B}T}} \\ \end{align}$

（1）到（2）的推导是根据热力学统计物理笔记本中左页的求和号化为连乘号求和号的证明（即使有两个量 $n_{i}$ 和 $\omega_{i}$ ，也能根据笔记本中的证明过程而类似证明（1）到（2）的推导也成立）。
（3）到（4）的推导是根据等比数列求和（或等比级数）或