CF1784C Monsters (hard version) 题解 线段树
题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/1784/C
题目大意：
你面前有 \(n\) 只怪兽，每只怪兽都有一个初始血量，你可以进行两类操作：
- 操作1：选择任意一个血量大于 \(0\) 的怪兽，并将它的血量降低 \(1\)；
- 操作2：将所有存活的怪物的血量各自减去 \(1\)，如果存在怪物的血量恰好降为 \(0\)（即这只怪物之前的血量为 \(1\)，现在变为 \(0\) 了），则操作2不会结束，而是继续将所有存活的怪兽的血量再各自减去 \(1\)，如果仍有怪物的血量恰好降为 \(0\)，则继续将所有存活的怪兽的血量再各自减去 \(1\)，……，如是操作，直至某次操作后不存在怪物的血量恰好降为 \(0\)，或者所有的怪物都被消灭为止。
你有 \(n\) 个子问题需要单独讨论，第 \(i\) 个子问题你需要回答出对于前 \(i\) 值怪兽，将其全部消灭最少需要进行几次操作1。
解题思路：
对于任何一个前缀，最优解肯定是先进行若干次操作1，最后进行一次操作2整体清零。
并且进行操作2的时候，所有的数字升序之后肯定是连续的，假设进行到当前操作的时候有 \(m\) 个不同的数字。
那么对于每一个数字 \(x\)，先将 \(x\) 加进去，如果加入 \(x\) 之后有 \(k_x\) 个数值 \(\le x\) 的有效数字，则：
- 如果 \(k_x \le x\)，则 \(x\) 肯定可以作为有效数字；
- 如果 \(k_x \gt x\)，则 \(x\) 必然无效
而且一旦 \(x\) 无效，对于所有的 \(y \ge x\)，均要 \(k_y \leftarrow k_y + 1\)
但是如果加入 \(x\) 之后，存在一个 \(y\) 满足 \(k_y \gt y\)（因为 \(k_y\) 增加了 \(1\)），则 \(y\) 将由有效变为无效。
此时，有效的数字 \(x\) 需要加入，无效的数字 \(y\) 需要删除（即用 \(x\) 替代 \(y\)），即答案加上 \(x - y\)（\(x\) 和 \(y\) 可能是一样的）。
所以我们可以用线段树维护一个区间信息。
然后我们其实就需要判断 \(x - k_x \lt 0\) 是否有即可。
因为一开始所有 \(k_x = 0\)，所以我们可以维护一个区间 \([1, n]\)，一开始第 \(x\) 个点对应的数值为 \(x\)，
每当碰到一个数 \(x\)，就先将区间 \([x, n]\) 范围内每个数都减小 \(1\)，然后判断区间里有没有点对应的数值 \(\lt 0\)，如果存在某个点 \(y\) 的数值 \(\lt 0\)，就说明 \(k_y \gt y\)，就说明加进来的是一个无效的点，找到最小的 \(\lt 0\) 的 \(y\)，答案加上 \(x\) 减去 \(y\)，因为增加了一个减去 \(y\) 的操作，所以区间 \([y, n]\) 范围内的每个数都要加上 \(1\)。
否则，加入的是一个合法的点。
示例程序：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 5;
int T, n, a[maxn];
int tr[maxn<<2], lazy[maxn<<2];
void push_up(int rt) {
tr[rt] = min(tr[rt<<1], tr[rt<<1|1]);
}
void push_down(int rt) {
if (lazy[rt]) {
tr[rt<<1] += lazy[rt];
lazy[rt<<1] += lazy[rt];
tr[rt<<1|1] += lazy[rt];
lazy[rt<<1|1] += lazy[rt];
lazy[rt] = 0;
}
}
#define lson l, mid, rt<<1
#define rson mid+1, r, rt<<1|1
void build(int l, int r, int rt) {
lazy[rt] = 0;
if (l == r) {
tr[rt] = l;
return;
}
int mid = (l + r) / 2;
build(lson), build(rson), push_up(rt);
}
void add(int L, int R, int x, int l, int r, int rt) {
if (L <= l && r <= R) {
tr[rt] += x;
lazy[rt] += x;
return;
}
push_down(rt);
int mid = (l + r) / 2;
if (L <= mid) add(L, R, x, lson);
if (R > mid) add(L, R, x, rson);
push_up(rt);
}
int query(int l, int r, int rt) {
if (l == r) {
return tr[rt] < 0 ? l : -1;
}
push_down(rt);
int mid = (l + r) / 2;
return (tr[rt<<1] < 0) ? query(lson) : query(rson);
}
int main() {
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a+i);
int m = 0;
long long res = 0;
build(1, n, 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
add(a[i], n, -1, 1, n, 1);
int x = query(1, n, 1);
if (x == -1)
m++, res += a[i] - m;
else
add(x, n, 1, 1, n, 1), res += a[i] - x;
printf("%lld ", res);
}
puts("");
}
return 0;
}
注：本题还有一种使用 multiset 并且反着推的贪心做法，但是没看懂，可以参考一下 这份代码 ，等以后有机会再补充这个解法 但是 99% 会放鸽子
参考资料：
