CCF CSP第一次认证1.5 任务调度 题解 动态规划

题目描述

有若干个任务需要在一台机器上运行。它们之间没有依赖关系，因此，可以被按照任意顺序执行。

该机器有两个 CPU 和一个 GPU。对于每个任务，你可以为它分配不同的硬件资源:

1. 在单个 CPU 上运行。
2. 在两个 CPU 上同时运行。
3. 在单个 CPU 和 GPU 上同时运行。
4. 在两个 CPU 和 GPU 上同时运行。

一个任务开始执行以后，将会独占它所用到的所有硬件资源，不得中断，直到执行结束为止。第 $i$ 个任务用单个 CPU，两个 CPU，单个 CPU 加 GPU，两个 CPU 加 GPU 运行所消耗的时间分别为 $a_i$， $b_i$， $c_i$ 和 $d_i$。

现在需要你计算出至少需要花多少时间可以把所有给定的任务完成。

输入格式

输入的第一行只有一个正整数 $n(1 \le n \le 1000)$， 是总共需要执行的任务个数。

接下来的 $n$ 行每行有四个正整数 $a_i$, $b_i$, $c_i$, $d_i$$(1 \le a_i, b_i, c_i, d_i \le 10)$， 以空格隔开。

输出格式

输出只有一个整数，即完成给定的所有任务所需的最少时间。

样例输入

3
4 4 2 2
7 4 7 4
3 3 3 3

样例输出

7

样例解释

有很多种调度方案可以在 $7$ 个时间单位里完成给定的三个任务，以下是其中的一种方案：

同时运行第一个任务(单 CPU 加上 GPU)和第三个任务(单 CPU)， 它们分别在时刻 $2$ 和时刻 $3$ 完成。在时刻 $3$ 开始双 CPU 运行任务 $2$，在 时刻 $7$ 完成。

题目分析

本题的解决实际上可以分为两个步骤：

1. 为每个任务在 $4$ 种硬件资源中选择适当的一种；
2. 安排所有任务的执行顺序。

先对步骤1进行分析，不难发现，硬件资源的分配模式中存在某些微妙的关系，如下图所示：

执行方案	不占用GPU	占用GPU
不占用CPU	不可行	不可行
占用一个CPU	$a_i$	$c_i$
占用两个CPU	$b_i$	$d_i$

可以得出以下规律和性质：

• 程序运行至少会占用一个CPU。
• 程序可能张勇更多资源且花费更多时间，这种情况不是优化的，需要排除。

由于一共只有两个CPU，每个程序又至少会占用一个，所以最多有两个程序同时运行。而且，如果有两个程序同时执行，则这两个程序分配到的最远必须均为一个CPU。为了方便表述，将占用 $x$ 个CPU和 $y$ 个GPU的方案记为 $xCyG$，至此又会得到以下结论：

• $2C0G$ 和 $2C1G$ 都意味着不可能与其它程序并行，所以可以合并，时间取较小值。
• $1C0G$ 可以和 $1C1G$ 并行，两个 $1C0G$ 也可以并行，但是两个 $1C1G$ 不能并行。

因此，可以将两个CPU分梨，认为其中一个CPU附带GPU，这并不会对答案造成影响，即模型被修改为如下形式：

• 有一个 CPU+GPU（将这二者视为整体）和一个 CPU。
• 每个任务可以选择占用 CPU+GPU、CPU 或者 两个都占用，这 $3$ 种占用方式占用的时间不同。

接下来考虑任务顺序。可以发现，对于占用全部资源的任务，可以调度其在最开始就运行。这样，在开始的一段时间，资源是满载的，不需要等待资源释放就可以运行。而对于其它任务，由于任务之间没有依赖关系，而又分别只占用一个 CPU+GPU 或 一个CPU，令其依次执行即可。

至此，可以设计一个动态规划来完成这一过程。令 $f_{i,j}$ 表示为了完成前 $i$ 个任务占用 CPU+GPU 时间为 $j$ 时不附带 GPU 的 CPU 的最小时间。这样，初始状态显然为 $f_{0,0} = 0$。对于在此后的每个状态，状态转移方程为：

$$f_{i,j} = \min \begin{cases} f_{i-1,j} + a_i \\ f_{i-1,j-c_i} & (j \ge c_i) \\ f_{i-1, j - \min\{b_i,d_i\}} + \min\{ b_i,d_i \} & (j \ge \min\{ b_i,d_i \}) \end{cases}$$

这样，答案等于 $\min\limits{j} \max\{ f_{n,j},j \}$。

此解法的时间复杂度为 $O(n^2 \times \max\limits_{i=1,2,\ldots,n} \{ a_i, b_i, c_i, d_i \})$。

示例程序：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n, a, b, c, d, f[maxn][maxn*10], ans = 0x3f3f3f3f;

int main() {
    cin >> n;
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a >> b >> c >> d;
        c = min(c, a);
        b = min(min(a, b), min(c, d));
        for (int j = 0; j <= i*10; j++) {
            f[i][j] = f[i-1][j] + a;
            if (j >= c) f[i][j] = min(f[i][j], f[i-1][j-c]);
            if (j >= b) f[i][j] = min(f[i][j], f[i-1][j-b] + b);
        }
    }
    for (int i = 0; i <= n*10; i++)
        ans = min(ans, max(i, f[n][i]));
    cout << ans << endl;
    return 0;
}