CF1111D Destroy the Colony 题解 回滚背包

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/1111/D

题目大意：

有一个恶棍的聚居地由几个排成一排的洞穴组成，每一个洞穴恰好住着一个恶棍。

每种聚居地的分配方案可以记作一个长为偶数的字符串，第\(i\)个字符代表第\(i\)个洞里的恶棍的类型。

如果一个聚居地的分配方案满足对于所有类型，该类型的所有恶棍都住在它的前一半或后一半，那么钢铁侠可以摧毁这个聚居地。

钢铁侠的助手贾维斯有不同寻常的能力。他可以交换任意两个洞里的野蛮人（即交换字符串中的任意两个字符）。并且，他可以交换任意次。

现在钢铁侠会问贾维斯\(q\)个问题。每个问题，他会给贾维斯两个数\(x\)和\(y\)。贾维斯要告诉钢铁侠，从当前的聚居地分配方案开始，他可以用他的能力创造多少种不同的方案，使得与原来住在第\(x\)个洞或第\(y\)个洞中的恶棍类型相同的所有恶棍都被分配到聚居地的同一半，同时满足钢铁侠可以摧毁这个聚居地。

如果某一个洞里的恶棍在两种方案中类型不同，则这两种方案是不同的。

输入

第一行包含一个字符串\(s\) (\(2\leq |s| \leq 10^5\))，表示初始的聚居地分配方案。字符串\(s\)包含小写和大写英文字母，且长度为偶数。

第二行包含一个整数\(q\)——询问的数量。

接下来的\(q\)行中的第\(i\)行包含两个整数\(x_i\)和\(y_i\) (\(1\leq x_i, y_i \leq |s|\))——第\(i\)个问题中给贾维斯的两个整数。

输出

对于每个问题输出可能的分配方案数模 \(10^9+7\)。

解题思路：参考自 大佬的博客

需要注意的点：

1. \(x_i\) 可能等于 \(y_i\)
2. 等于 \(s_x\) 或 \(s_y\) 的字符总数可能大于 \(\frac{n}{2}\)
3. 字符集大小不超过 \(26 \times 2 = 52\)，可以预处理（或记忆化）所有的答案（不然会 TLE 第10个点）。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
const long long mod = 1e9 + 7;

char s[maxn];
int n, q, x, y, cnt[52];
long long f[maxn], fac[maxn] = {1};

long long fpow(long long a, int b) {
    long long res = 1, t = a % mod;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1)
            res = res * t % mod;
        t = t * t % mod;
    }
    return res;
}

long long inv(long long a) {
    return fpow(a, mod-2);
}

void init(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
}

int t(char c) {
    assert(isalpha(c));
    if (islower(c)) return c - 'a';
    return c - 'A' + 26;
}

map<pair<int, int>, long long> mp;

int main() {
    scanf("%s%d", s+1, &q);
    n = strlen(s+1);
    assert(n % 2 == 0);
    init(n/2);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cnt[t(s[i])]++;
    long long tmp = fac[n/2] * fac[n/2] % mod;
    for (int i = 0; i < 52; i++)
        tmp = tmp * inv(fac[ cnt[i] ]) % mod;
    f[0] = 1;
    for (int i = 0; i < 52; i++) {
        int w = cnt[i];
        if (!w) continue;
        for (int j = n/2; j >= w; j--) {
            f[j] += f[j-w];
            f[j] %= mod;
        }
    }
    while (q--) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        x = t(s[x]), y = t(s[y]);
        int tot;
        if (x == y)
            tot = cnt[x];
        else
            tot = cnt[x] + cnt[y];
        if (tot > n/2) {
            puts("0");
            continue;
        }
        if (mp.count({x, y})) {
            printf("%lld\n", mp[{x, y}]);
            continue;
        }
        for (int i = cnt[x]; i <= n/2; i++)
            f[i] = (f[i] - f[ i-cnt[x] ] + mod) % mod;
        if (x != y) {
            for (int i = cnt[y]; i <= n/2; i++)
                f[i] = (f[i] - f[ i-cnt[y] ] + mod) % mod;
        }
        long long res = tmp * f[n/2] % mod * 2 % mod;
        mp[{x, y}] = mp[{y, x}] = res;
        printf("%lld\n", res);
        for (int i = n/2; i >= cnt[x]; i--)
            f[i] = (f[i] + f[ i-cnt[x] ]) % mod;
        if (x != y) {
            for (int i = n/2; i >= cnt[y]; i--)
                f[i] = (f[i] + f[ i-cnt[y] ]) % mod;
        }
    }
    return 0;
}