CF1967B2. Reverse Card (Hard Version) 题解 数学题

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/1967/B2

题目大意：

给你两个整数 $n$ 和 $m$，有满足如下条件的有序整数对 $(a, b)$ 一共有多少个：

• $1 \le a \le n$ 且 $1 \le b \le m$；
• $b \cdot \gcd(a,b)$ 是 $a + b$ 的倍数。

解题思路：

设 $\gcd(a, b) = k$，$a = Ak$，$b = Bk$

则

$(A+B) k \ |\ Bk \cdot k$

两边同时除以 $k$，得：

$(A+B) \ |\ B \cdot k$

又因为 $\gcd(A, B) = 1$，得 $\gcd(A+B, B) = 1$（即 $(A+B)$ 和 $B$ 互质），所以

$(A+B) \ | \ k$

所以 $A \lt k$，$B \lt k$.

又因为

$a = Ak \le n$，所以 $k \le \frac{n}{A}$

所以 $A \lt k \le \frac{n}{A}$ 得 $A^2 \lt n$

$b = Bk \le m$，所以 $k \le \frac{m}{B}$

所以 $B \lt k \le \frac{m}{B}$ 得 $B^2 \lt m$

所以可以 $O(\sqrt{nm} \log{nm})$ 的时间复杂度枚举互质的数对 $(A, B)$（多出来的 $log$ 是求 $\gcd$），

然后 $k$ 能够取的数最大是 $\min( \lfloor \frac{n}{A} \rfloor , \lfloor \frac{m}{B} \rfloor )$，

又因为 $(A+B) \ | \ k$

所以满足条件的 $k$ 的取值有 $\lfloor \dfrac{ \min( \lfloor \frac{n}{A} \rfloor , \lfloor \frac{m}{B} \rfloor ) }{ A+B } \rfloor$ 种可能。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int T, n, m;

long long cal(int n, int m) {
    long long res = 0;
    for (int A = 1; A * A < n; A++) {
        for (int B = 1; B * B < m; B++) {
            if (__gcd(A, B) > 1) continue;
            res += min(n/A, m/B) / (A+B);
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        printf("%lld\n", cal(n, m));
    }
    return 0;
}