博弈论之SG函数 学习笔记

在许多地方曾经行过这样一个小游戏，摆出三堆硬币。分别包含3枚、5枚、7枚。两人轮流行动每次可以任选一堆，从中取走任意多枚硬币，可把一堆取完，但不能不取。取走最后一枚硬币者获得胜利。

这类游戏可以推广为更加一般的形式:

给定 $n$ 堆物品，第 $i$ 堆物品有 $A_i$ 个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手能否必胜。

我们把这种游戏称为 NIM 博弈。把游戏过程中面临的状态称为 局面。整局游戏第一个行动的称为 先手，第二个行动的称为 后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏,则称该局面 必败。所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对手面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为 必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。NIM 博弈不存在平局，只有 先手必胜 和 先手必败 两种情况。

定理

NIM博弈先手必胜，当且仅当 $A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n \neq 0$。

这里，$\oplus$ 表示异或符号。

证明:

所有物品都被取光是一个必败局面(对手取走最后一件物品，已经获得胜利),此时显然有 $A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0$。

对于任意一个局面，如果 $A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = x \neq 0$，设 $x$ 的二进制表示最高位的 $1$ 在第 $k$ 位,那么至少存在一堆石子 $A_i$，它的第 $k$ 位是 $1$。显然 $A_i \oplus x \lt A_i$，我们就从 $A_i$ 中取走若干石子，使其变为 $A_i \oplus x$，就得到了一个各堆石子数异或起来等于 $0$ 的局面。

对于任意一个局面，如果 $A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0$，那么无论如何取石子,到的局面下各堆石子异或起来都不等于 $0$。可用反证法证明，假设 $A_i$ 被取成了 $A_i'$，并且 $A_1 \oplus A_2 \oplus A_i' \oplus A_n = 0$。由异或运算的消去律得 $A_i' = A_i$，与”不能不取石子”的规则矛盾。

综上所述，再由数学归纳法可知，$A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n \neq 0$ 为必胜局面，一定存在一种行动让对手面临“各堆石子异或起来等于 $0$”。$A_1 \oplus A_2 \oplus \ldots \oplus A_n = 0$ 为必败局面，无论如何行动，都会让对手面临一个“各堆石子异或起来不等于 $0$”的必胜局面。

证毕。

公平组合游戏ICG

若一个游戏满足:

1. 由两名玩家交替行动；
2. 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
3. 不能行动的玩家判负。

则称该游戏为一个公平组合游戏。

NIM 博弈属于公平组合游戏，但常见的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件 2 和条件 3。

有向图游戏

给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为 有向图游戏。

任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

Mex运算

设 $S$ 表示一个非负整数集合。定义 $mex(S)$ 为求出不属于集合 $S$ 的最小非负整数的运算，即:

$$mex(S) = \min\limits_{x \in \mathbb{N}, x \notin S} \{ x \}$$

SG函数

在有向图游戏中，对于每个节点 $x$，设从 $x$ 出发共有 $k$ 条有向边，分别到达节点 $y_1, y_2, \ldots, y_k$，定义 $SG(x)$ 为 $x$ 的后继节点 $y_1, y_2, \ldots, y_k$ 的 SG 函值构成的集合再执行 $mex$ 运算的结果，即：

$$SG(x) = mex(\{ SG(y_1), SG(y_2), \ldots, SG(y_k) \})$$

特别地，整个有向图游戏 $G$ 的 SG 函数值被定义为有向图游戏起点 $s$ 的 SG 函数值，即 $SG(G) = SG(s)$。

有向图游戏的和

设 $G_1, G_2, \ldots, G_m$ 是 $m$ 个有向图游戏，定义有向图游戏 $G$，它的行动规则是任选某个有向图游戏 $G_i$，并在 $G_i$ 上行动一步。$G$ 被称为优先图游戏 $G_1, G_2, \ldots, G_m$ 的和。

有向图游戏的和的 SG 函数值等于它包含的各个子游戏 SG 函数值的异或和，即：

$$SG(G) = SG(G_1) \oplus SG(G_2) \oplus \ldots \oplus SG(G_m)$$

上述性质被称为 SG定义。SG定理的证明

定理

有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的 SG 函数值大于 $0$。

有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的 SG 函数值等于 $0$。

我们不再详细证明该定理。读者可以这样理解:

在一个没有出边的节点上，棋子不能移动，它的 SG 值为 $0$，对应必败局面。

若一个节点的某个后继节点 SG 值为 $0$，在 mex 运算后，该节点的SG值大于 $0$。这等价于，若一个局面的后继局面中存在必败局面，则当前局面为必胜局面。

若一个节点的后继节点 SG 值均不为 $0$，在 mex 运算后，该节点的 SG 值为 $0$。这等价于，若一个局面的后继局面全部为必胜局面，则当前局面为必败局面。

对于若干个有向图游戏的和，其证明方法与 NIM 博弈类似。（即上面 SG定理的证明 ）