CF1784C Monsters (hard version) 题解 线段树

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/1784/C

题目大意：

你面前有 $n$ 只怪兽，每只怪兽都有一个初始血量，你可以进行两类操作：

• 操作1：选择任意一个血量大于 $0$ 的怪兽，并将它的血量降低 $1$；
• 操作2：将所有存活的怪物的血量各自减去 $1$，如果存在怪物的血量恰好降为 $0$（即这只怪物之前的血量为 $1$，现在变为 $0$ 了），则操作2不会结束，而是继续将所有存活的怪兽的血量再各自减去 $1$，如果仍有怪物的血量恰好降为 $0$，则继续将所有存活的怪兽的血量再各自减去 $1$，……，如是操作，直至某次操作后不存在怪物的血量恰好降为 $0$，或者所有的怪物都被消灭为止。

你有 $n$ 个子问题需要单独讨论，第 $i$ 个子问题你需要回答出对于前 $i$ 值怪兽，将其全部消灭最少需要进行几次操作1。

解题思路：

对于任何一个前缀，最优解肯定是先进行若干次操作1，最后进行一次操作2整体清零。

并且进行操作2的时候，所有的数字升序之后肯定是连续的，假设进行到当前操作的时候有 $m$ 个不同的数字。

那么对于每一个数字 $x$，先将 $x$ 加进去，如果加入 $x$ 之后有 $k_x$ 个数值 $\le x$ 的有效数字，则：

• 如果 $k_x \le x$，则 $x$ 肯定可以作为有效数字；
• 如果 $k_x \gt x$，则 $x$ 必然无效

而且一旦 $x$ 无效，对于所有的 $y \ge x$，均要 $k_y \leftarrow k_y + 1$

但是如果加入 $x$ 之后，存在一个 $y$ 满足 $k_y \gt y$（因为 $k_y$ 增加了 $1$），则 $y$ 将由有效变为无效。

此时，有效的数字 $x$ 需要加入，无效的数字 $y$ 需要删除（即用 $x$ 替代 $y$），即答案加上 $x - y$（$x$ 和 $y$ 可能是一样的）。

所以我们可以用线段树维护一个区间信息。

然后我们其实就需要判断 $x - k_x \lt 0$ 是否有即可。

因为一开始所有 $k_x = 0$，所以我们可以维护一个区间 $[1, n]$，一开始第 $x$ 个点对应的数值为 $x$，

每当碰到一个数 $x$，就先将区间 $[x, n]$ 范围内每个数都减小 $1$，然后判断区间里有没有点对应的数值 $\lt 0$，如果存在某个点 $y$ 的数值 $\lt 0$，就说明 $k_y \gt y$，就说明加进来的是一个无效的点，找到最小的 $\lt 0$ 的 $y$，答案加上 $x$ 减去 $y$，因为增加了一个减去 $y$ 的操作，所以区间 $[y, n]$ 范围内的每个数都要加上 $1$。

否则，加入的是一个合法的点。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 5;
int T, n, a[maxn];

int tr[maxn<<2], lazy[maxn<<2];
void push_up(int rt) {
    tr[rt] = min(tr[rt<<1], tr[rt<<1|1]);
}
void push_down(int rt) {
    if (lazy[rt]) {
        tr[rt<<1] += lazy[rt];
        lazy[rt<<1] += lazy[rt];
        tr[rt<<1|1] += lazy[rt];
        lazy[rt<<1|1] += lazy[rt];
        lazy[rt] = 0;
    }
}
#define lson l, mid, rt<<1
#define rson mid+1, r, rt<<1|1
void build(int l, int r, int rt) {
    lazy[rt] = 0;
    if (l == r) {
        tr[rt] = l;
        return;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    build(lson), build(rson), push_up(rt);
}
void add(int L, int R, int x, int l, int r, int rt) {
    if (L <= l && r <= R) {
        tr[rt] += x;
        lazy[rt] += x;
        return;
    }
    push_down(rt);
    int mid = (l + r) / 2;
    if (L <= mid) add(L, R, x, lson);
    if (R > mid) add(L, R, x, rson);
    push_up(rt);
}
int query(int l, int r, int rt) {
    if (l == r) {
        return tr[rt] < 0 ? l : -1;
    }
    push_down(rt);
    int mid = (l + r) / 2;
    return (tr[rt<<1] < 0) ? query(lson) : query(rson);
}

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a+i);
        int m = 0;
        long long res = 0;
        build(1, n, 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            add(a[i], n, -1, 1, n, 1);
            int x = query(1, n, 1);
            if (x == -1)
                m++, res += a[i] - m;
            else
                add(x, n, 1, 1, n, 1), res += a[i] - x;
            printf("%lld ", res);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

注：本题还有一种使用 multiset 并且反着推的贪心做法，但是没看懂，可以参考一下 这份代码 ，等以后有机会再补充这个解法 但是 99% 会放鸽子

参考资料：

• CF原题解：https://codeforces.com/blog/entry/112875