博弈论之SG函数 学习笔记
在许多地方曾经行过这样一个小游戏，摆出三堆硬币。分别包含3枚、5枚、7枚。两人轮流行动每次可以任选一堆，从中取走任意多枚硬币，可把一堆取完，但不能不取。取走最后一枚硬币者获得胜利。
这类游戏可以推广为更加一般的形式:
给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手能否必胜。
我们把这种游戏称为 NIM 博弈。把游戏过程中面临的状态称为 局面。整局游戏第一个行动的称为 先手，第二个行动的称为 后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏,则称该局面 必败。所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对手面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为 必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。NIM 博弈不存在平局，只有 先手必胜 和 先手必败 两种情况。
定理
NIM博弈先手必胜，当且仅当 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n \neq 0\)。
这里，\(\oplus\) 表示异或符号。
证明:
所有物品都被取光是一个必败局面(对手取走最后一件物品，已经获得胜利),此时显然有 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0\)。
对于任意一个局面，如果 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = x \neq 0\)，设 \(x\) 的二进制表示最高位的 \(1\) 在第 \(k\) 位,那么至少存在一堆石子 \(A_i\)，它的第 \(k\) 位是 \(1\)。显然 \(A_i \oplus x \lt A_i\)，我们就从 \(A_i\) 中取走若干石子，使其变为 \(A_i \oplus x\)，就得到了一个各堆石子数异或起来等于 \(0\) 的局面。
对于任意一个局面，如果 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0\)，那么无论如何取石子,到的局面下各堆石子异或起来都不等于 \(0\)。可用反证法证明，假设 \(A_i\) 被取成了 \(A_i'\)，并且 \(A_1 \oplus A_2 \oplus A_i' \oplus A_n = 0\)。由异或运算的消去律得 \(A_i' = A_i\)，与”不能不取石子”的规则矛盾。
综上所述，再由数学归纳法可知，\(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n \neq 0\) 为必胜局面，一定存在一种行动让对手面临“各堆石子异或起来等于 \(0\)”。\(A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0\) 为必败局面，无论如何行动，都会让对手面临一个“各堆石子异或起来不等于 \(0\)”的必胜局面。
证毕。
公平组合游戏ICG
若一个游戏满足:
- 由两名玩家交替行动；
- 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
- 不能行动的玩家判负。
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM 博弈属于公平组合游戏，但常见的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件 2 和条件 3。
有向图游戏
给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为 有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
Mex运算
设 \(S\) 表示一个非负整数集合。定义 \(mex(S)\) 为求出不属于集合 \(S\) 的最小非负整数的运算，即:
SG函数
在有向图游戏中，对于每个节点 \(x\)，设从 \(x\) 出发共有 \(k\) 条有向边，分别到达节点 \(y_1, y_2, \ldots, y_k\)，定义 \(SG(x)\) 为 \(x\) 的后继节点 \(y_1, y_2, \ldots, y_k\) 的 SG 函值构成的集合再执行 \(mex\) 运算的结果，即：
特别地，整个有向图游戏 \(G\) 的 SG 函数值被定义为有向图游戏起点 \(s\) 的 SG 函数值，即 \(SG(G) = SG(s)\)。
有向图游戏的和
设 \(G_1, G_2, \ldots, G_m\) 是 \(m\) 个有向图游戏，定义有向图游戏 \(G\)，它的行动规则是任选某个有向图游戏 \(G_i\)，并在 \(G_i\) 上行动一步。\(G\) 被称为优先图游戏 \(G_1, G_2, \ldots, G_m\) 的和。
有向图游戏的和的 SG 函数值等于它包含的各个子游戏 SG 函数值的异或和，即：
上述性质被称为 SG定义。SG定理的证明
定理
有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的 SG 函数值大于 \(0\)。
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的 SG 函数值等于 \(0\)。
我们不再详细证明该定理。读者可以这样理解:
在一个没有出边的节点上，棋子不能移动，它的 SG 值为 \(0\)，对应必败局面。
若一个节点的某个后继节点 SG 值为 \(0\)，在 mex 运算后，该节点的SG值大于 \(0\)。这等价于，若一个局面的后继局面中存在必败局面，则当前局面为必胜局面。
若一个节点的后继节点 SG 值均不为 \(0\)，在 mex 运算后，该节点的 SG 值为 \(0\)。这等价于，若一个局面的后继局面全部为必胜局面，则当前局面为必败局面。
对于若干个有向图游戏的和，其证明方法与 NIM 博弈类似。（即上面 SG定理的证明 ）
