洛谷P8775 [蓝桥杯 2022 省 A] 青蛙过河 题解 贪心+二分答案

题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P8775

题目大意

小青蛙住在一条河边，它想到河对岸的学校去学习。小青蛙打算经过河里的石头跳到对岸。

河里的石头排成了一条直线，小青蛙每次跳跃必须落在一块石头或者岸上。不过，每块石头有一个高度，每次小青蛙从一块石头起跳，这块石头的高度就会下降 $1$，当石头的高度下降到 $0$ 时小青蛙不能再跳到这块石头上（某次跳跃后使石头高度下降到 $0$ 是允许的)。

小青蛙一共需要去学校上 $x$ 天课，所以它需要往返 $2x$ 次。当小青蛙具有一个跳跃能力 $y$ 时，它能跳不超过 $y$ 的距离。

请问小青蛙的跳跃能力至少是多少才能用这些石头上完 $x$ 次课。

解题思路

不妨看一下 CF965D Single-use Stones 这道题，然后你就会发现两道题目几乎一摸一样。

本题只是在 CF965D 的基础上加了一个二分。

两道题最主要要解决的问题都是一样的，就是：

如何计算当跳跃能力为 $k$ 时最多能够上多少次课。

解决这个问题的方法有很多，我使用的是 贪心，思路是这样的：

当跳跃能力为 $k$ 时，对于第 $i$ 块石头，能跳到它的石头对应的区间是 $[i-k, i-1]$，此时必然优先选下标小的。为什么呢？因为如果 $i-k$ 和 $i-k+1$ 都可以选择，我选择 $i-k$ 必然更优，因为留下来的 $i-k+1$ 还可以跳到第 $i+1$ 个石头，但是如果留下来 $i-k$，是不能跳到第 $i+1$ 个石头的。所以，对于第 $i$ 块石头，优先选择下标 $i$ 的石头作为其前一步的石头能够导致我的剩余局面最优，符合贪心思想。

那么，同样的道理反过来思考，如果我当前在第 $i$ 个石头，我能够跳到的石头的区间范围是 $[i+1, i+k]$，我也会优先选择下标大的那个石头跳过去。

所以可以设计一个 cal(k) 函数，其返回跳跃能力为 $k$ 时最多能够上多少次课。

然后，答案的区间范围是 $[1, n]$，所以在区间 $[1, n]$ 范围内二分判断 cal(k) >= 2*x 就能够找到能上至少 $2x$ 次课的最低跳跃能力了。

示例程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 5;

int n, x, h[maxn], c[maxn];

int cal(int k) {
    memset(c, 0, sizeof(int)*(n+1));
    h[0] = c[0] = h[n] = 2e9;
    stack<int> stk;
    for (int i = 1; i < k; i++) stk.push(i);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i+k <= n && h[i+k]) stk.push(i+k);
        while (c[i] && !stk.empty() && stk.top() > i) {
            int j = stk.top();
            // i --> j
            int t = min(c[i], h[j] - c[j]);
            c[i] -= t;
            c[j] += t;
            if (c[j] == h[j]) stk.pop();
        }
    }
    return c[n];
}

int main() {
    cin >> n >> x;
    for (int i = 1; i < n; i++) cin >> h[i];
    int l = 1, r = n, res;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (cal(mid) >= 2 * x) {
            res = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else l = mid + 1;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}